资源简介 黑龙江省哈尔滨市三年(2020-2022)中考数学真题分类汇编-03解答题一.分式的化简求值(共3小题)1.(2022 哈尔滨)先化简,再求代数式(﹣)÷的值,其中x=2cos45°+1.2.(2021 哈尔滨)先化简,再求代数式(﹣)÷的值,其中a=2sin45°﹣1.3.(2020 哈尔滨)先化简,再求代数式(1﹣)÷的值,其中x=4cos30°﹣1.二.一元一次不等式的应用(共3小题)4.(2022 哈尔滨)绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料,若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元;若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元.(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元;(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒,总费用不超过3920元,那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料?5.(2021 哈尔滨)君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔.若购买3支A种型号的毛笔和1支B种型号的毛笔需用22元;若购买2支A种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元.(1)求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元;(2)君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支,总费用不超过420元,那么该中学最多可以购买多少支A种型号的毛笔?6.(2020 哈尔滨)昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪,若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元;若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元.(1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元;(2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个,总费用不超过960元,那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪?三.一次函数综合题(共1小题)7.(2020 哈尔滨)已知:在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线AB与x轴的正半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点B,OA=OB,过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C,直线OC的解析式为y=x,过点C作CM⊥y轴,垂足为M,OM=9.(1)如图1,求直线AB的解析式;(2)如图2,点N在线段MC上,连接ON,点P在线段ON上,过点P作PD⊥x轴,垂足为D,交OC于点E,若NC=OM,求的值;(3)如图3,在(2)的条件下,点F为线段AB上一点,连接OF,过点F作OF的垂线交线段AC于点Q,连接BQ,过点F作x轴的平行线交BQ于点G,连接PF交x轴于点H,连接EH,若∠DHE=∠DPH,GQ﹣FG=AF,求点P的坐标.四.二次函数综合题(共2小题)8.(2022 哈尔滨)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+b经过点A(,),点B(,﹣),与y轴交于点C.(1)求a,b的值;(2)如图1,点D在该抛物线上,点D的横坐标为﹣2.过点D向y轴作垂线,垂足为点E.点P为y轴负半轴上的一个动点,连接DP,设点P的纵坐标为t,△DEP的面积为S,求S关于t的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)如图2,在(2)的条件下,连接OA,点F在OA上,过点F向y轴作垂线,垂足为点H,连接DF交y轴于点G,点G为DF的中点,过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N,连接CN,PB,延长PB交AN于点M,点R在PM上,连接RN,若3CP=5GE,∠PMN+∠PDE=2∠CNR,求直线RN的解析式.9.(2021 哈尔滨)在平面直角坐标系中,点O为坐标系的原点,抛物线y=ax2+bx经过A(10,0),B(,6)两点,直线y=2x﹣4与x轴交于点C,与y轴交于点D,点P为直线y=2x﹣4上的一个动点,连接PA.