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2022年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是( )
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 棱锥
D. 棱柱
下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
代数式有意义时，应满足的条件为( )
A. B. C. D.
点在正比例函数的图象上，则的值为( )
A. B. C. D.
下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是( )
A. B.
C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而减小
实数，在数轴上的位置如图所示，则( )
A. B. C. D.
为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁名志愿者中随机抽取名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是( )
A. B. C. D.
如图，正方形的面积为，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒若按照这样的方法拼成的第个图形需要根小木棒，则的值为( )
B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
在甲、乙两位射击运动员的次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是______填“甲”、“乙”中的一个．
分解因式：______．
如图，在 中，，对角线与相交于点，，则的周长为______．
分式方程的解是______．
如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径的圆恰好过点，且与边相切于点，交于点，则劣弧的长是______结果保留
如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当点落在边上时，的度数为______；当线段的长度最小时，的度数为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
解不等式：．
如图，点，在的边上，，，求证：≌．
某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间 频数 频率
合计
请根据图表中的信息解答下列问题：
频数分布表中的______，______，______；
请补全频数分布直方图；
若该校九年级共有名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于的学生人数．
某燃气公司计划在地下修建一个容积为为定值，单位：的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积单位：与其深度单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．
求储存室的容积的值；
受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积的取值范围．
已知．
化简；
若关于的方程有两个相等的实数根，求的值．
如图，是的直径，点在上，且，．
尺规作图：过点作的垂线，交劣弧于点，连接保留作图痕迹，不写作法；
在所作的图形中，求点到的距离及的值．
某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的影子为，与此同时在处立一根标杆，标杆的影子为，，．
求的长；
从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆的高度．
条件：；条件：从处看旗杆顶部的仰角为．
注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分．
参考数据：，，．
已知直线：经过点和点．
求直线的解析式；
若点在直线上，以为顶点的抛物线过点，且开口向下．
求的取值范围；
设抛物线与直线的另一个交点为，当点向左平移个单位长度后得到的点也在上时，求在的图象的最高点的坐标．
如图，在菱形中，，，连接．
求的长；
点为线段上一动点不与点，重合，点在边上，且．
当时，求四边形的面积；
当四边形的面积取得最小值时，的值是否也最小？如果是，求的最小值；如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：圆锥的侧面展开图是扇形，
判断这个几何体是圆锥，
故选：．
根据基本几何体的展开图判断即可．
本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3.【答案】
【解析】解：代数式有意义时，，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：点在正比例函数的图象上，
，
解得：，
故选：．
直接把已知点代入，进而求出的值．
此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确得出的值是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：图象开口向上，
，故A不正确；
图象与轴交于负半轴，
，故B不正确；
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
故C正确，不正确；
故选：．
根据图象得出，的符号即可判断、，利用二次函数的性质即可判断、．
此题主要考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：，，，故不符合题意；
B.，，，故不符合题意；
C.由数轴可知，故符合题意；
D.由可知不符合题意．
故选：．
根据，两数的正负以及绝对值大小即可进行判断．
本题主要考查数轴上点的特征以及有理数的大小比较及运算法则，解题的关键在于正确判断，的正负，以及绝对值的大小．
8.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有种，
甲被抽中的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】
【解析】解：连接，如图：
正方形的面积为，
，
，
，，
，
，
平分，
，
在中，，
，
，是等腰直角三角形，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
．
故选：．
连接，由正方形的面积为，，可得，，即得，又平分，可得，故AF，，可知，而，分别是，的中点，即得．
本题考查正方形性质及应用，涉及含角的直角三角形三边关系，等腰直角三角形三边关系，解题的关键是根据已知求得．
10.【答案】
【解析】解：由题意知，第个图形需要根小木棒，
第个图形需要根小木棒，
第个图形需要根小木棒，
按此规律，第个图形需要个小木棒，
当时，
解得，
故选：．
根据图形特征，第个图形需要根小木棒，第个图形需要根小木棒，第个图形需要根小木棒，按此规律，得出第个图形需要的小木棒根数即可．
本题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是由特殊找到规律：第个图形需要个小木棒是解题的关键．
