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苏教版（2019）高中数学一轮复习第9讲《函数的图象及其应用》（解析版）
【知识梳理】
函数的图象 基本 初等 函数 图象 初中 一次函数、反比例函数、二次函数
高中 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数
图 象 的 变 换 平移变换 ① ② ③ ④
伸缩变换 ① ②
对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④(，且)的图象(，且)的图象
翻折变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象.
图 象 识 别 技 巧 ①特殊值法（观察图象，寻找图象中出现的特殊值） ②单调性法（；；，；通过求导判断单调性） ③奇偶性法 ④极限法（；；；） ⑤零点法 ⑥极值法
【真题再现】
1、（2022全国甲卷理） 函数在区间的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C. 故选：A.
2、（2022全国乙卷文）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
B.
C. D.
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D. 故选：A.
3、（2022浙江卷）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选：D.
三、【考点精讲】
考点1 画函数的图象
【例1】1、（2021·全国·高一课时练习）根据的图像，作出下列函数的图像：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
(1)作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像，就是该函数的图像，如下图所示：
(2)把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，
函数图像如下图所示：
(3)作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像一起向右平移一个单位即可，如下图所示：
(4)把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，然后再向右平移一个单位，如下图所示：
2、（2021·宁夏·银川市第六中学高一期中）已知函数.
(1)证明是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求函数的值域.
【答案】(1)证明见解析；(2)图象见解析；(3)
(1)解：由题知函数的定义域关于原点对称，
，
所以函数是偶函数
(2)解：由题知，
进而结合二次函数与分段函数的性质作图如下：
(3)解：由（2）的函数图象可知函数的最小值为，函数的最大值为，
所以函数的值域为
3、（2022·广东东莞·高一期末）给定函数，，，用表示，中的较大者，记为.
(1)求函数的解析式并画出其图象；
(2)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，作图见解析；(2).
(1)①当即时，，则，
②当即或时，，则，
故 图象如下：
(2)由（1）得，当时，，
则在上恒成立等价于在上恒成立.
令，，
原问题等价于在上的最小值.
①当即时，在上单调递增，
则，故.
②当即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，由时，，故不合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
【变式训练】
1、（2021·山东临沂·高一期中）已知是整数，幂函数在上单调递增．
(1)求的解析式；
(2)若，画出函数的大致图象；
(3)写出的单调区间，并用定义法证明在区间上的单调性．
【答案】(1)(2)作图见解析
(3)单调减区间为，，单调增区间为，，证明见解析
(1)解：由题意可知，，即，
因为是整数，所以，或，
当时，，当时，，
综上可知，的解析式为；
(2)解：由（1）知，则，
函数的图象如图所示，
(3)解：由（2）可知，的单调减区间为，，单调增区间为，，
当时，，
设任意的，且，
则，
∵，且，∴，，
∴，即，
所以在区间上单调递增．
2、（2022·北京·高三专题练习）已知函数，作出的大致图像并写出它的单调性；
【答案】详见解析.
当时，函数的图象，如图所示：
则的图象，如图所示：
由图象知：在上递减，在上递增；
当时，函数的图象，如图所示：
则的图象，如图所示：
由图象知：在上递减，在上递增；
3、（2022·江苏省响水中学高一开学考试）已知函数
(1)在所给的直角坐标系内画出的图象并写出的单调区间；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)图象见解析，单调递增区间为，单调递减区间为；
(2).
(1)
由解析式知：
0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0
的图象如下图所示：
由图象知，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)令，解得或，
结合图象知:的解集为．
考点2 函数图象的识别
【例2】1、（2021·浙江卷）已知函数，则图象为如图的函数可
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C. 故选：D.
2、（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.故选：A.
【点睛】
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
3、（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
4、（2022·陕西咸阳·高一期末）函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
对任意的，，则函数的定义域为，排除C选项；
，，
所以，函数为偶函数，排除B选项，
因为，排除A选项.故选：D.
【变式训练】
1、（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
2、（2022·浙江·高三学业考试）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为函数的定义域为R，且不是偶函数，所以排除C、D；
又，排除A，即确定答案为B. 故选: B.
3、（2022·全国·高三专题练习（文））函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由题可知函数定义域为，则，
又
所以是奇函数，且时，，故选项A正确.
考点3 函数图象的应用（确定零点个数）
【例3】1、（2022·全国·高三阶段练习）函数的零点个数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
令，得；
在同一直角坐标系中分别作出，的大致图象如图所示；
观察可知，两个函数的图象有个交点（其中个交点的横坐标介于到之间，另外两个交点分别为，，故函数的零点个数为，故选：D．
2、（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：①；②；③在上的表达式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
图象的对称中心为，图象的对称轴为，
由，，得，为单位圆的，
结合画出和的部分图象，如图所示，
据此可知与的图象在上有个交点．故选：D.
【变式训练】
1、（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）函数有三个不同的零点，则实数t的范围是__________.
【答案】
作出函数的图象和直线，如图，
由图象可得时，直线与函数图象有三个交点，即函数有三个零点．
．故答案为：．
2、（2022·全国·高三专题练习）函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
【答案】C
【解析】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，，
作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．
故选：C．
考点4 函数图象的应用（解不等式）
【例4】1、（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.故选：D.