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当点P在第一象限时,设点P的横坐标为t,△APC的面积为S,求S关于t的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)如图2,在(2)的条件下,点E在y轴的正半轴上,且OE=OD,连接CE,当直线BP交x轴正半轴于点L,交y轴于点V时,过点P作PG∥CE交x轴于点G,过点G作y轴的平行线交线段VL于点F,连接CF,过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q,∠CFG的平分线交x轴于点M,过点M作MH∥CF交FG于点H,过点H作HR⊥CF于点R,若FR+MH=GQ,求点P的坐标.五.全等三角形的判定与性质(共1小题)10.(2020 哈尔滨)已知:在△ABC中,AB=AC,点D、点E在边BC上,BD=CE,连接AD、AE.(1)如图1,求证:AD=AE;(2)如图2,当∠DAE=∠C=45°时,过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角形,使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.六.矩形的性质(共1小题)11.(2022 哈尔滨)已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边AD上一点,连接BE,CE,OE,且BE=CE.(1)如图1,求证:△BEO≌△CEO;(2)如图2,设BE与AC相交于点F,CE与BD相交于点H,过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个三角形(△AEF除外),使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等.七.正方形的性质(共1小题)12.(2021 哈尔滨)已知四边形ABCD是正方形,点E在边DA的延长线上,连接CE交AB于点G,过点B作BM⊥CE,垂足为点M,BM的延长线交AD于点F,交CD的延长线于点H.(1)如图1,求证:CE=BH;(2)如图2,若AE=AB,连接CF,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外),使写出的每个三角形都与△AEG全等.八.圆的综合题(共3小题)13.(2022 哈尔滨)已知CH是⊙O的直径,点A、点B是⊙O上的两个点,连接OA,OB,点D,点E分别是半径OA,OB的中点,连接CD,CE,BH,且∠AOC=2∠CHB.(1)如图1,求证:∠ODC=∠OEC;(2)如图2,延长CE交BH于点F,若CD⊥OA,求证:FC=FH;(3)如图3,在(2)的条件下,点G是一点,连接AG,BG,HG,OF,若AG:BG=5:3,HG=2,求OF的长.14.(2021 哈尔滨)已知⊙O是△ABC的外接圆,AB为⊙O的直径,点N为AC的中点,连接ON并延长交⊙O于点E,连接BE,BE交AC于点D.(1)如图1,求证:∠CDE+∠BAC=135°;(2)如图2,过点D作DG⊥BE,DG交AB于点F,交⊙O于点G,连接OG,OD,若DG=BD,求证:OG∥AC;(3)如图3,在(2)的条件下,连接AG,若DN=,求AG的长.15.(2020 哈尔滨)已知:⊙O是△ABC的外接圆,AD为⊙O的直径,AD⊥BC,垂足为E,连接BO,延长BO交AC于点F.(1)如图1,求证:∠BFC=3∠CAD;(2)如图2,过点D作DG∥BF交⊙O于点G,点H为DG的中点,连接OH,求证:BE=OH;(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG,若DG=DE,△AOF的面积为,求线段CG的长.九.作图—应用与设计作图(共1小题)16.(2020 哈尔滨)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上.(1)在图中画出以AB为边的正方形ABEF,点E和点F均在小正方形的顶点上;(2)在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG,点G在小正方形的顶点上,且△CDG的周长为10+.连接EG,请直接写出线段EG的长.一十.作图-轴对称变换(共1小题)17.(2022 哈尔滨)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上.(1)在方格纸中画出△ADC,使△ADC与△ABC关于直线AC对称(点D在小正方形的顶点上);(2)在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH(点G,点H均在小正方形的顶点上),且平行四边形EFGH的面积为4,连接DH,请直接写出线段DH的长.一十一.作图-平移变换(共1小题)18.(2021 哈尔滨)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上.(1)在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度后得到△MNP(点A的对应点是点M,点B的对应点是点N,点C的对应点是点P),请画出△MNP;(2)在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF(点F在小正方形的顶点上).连接FP,请直接写出线段FP的长.一十二.条形统计图(共3小题)19.(2022 哈尔滨)民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动,围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四类健身活动中,你最喜欢哪一类?