11.【答案】乙
【解析】解：两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，
，
考核成绩更为稳定的运动员是乙；
故答案为：乙．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的即可．
此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长．
故答案为：．
根据平行四边形对角线互相平分，求出的长，即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
15.【答案】
【解析】解：连接，，
，
，
，
，
，
，
圆与边相切于点，
，
，
，
，
劣弧的长是．
故答案为：．
连接，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据切线的性质和平角的定义可得，然后利用弧长公式进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，弧长的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，以为边向右作等边，连接．
是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
点在射线上运动，
如图中，设交于点，
当点落在上时，点与重合，此时，
当时，的长最小，此时，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
如图，以为边向右作等边，连接利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，如图中，设交于点，再证明是等腰直角三角形，可得结论．
本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17.【答案】解：移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
【解析】移项，合并同类项，系数化为即可求解．
本题考查一元一次不等式的解法，解题关键是熟知不等式的性质以及解一元一次不等式的基本步骤．
18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌．
【解析】根据等角对等边可得，然后利用证明≌，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
，，
故答案为：；；；
补全频数分布直方图如下：
人，
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于的学生人数为人．
根据“频率频数总数”可得的值，进而得出、的值；
根据的值即可补全条形统计图；
利用样本估计总体解答即可．
本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，从统计图表中获取数量和数量关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
20.【答案】解：设底面积与深度的反比例函数解析式为，把点代入解析式得，
．
由得，
随的增大而减小，
当时，，
【解析】设底面积与深度的反比例函数解析式为，把点代入解析式求出的值；
由的范围和图像的性质求出的范围．
此题主要考查反比例函数的性质和概念，解答此题的关键是找出变量之间的函数关系，难易程度适中．
21.【答案】解：
；
关于的方程有两个相等的实数根，
，
，
．
【解析】根据完全平方公式和平方差公式化简；
根据根的判别式可求，再代入计算可求的值．
本题考查了整式的混合运算，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
22.【答案】解：分别以、为圆心，大于为半径画弧，在的两侧分别相交于、两点，画直线交劣弧于点，交于点，即作线段的垂直平分线即可；
是的直径，
，
在中，且，．
，
，
，
又，
是的中位线，
，
即点到的距离为，
，，
，
．
【解析】利用尺规作图，作线段的垂直平分线即可；
根据垂径定理、勾股定理可求出直径，，由三角形中位线定理可求出，即点到的距离，在直角三角形中，求出，由勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义可求出答案．
本题考查尺规作图，直角三角形的边角关系以及三角形中位线定理，掌握直角三角形的边角关系以及三角形的中位线定理是解决问题的前提．
23.【答案】解：，，
，
的长为；
若选择条件：
由题意得：
，
，
，
旗杆的高度为；
若选择条件：
过点作，垂足为，
则，，
在中，，
，
，
旗杆的高度约为．
【解析】根据已知，进行计算即可解答；
若选择条件，根据同一时刻的物高与影长是成比例的，进行计算即可解答；
若选择条件，过点作，垂足为，根据题意可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：将点和点代入，
，
解得，
；
点在直线上，
，
设抛物线的解析式为，
抛物线经过点，
，
，
抛物线开口向下，
，
，
且；
抛物线的对称轴为直线，
点与关于对称，
点的横坐标为，
联立方程组，
整理得，
点和点是直线与抛物线的交点，
，
，
，
，
解得或，
当时，，
此时抛物线的对称轴为直线，
图象在上的最高点坐标为；
当时，，
此时抛物线的对称轴为直线，
图象在上的最高点坐标为；
综上所述：在的图象的最高点的坐标为或．
【解析】用待定系数法求解析式即可；
设抛物线的解析式为，将点代入可得，再由，求的取值即可；
由题意求出点的横坐标为，联立方程组，整理得，根据根与系数的关系可得，可求，从而可求或，确定抛物线的解析式后即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
25.【答案】解：过点作交的延长线于，如图：
四边形是菱形，
，
，
，
在中，
，
，
；
设交于点，过点作交的延长线于，如图：
菱形中，
，，，
，
，
在中，，
是菱形的对角线，
，
在中，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
；
当四边形的面积取最小值时，的值是最小，
理由：设，则，过点作于点，过点作于点，
过点作于点，作于点，过点作交的延长线于，如图：
，，
四边形、是矩形，
，，，，
由可知：，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
当时，四边形的面积取得最小值，
，
，当且仅当时，，
，
当且仅当时，，即当时，的最小值为，
当四边形的面积取最小值时，的值也最小，最小值为．
【解析】过点作交的延长线于，根据菱形内角得邻补角是，利用三角函数即可解答；
设交于点，过点作交的延长线于，因为利用即可求解，所以先解直角三角形求出上面求各部分面积需要的边长即可解答；
设，则，过点作于点，过点作于点，过点作于点，作于点，过点作交的延长线于，所以四边形、是矩形，对边相等，方法同，用含的式子表示计算面积需要的各边长并代入到中，根号里面化简、合并、配成二次函数的顶点式即可求出最值，从而解答．
本题是四边形综合题，考查了菱形性质、解直角三角形、割补法求不规则图形面积、二次函数的顶点式及最值等知识点，也考查了从特殊到一般的数学思想和转化思想，难度较大，计算繁琐，解题关键是熟练掌握二次函数性质，是中考常考题型．
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