2、（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知函数的图象如图，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
不等式，则或，
观察图象，解得，解得，
所以不等式的解集为.故选：D
3、（2022·北京·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
不等式，分别画出函数和的图象，
由图象可知和有两个交点，分别是和，
由图象可知的解集是 即不等式的解集是.故选：B
【变式训练】
1、（2022·河北·高三阶段练习）已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
作出函数与的图象，如图，
当时，，作出函数与的图象，
由图象可知，此时解得；
当时，，作出函数与的图象，
它们的交点坐标为、，结合图象知此时.
所以不等式的解集为.
故选：C
2、（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））已知定义在R上的函数满足，且当时，，若对任都有，则m的取值范围是_________．
【答案】，．
解：因为满足，即；
又由，可得，画出当，时，的图象，
将在，的图象向右平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍），
再向左平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的倍），
由此得到函数的图象如图：当，时，，，，
又，所以，
令，由图像可得，则，解得，
所以当时，满足对任意的，，都有，
故的范围为，．故答案为：，．
考点5 函数图象的应用（求参数的取值范围）
【例5】1、（2022·山西·灵丘县第一中学校高二阶段练习）已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
设与相切于点，则，解得，此时，
由得，由可得，此时切点为，
作出函数与的图象如图，
由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点，故选：C
2、（2022·河北石家庄·高一期末）已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题设，将问题转化为与的图象有四个交点，
，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为；
的图象如下：
所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，
由图及函数性质知：，易知：，，
所以. 故选：C
【变式训练】
1、（多选）（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）函数恰有2个零点，则的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】BD
解：由题意得：
当时，，该函数是由向上或向下平移个单位得到
当时，
对于函数，令，则
若，即，函数与轴没有交点，则满足不等式组故可取，如图1所示；
若，即，函数与轴有一个交点，则满足不等式或，解得或或无解，如图2所示；
又，解得，故可取，故选：BD
2、（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数若且，则的最小值是________．
【答案】##
函数的图象如图所示．
令，则，所以．令，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以． 故答案为：．
3、（2022·山西临汾·二模（理））已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是____________．
【答案】
因为函数有2个不同的零点，
所以关于的方程在区间内有两个不等的实根，
即曲线（圆的上半部分）与经过定点的直线有两个不同的交点，如图
过作圆的切线，则点到切线的距离，
解得（舍去）或，所以，得，
即k的取值范围是，故答案为：苏教版（2019）高中数学一轮复习第9讲《函数的图象及其应用》（原卷版）
【知识梳理】
函数的图象 基本 初等 函数 图象 初中 一次函数、反比例函数、二次函数
高中 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数
图 象 的 变 换 平移变换 ① ② ③ ④
伸缩变换 ① ②
对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④(，且)的图象(，且)的图象
翻折变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象.
图 象 识 别 技 巧 ①特殊值法（观察图象，寻找图象中出现的特殊值） ②单调性法（；；，；通过求导判断单调性） ③奇偶性法 ④极限法（；；；） ⑤零点法 ⑥极值法
【真题再现】
1、（2022全国甲卷理） 函数在区间的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
2、（2022全国乙卷文）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
B.
C. D.
3、（2022浙江卷）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
三、【考点精讲】
考点1 画函数的图象
【例1】1、（2021·全国·高一课时练习）根据的图像，作出下列函数的图像：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
2、（2021·宁夏·银川市第六中学高一期中）已知函数.
(1)证明是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求函数的值域.
3、（2022·广东东莞·高一期末）给定函数，，，用表示，中的较大者，记为.
(1)求函数的解析式并画出其图象；
(2)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【变式训练】
1、（2021·山东临沂·高一期中）已知是整数，幂函数在上单调递增．
(1)求的解析式；
(2)若，画出函数的大致图象；
(3)写出的单调区间，并用定义法证明在区间上的单调性．
2、（2022·北京·高三专题练习）已知函数，作出的大致图像并写出它的单调性；
3、（2022·江苏省响水中学高一开学考试）已知函数
(1)在所给的直角坐标系内画出的图象并写出的单调区间；
(2)求不等式的解集.
考点2 函数图象的识别
【例2】1、（2021·浙江卷）已知函数，则图象为如图的函数可
是（ ）
A． B．
C． D．
2、（2020·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3、（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4、（2022·陕西咸阳·高一期末）函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1、（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
2、（2022·浙江·高三学业考试）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3、（2022·全国·高三专题练习（文））函数的部分图象大致是（ ）
A． B．

考点3 函数图象的应用（确定零点个数）
【例3】1、（2022·全国·高三阶段练习）函数的零点个数为（ ）．
A． B． C． D．
2、（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：①；②；③在上的表达式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）函数有三个不同的零点，则实数t的范围是__________.
2、（2022·全国·高三专题练习）函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
考点4 函数图象的应用（解不等式）
【例4】1、（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
2、（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知函数的图象如图，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3、（2022·北京·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、（2022·河北·高三阶段练习）已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
2、（2022·河南·信阳高中高一阶段练习（理））已知定义在R上的函数满足，且当时，，若对任都有，则m的取值范围是_________．
考点5 函数图象的应用（求参数的取值范围）
【例5】1、（2022·山西·灵丘县第一中学校高二阶段练习）已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、（2022·河北石家庄·高一期末）已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1、（多选）（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）函数恰有2个零点，则的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C． D．
2、（2022·河南·栾川县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数若且，则的最小值是________．
3、（2022·山西临汾·二模（理））已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是____________．

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