(必选且只选一类)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图,其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的25%.请你根据图中提供的信息解答下列问题:(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?(2)请通过计算补全条形统计图;(3)若民海中学共有1600名学生,请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名.20.(2021 哈尔滨)春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动,围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中,你最喜欢哪一种?(必选且只选一种)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图,其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的40%.请你根据图中提供的信息解答下列问题:(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?(2)请通过计算补全条形统计图;(3)若春宁中学共有1500名学生,请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名.21.(2020 哈尔滨)为了丰富同学们的课余生活,冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动,围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中,你最喜欢哪一类?(必选且只选一类)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图,其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的30%.请你根据图中提供的信息回答下列问题:(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?(2)请通过计算补全条形统计图;(3)若冬威中学共有800名学生,请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名.参考答案与试题解析一.分式的化简求值(共3小题)1.(2022 哈尔滨)先化简,再求代数式(﹣)÷的值,其中x=2cos45°+1.【解答】解:(﹣)÷===,当x=2cos45°+1=2×+1=+1时,原式==.2.(2021 哈尔滨)先化简,再求代数式(﹣)÷的值,其中a=2sin45°﹣1.【解答】解:原式 ﹣ =﹣=﹣===,当a=2sin45°﹣1=2×﹣1=﹣1时,原式==.3.(2020 哈尔滨)先化简,再求代数式(1﹣)÷的值,其中x=4cos30°﹣1.【解答】解:原式= =,∵x=4cos30°﹣1=4×﹣1=2﹣1,∴原式==.二.一元一次不等式的应用(共3小题)4.(2022 哈尔滨)绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料,若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元;若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元.(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元;(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒,总费用不超过3920元,那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料?【解答】解:(1)设每盒A种型号的颜料x元,每盒B种型号的颜料y元,依题意得:,解得:.答:每盒A种型号的颜料24元,每盒B种型号的颜料16元.(2)设该中学可以购买m盒A种型号的颜料,则可以购买(200﹣m)盒B种型号的颜料,依题意得:24m+16(200﹣m)≤3920,解得:m≤90.答:该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料.5.(2021 哈尔滨)君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔.若购买3支A种型号的毛笔和1支B种型号的毛笔需用22元;若购买2支A种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元.(1)求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元;(2)君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支,总费用不超过420元,那么该中学最多可以购买多少支A种型号的毛笔?【解答】解:(1)设每支A种型号的毛笔x元,每支B种型号的毛笔y元;由题意可得:,解得:,答:每支A种型号的毛笔6元,每支B种型号的毛笔4元;(2)设A种型号的毛笔为a支,由题意可得:6a+4(80﹣a)≤420,解得:a≤50,答:最多可以购买50支A种型号的毛笔.6.(2020 哈尔滨)昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪,若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元;若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元.(1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元;(2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个,总费用不超过960元,那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪?【解答】解:(1)设每个大地球仪x元,每个小地球仪y元,根据题意可得:,解得:,答:每个大地球仪52元,每个小地球仪28元;(2)设大地球仪为a个,则小地球仪为(30﹣a)个,根据题意可得:52a+28(30﹣a)≤960,解得:a≤5,答:最多可以购买5个大地球仪.三.一次函数综合题(共1小题)7.(2020 哈尔滨)已知:在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线AB与x轴的正半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点B,OA=OB,过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C,直线OC的解析式为y=x,过点C作CM⊥y轴,垂足为M,OM=9.(1)如图1,求直线AB的解析式;(2)如图2,点N在线段MC上,连接ON,点P在线段ON上,过点P作PD⊥x轴,垂足为D,交OC于点E,若NC=OM,求的值;(3)如图3,在(2)的条件下,点F为线段AB上一点,连接OF,过点F作OF的垂线交线段AC于点Q,连接BQ,过点F作x轴的平行线交BQ于点G,连接PF交x轴于点H,连接EH,若∠DHE=∠DPH,GQ﹣FG=AF,求点P的坐标.【解答】解:(1)∵CM⊥y轴,OM=9,∴y=9时,9=x,解得x=12,∴C(12,9),∵AC⊥x轴,∴A(12,0),∵OA=OB,∴B(0,﹣12),设直线AB的解析式为y=kx+b,则有,解得,∴直线AB的解析式为y=x﹣12.(2)如图2中,∵∠CMO=∠MOA=∠OAC=90°,∴四边形OACM是矩形,∴AO=CM=12,∵NC=OM=9,∴MN=CM﹣NC=12﹣9=3,∴N(3,9),∴直线ON的解析式为y=3x,设点E的横坐标为4a,则D(4a,0),∴OD=4a,把x=4a,代入y=x中,得到y=3a,∴E(4a,3a),∴DE=3a,把x=4a代入,y=3x中,得到y=12a,∴P(4a,12a),∴PD=12a,∴PE=PD﹣DE=12a﹣3a=9a,∴=.(3)如图3中,设直线FG交CA的延长线于R,交y轴于S,过点F作FT⊥OA于T.∵GF∥x轴,∴∠OSR=∠MOA=90°,∠CAO=∠R=90°,∠BOA=∠BSG=90°,∠OAB=∠AFR,∴∠OFR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°,∴四边形TFRA是矩形,∴OS=AR,∴SR=OA=12,∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=45°,∴∠FAR=90°﹣45°=45°,∴∠FAR=∠AFR,∴FR=AR=OS,∵OF⊥FQ,∴∠OSR=∠R=∠OFQ=90°,∴∠OFS+∠QFR=90°,∵∠QFR+∠FQR=90°,∴∠OFS=∠FQR,∴△OFS≌△FQR(AAS),∴SF=QR,∵∠SFB=∠AFR=45°,∴∠SBF=∠SFB=45°,∴SF=SB=QR,∵∠SGB=∠QGR,∠BSG=∠R,∴△BSG≌△QRG(AAS),∴SG=GR=6,设FR=m,则AR=m,AF=m,QR=SF=12﹣m,∵GQ﹣FG=AF,∴GQ=×m+6﹣m=m+6,∵GQ2=GR2+QR2,∴(m+6)2=62+(12﹣m)2,解得m=4,∴FS=8,AR=4,∵∠OAB=∠FAR,FT⊥OA,FR⊥AR,∴FT=FR=AR=4,∠OTF=90°,∴四边形OSFT是矩形,∴OT=SF=8,∵∠DHE=∠DPH,∴tan∠DHE=tan∠DPH,∴=,由(2)可知DE=3a,PD=12a,∴=,∴DH=6a,∴tan∠PHD===2,∵∠PHD=∠FHT,∴tan∠FHT==2,∴HT=2,∵OT=OD+DH+HT,∴4a+6a+2=8,∴a=,∴OD=,PD=12×=,∴P(,).四.二次函数综合题(共2小题)8.(2022 哈尔滨)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+b经过点A(,),点B(,﹣),与y轴交于点C.(1)求a,b的值;(2)如图1,点D在该抛物线上,点D的横坐标为﹣2.过点D向y轴作垂线,垂足为点E.点P为y轴负半轴上的一个动点,连接DP,设点P的纵坐标为t,△DEP的面积为S,求S关于t的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)如图2,在(2)的条件下,连接OA,点F在OA上,过点F向y轴作垂线,垂足为点H,连接DF交y轴于点G,点G为DF的中点,过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N,连接CN,PB,延长PB交AN于点M,点R在PM上,连接RN,若3CP=5GE,∠PMN+∠PDE=2∠CNR,求直线RN的解析式.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+b经过点A(,),点B(,﹣),∴,解得:,故a=,b=;(2)如图1,由(1)得:a=,b=,∴抛物线的解析式为y=x2﹣,∵点D在该抛物线上,点D的横坐标为﹣2,∴y=×(﹣2)2﹣=,∴D(﹣2,),∵DE⊥y轴,∴DE=2,∴E(0,),∵点P为y轴负半轴上的一个动点,且点P的纵坐标为t,∴P(0,t),∴PE=﹣t,∴S=PE DE=×(﹣t)×2=﹣t+,故S关于t的函数解析式为S=﹣t+;(3)如图2,过点C作CK⊥CN,交NR的延长线于点K,过点K作KT⊥y轴于点T,由(2)知:抛物线的解析式为y=x2﹣,当x=0时,y=﹣,∴C(0,﹣),∴OC=,∵FH⊥y轴,DE⊥y轴,∴∠FHG=∠DEG=90°,∵点G为DF的中点,∴DG=FG,∵∠HGF=∠EGD,∴△FGH≌△DGE(AAS),∴FH=DE=2,HG=EG=HE,设直线OA的解析式为y=kx,∵A(,),∴k=,解得:k=,∴直线OA的解析式为y=x,当x=2时,y=×2=,∴F(2,),∴H(0,),∴HE=﹣=,∴GE=HE=×=,∵3CP=5GE,∴CP=GE=×=,∴P(0,﹣1),∵AN∥y轴,PN∥x轴,∴N(,﹣1),∴PN=,∵E(0,),∴EP=﹣(﹣1)=,设直线BP的解析式为y=mx+n,则,解得:,∴直线BP的解析式为y=x﹣1,当x=时,y=×﹣1=,∴M(,),∴MN=﹣(﹣1)=,∵==,==,∴=,又∵∠PNM=∠DEP=90°,∴△PMN∽△DPE,∴∠PMN=∠DPE,∵∠DPE+∠PDE=90°,∴∠PMN+∠PDE=90°,∵∠PMN+∠PDE=2∠CNR,∴∠CNR=45°,∵CK⊥CN,∴∠NCK=90°,∴△CNK是等腰直角三角形,∴CK=CN,∵∠CTK=∠NPC=90°,∴∠KCT+∠CKT=90°,∵∠NCP+∠KCT=90°,∴∠CKT=∠NCP,∴△CKT≌△NCP(AAS),∴CT=PN=,KT=CP=,∴OT=CT﹣OC=﹣=2,∴K(,2),设直线RN的解析式为y=ex+f,把K(,2),N(,﹣1)代入,得:,解得:,∴直线RN的解析式为y=﹣x+.9.(2021 哈尔滨)在平面直角坐标系中,点O为坐标系的原点,抛物线y=ax2+bx经过A(10,0),B(,6)两点,直线y=2x﹣4与x轴交于点C,与y轴交于点D,点P为直线y=2x﹣4上的一个动点,连接PA.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当点P在第一象限时,设点P的横坐标为t,△APC的面积为S,求S关于t的函数解析式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)如图2,在(2)的条件下,点E在y轴的正半轴上,且OE=OD,连接CE,当直线BP交x轴正半轴于点L,交y轴于点V时,过点P作PG∥CE交x轴于点G,过点G作y轴的平行线交线段VL于点F,连接CF,过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q,∠CFG的平分线交x轴于点M,过点M作MH∥CF交FG于点H,过点H作HR⊥CF于点R,若FR+MH=GQ,求点P的坐标.【解答】解:(1)把A(10,0),B(,6)代入y=ax2+bx,得到,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x.(2)∵直线y=2x﹣4与x轴交于点C,与y轴交于点D,∴C(2,0),D(0,﹣4),∵A(10,0),∴OA=10,OC=2,∴AC=8,由题意P(t,2t﹣4),∴S= PT AC=×8×(2t﹣4)=8t﹣16.(3)如图2中,过点P作PT⊥CG于T,交CF于W,过点F作FJ⊥MH交MH的延长线于J,连接JQ.∵PT⊥CG,∴∠PTC=∠ODC=90°,∴OD∥PT,∴∠ODC=∠CPT,∴tan∠CPT=tan∠ODC===,∵HR⊥RF,FJ⊥MJ,MH∥CF,∴RH⊥MJ,∴∠FRH=∠RHJ=∠FJH=90°,∴四边形RFJH是矩形,∴RF=HJ,∵RF+HM=MH+HJ=MJ=GQ,MJ∥GQ,∴四边形MJQG是平行四边形,∴JQ=GM,∠JQG=∠GMJ,∵MF平分∠CFG,∴∠CFM=∠MFG,∵CF∥MH,∴∠FMH=∠CFM,∴∠FMH=∠MFH,∴FH=HM,∵∠MGH=∠FJH=90°,∠MHG=∠FHJ,∴△MHG≌△FHJ(AAS),∴MG=FJ=JQ,∠GMH=∠HFJ,∴∠JFQ=∠JQF,∠GFJ=∠GQJ,∴∠GFQ=∠GQF,∵CF∥GQ,PT∥FG,∴∠WPF=∠GFQ,∠WFP=∠GQF,∴∠WPF=∠WFP,∴WP=WF,∵D,E关于x轴对称,∴∠ECO=∠DCO=∠PCG,∵EC∥PG,∴∠PGC=∠ECO,∴∠PCG=∠PGC,∴PC=PG,∵PT⊥CG,∴CT=TG,∵WT∥FG,∴CW=WF,∴WP=WC=WF,∴∠CPF=90°,∴∠LCP+∠PLC=90°,∵∠ODC+∠OCD=90°,∠OCD=∠LCP,∴∠PLC=∠ODC,∴tan∠PLC=tan∠ODC=,∵B(,6),∴OL=+12=,∴L(,0),∴直线PB的解析式为y=﹣x+,由,解得,∴P(,5).五.全等三角形的判定与性质(共1小题)10.(2020 哈尔滨)已知:在△ABC中,AB=AC,点D、点E在边BC上,BD=CE,连接AD、AE.(1)如图1,求证:AD=AE;(2)如图2,当∠DAE=∠C=45°时,过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角形,使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.【解答】(1)证明:∵AB=AC,∵∠B=∠C,在△ABD和△ACE中,,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE;(2)∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,∵BF∥AC,∴∠FBD=∠C=45°,∵∠ABC=∠C=∠DAE=45°,∠BDF=∠ADE,∴∠F=∠BDF,∠BEA=∠BAE,∠CDA=∠CAD,∴满足条件的等腰三角形有:△ABE,△ACD,△DAE,△DBF.六.矩形的性质(共1小题)11.(2022 哈尔滨)已知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边AD上一点,连接BE,CE,OE,且BE=CE.(1)如图1,求证:△BEO≌△CEO;(2)如图2,设BE与AC相交于点F,CE与BD相交于点H,过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个三角形(△AEF除外),使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC=AC,OB=OD=BD,AC=BD,∴OB=OC=OA=OD,∵BE=CE,OE=OE,∴△BEO≌△CEO(SSS);(2)解:△DHE,△CHO,△DEG,△BFO都与△AEF的面积相等,理由:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠CDA=90°AB∥CD,AB=DC,∵BE=CE,∴Rt△BAE≌Rt△CDE(HL),∴∠AEB=∠DEC,AE=DE,∵OA=OD,∴∠OEA=∠OED=90°,∴∠BAD=∠OED=90°,∠ADC=∠AEO=90°,∴AB∥OE,DC∥OE,∴△AEO的面积=△BEO的面积,△DEO的面积=△COE的面积,∴△AEO的面积﹣△EFO的面积=△BEO的面积﹣△EFO的面积,△DEO的面积﹣△EHO的面积=△COE的面积﹣△EHO的面积,∴△AEF的面积=△BFO的面积,△DHE的面积=△CHO的面积,∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,∴△AEF≌△DEH(ASA),∴△AEF的面积=△DHE的面积=△CHO的面积,∵DG∥AC,∴∠G=∠AFE,∠GDE=∠FAE,∴△AEF≌△DEG(AAS),∴△AEF的面积=△DEG的面积,∴△DHE,△CHO,△DEG,△BFO都与△AEF的面积相等.七.正方形的性质(共1小题)12.(2021 哈尔滨)已知四边形ABCD是正方形,点E在边DA的延长线上,连接CE交AB于点G,过点B作BM⊥CE,垂足为点M,BM的延长线交AD于点F,交CD的延长线于点H.(1)如图1,求证:CE=BH;(2)如图2,若AE=AB,连接CF,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外),使写出的每个三角形都与△AEG全等.【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD=AD=AB,∠BCD=∠ADC=90°,∵BM⊥CE,∴∠HMC=∠ADC=90°,∴∠H+∠HCM=90°=∠E+∠ECD,∴∠H=∠E,在△EDC和△HCB中,,∴△EDC≌△HCB(AAS),∴CE=BH;(2)△BCG,△DCF,△DHF,△ABF,理由如下:∵AE=AB,∴AE=BC=AD=CD,∵△EDC≌△HCB,∴ED=HC,∵AD=CD,∴AE=HD=BC=AB,在△AEG和△BCG中,,∴△AEG≌△BCG(AAS),∴AG=BG=AB,同理可证△AFB≌△DFH,∴AF=DF=AD,∴AG=AF=DF,在△AEG和△ABF中,,∴△AEG≌△ABF(SAS),同理可证△AEG≌△DHF,△AEG≌△DCF.八.圆的综合题(共3小题)13.(2022 哈尔滨)已知CH是⊙O的直径,点A、点B是⊙O上的两个点,连接OA,OB,点D,点E分别是半径OA,OB的中点,连接CD,CE,BH,且∠AOC=2∠CHB.(1)如图1,求证:∠ODC=∠OEC;(2)如图2,延长CE交BH于点F,若CD⊥OA,求证:FC=FH;(3)如图3,在(2)的条件下,点G是一点,连接AG,BG,HG,OF,若AG:BG=5:3,HG=2,求OF的长.【解答】(1)证明:如图1,∵点D,点E分别是半径OA,OB的中点,∴OD=OA,OE=OB,∵OA=OB,∴OE=OD,∵∠AOC=2∠CHB,∠BOC=2∠CHB,∴∠AOC=∠BOC,∵OC=OC,∴△OCD≌△OCE(SAS),∴∠ODC=∠OEC;(2)证明:∵CD⊥OA,∴∠CDO=90°,由(1)知:∠ODC=∠OEC=90°,∴sin∠OCE==,∴∠OCE=30°,∴∠COE=60°,∵∠H=∠COE=30°,∴∠H=∠OCE,∴FC=FH;(3)解:∵CO=OH,FC=FH,∴FO⊥CH,∴∠FOH=90°,如图,连接AH,∵∠AOC=∠BOC=60°,∴∠AOH=∠BOH=120°,∴AH=BH,∠AGH=60°,∵AG:BG=5:3,∴设AG=5x,BG=3x,在AG上取点M,使得AM=BG,连接MH,过点H作HN⊥CM于N,∵∠HAM=∠HBG,∴△HAM≌△HBG(SAS),∴MH=GH,∴△MHG是等边三角形,∴MG=HG=2,∵AG=AM+MG,∴5x=3x+2,∴x=1,∴AG=5,BG=AM=3,∴MN=GM=×2=1,HN=,∴AN=MN+AM=4,∴HB=HA===,∵∠FOH=90°,∠OHF=30°,∴∠OFH=60°,∵OB=OH,∴∠BHO=∠OBH=30°,∴∠FOB=∠OBF=30°,∴OF=BF,在Rt△OFH中,∠OHF=30°,∴HF=2OF,∴HB=BF+HF=3OF=,∴OF=.14.(2021 哈尔滨)已知⊙O是△ABC的外接圆,AB为⊙O的直径,点N为AC的中点,连接ON并延长交⊙O于点E,连接BE,BE交AC于点D.(1)如图1,求证:∠CDE+∠BAC=135°;(2)如图2,过点D作DG⊥BE,DG交AB于点F,交⊙O于点G,连接OG,OD,若DG=BD,求证:OG∥AC;(3)如图3,在(2)的条件下,连接AG,若DN=,求AG的长.【解答】(1)证明:如图1,过点O作OP⊥BC,交⊙O于点P,连接AP交BE于Q,∴=,∴∠BAP=∠CAP,∵点N为AC的中点,∴=,∴∠ABE=∠CBE,∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°,∴∠BAC+∠ABC=90°,∴∠QAB+∠QBA=×90°=45°,∴∠AQB=∠EQP=135°,△AQD中,∠EQP=∠CAP+∠ADQ=135°,∴∠CDE+∠BAC=135°;(2)证明:在△DGO和△DBO中,,∴△DGO≌△DBO(SSS),∴∠ABD=∠DGO,∵DG⊥BE,∴∠GDB=90°,∴∠ADG+∠BDC=90°,∵∠BDC+∠CBE=90°,∴∠ADG=∠CBE=∠ABD=∠DGO,∴OG∥AD;(3)解:如图3,过点G作GK⊥AC于K,延长GO交BC于点H,由(2)知:OG∥AC,∴GH∥AC,∴∠OHB=∠C=90°,∴OH⊥BC,∴BH=CH,∵∠K=∠C=∠OHC=90°,∴四边形GHCK是矩形,∴CH=GK,设GK=y,则BC=2y,ON=GK=y,由(2)知:∠ADG=∠DBC,在△GKD和△DCB中,,∴△GKD≌△DCB(AAS),∴GK=DC=y,∵OE∥BC,∴∠E=∠DBC,∴tan∠DBC=tanE,∴,即=,∴EN=,∴AN=CN=y+,ON=y,由勾股定理得:AO2=ON2+AN2,∴(y+)2=y2+(y+)2,解得:y1=﹣(舍),y2=,∴AG===2.15.(2020 哈尔滨)已知:⊙O是△ABC的外接圆,AD为⊙O的直径,AD⊥BC,垂足为E,连接BO,延长BO交AC于点F.(1)如图1,求证:∠BFC=3∠CAD;(2)如图2,过点D作DG∥BF交⊙O于点G,点H为DG的中点,连接OH,求证:BE=OH;(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG,若DG=DE,△AOF的面积为,求线段CG的长.【解答】证明:(1)∵AD为⊙O的直径,AD⊥BC,∴BE=EC,∴AB=AC,又∵AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD,∵OA=OB,∴∠BAD=∠ABO,∴∠BAD=∠ABO=∠CAD,∵∠BFC=∠BAC+∠ABO,∴∠BFC=∠BAD+∠EAD+∠ABO=3∠CAD;(2)如图2,连接AG,∵AD是直径,∴∠AGD=90°,∵点H是DG中点,∴DH=HG,又∵AO=DO,∴OH∥AG,AG=2OH,∴∠AGD=∠OHD=90°,∵DG∥BF,∴∠BOE=∠ODH,又∵∠OEB=∠OHD=90°,BO=DO,∴△BOE≌△ODH(AAS),∴BE=OH;(3)如图3,过点F作FN⊥AD,交AD于N,设DG=DE=2x,∴DH=HG=x,∵△BOE≌△ODH,∴OE=DH=x,∴OD=3x=OA=OB,∴BE===2x,∵∠BAE=∠CAE,∴tan∠BAE=tan∠CAE=,∴=,∴AN=NF,∵∠BOE=∠NOF,∴tan∠BOE=tan∠NOF=,∴=,∴ON=NF,∴AO=AN+ON=NF,∵△AOF的面积为,∴×AO×NF=×NF2=,∴NF=,∴AO=NF=3=3x,∴x=1,∴BE=2=OH,AE=4,DG=DE=2,∴AC===2,如图3,连接AG,过点A作AM⊥CG,交GC的延长线于M,由(2)可知:AG=2OH=4,∵四边形ADGC是圆内接四边形,∴∠ACM=∠ADG,又∵∠AMC=∠AGD=90°,∴△ACM∽△ADG,∴,∴,∴CM=,AM=,∴GM===,∴CG=GM﹣CM=.九.作图—应用与设计作图(共1小题)16.(2020 哈尔滨)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上.(1)在图中画出以AB为边的正方形ABEF,点E和点F均在小正方形的顶点上;(2)在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG,点G在小正方形的顶点上,且△CDG的周长为10+.连接EG,请直接写出线段EG的长.【解答】解:(1)如图,正方形ABEF即为所求.(2)如图,△CDG即为所求.EG==.一十.作图-轴对称变换(共1小题)17.(2022 哈尔滨)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上.(1)在方格纸中画出△ADC,使△ADC与△ABC关于直线AC对称(点D在小正方形的顶点上);(2)在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH(点G,点H均在小正方形的顶点上),且平行四边形EFGH的面积为4,连接DH,请直接写出线段DH的长.【解答】解:(1)如图,△ADC即为所求;(2)如图, EFGH即为所求;由勾股定理得,DH==5.一十一.作图-平移变换(共1小题)18.(2021 哈尔滨)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上.(1)在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度后得到△MNP(点A的对应点是点M,点B的对应点是点N,点C的对应点是点P),请画出△MNP;(2)在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF(点F在小正方形的顶点上).连接FP,请直接写出线段FP的长.【解答】解:(1)如图,△MNP为所作;(2)如图,△DEF为所作;FP==.一十二.条形统计图(共3小题)19.(2022 哈尔滨)民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动,围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四类健身活动中,你最喜欢哪一类?(必选且只选一类)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图,其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的25%.请你根据图中提供的信息解答下列问题:(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?(2)请通过计算补全条形统计图;(3)若民海中学共有1600名学生,请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名.【解答】解:(1)20÷25%=80(名),答:一共抽取了80名学生;(2)80﹣16﹣24﹣20=20(名),补全条形统计图如下:(3)1600×=480(名),答:估计该中学最喜欢球类的学生共有480名.20.(2021 哈尔滨)春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动,围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中,你最喜欢哪一种?(必选且只选一种)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图,其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的40%.请你根据图中提供的信息解答下列问题:(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?(2)请通过计算补全条形统计图;(3)若春宁中学共有1500名学生,请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名.【解答】解:(1)本次调查共抽取的学生数有:24÷40%=60(名);(2)最喜欢冰壶项目的人数有:60﹣16﹣24﹣12=8(名),补全统计图如下:(3)根据题意得:1500×=300(名),答:估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有300名.21.(2020 哈尔滨)为了丰富同学们的课余生活,冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动,围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中,你最喜欢哪一类?(必选且只选一类)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图,其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的30%.请你根据图中提供的信息回答下列问题:(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?(2)请通过计算补全条形统计图;(3)若冬威中学共有800名学生,请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名.【解答】解:(1)15÷30%=50(名),答:在这次调查中,一共抽取了50名学生;(2)50﹣15﹣20﹣5=10(名),补全条形统计图如图所示:(3)800×=320(名),答:估计冬威中学800名学生中最喜欢剪纸小组的学生有320名. 展开更多...... 收起↑ 资源预览