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2021-2022学年广东省广州市越秀区八年级（下）期末数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
在下列各式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
点在一次函数的图象上，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，在菱形中，点，分别是，的中点，如果，那么菱形的周长为( )
A. B. C. D.
下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
年月，第届冬季奥林匹克运动会在北京举行．某校八年级班在班会课开展了冬奥会知识小竞赛，位同学在这个知识竞赛中的成绩统计结果如右表所示，则这位同学的平均成绩是( )
成绩
人数
A. B. C. D.
若函数和函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
如图，在 中，于点，于点，若，则( )
A. B. C. D.
若点，都在直线上，则下列大小关系成立的是( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，直线过定点，过点作直线轴交直线于点，连接，若平分，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
求值： ______ ．
将函数的图象向上平移个单位，所得的函数图象的解析式为______．
甲、乙两人进行射击测试，每个人次射击成绩的平均值都是环，方差分别是，，则两人中成绩比较稳定的是______填“甲”或“乙”
已知，则代数式的值是______．
如图，在直线上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点，分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为，，已知，，则______．
如图，正方形的边长为，点为对角线上任意一点不与，重合，连接
，过点作，交线段于点，以，为邻边作矩形，连接给出下列四个结论：
；
；
设四边形的周长为，则；
当时，的面积为．
其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
计算：．
如图，在矩形中，点，分别在边，上．且求证：四边形是平行四边形．
如图，已知，，．
求的长；
求的面积．
新冠肺炎疫情防控时刻不能放松．某校倡议学生积极参加体育锻炼，提高免疫力．为了解八年级学生周末体育锻炼的情况，在该校八年级学生中随机抽取了名女生和名男生，调查了他们周末的锻炼时间，收集到如下数据单位：分钟：
女生
男生
女生锻炼时间的众数为______，男生锻炼时间的中位数为______；
如果该校八年级的女生有人，男生有人，请估计该校八年级学生周末炼的时间在分钟以上不包含分钟的人数．
在中，点是边上的一点，连接作，，连接．
如图，当时，求证：；
如图，当是边的中点时，若，，求四边形的面积．
，两地距离，甲、乙两人同时从地出发前往地．甲先匀速慢走，而后匀速慢跑；乙始终保持匀速快走，设运动时间为单位：甲、乙距离地的路程分别为，单位：，，分别与的函数关系如图所示．
求关于的函数解析式；
相遇前，是否存在甲、乙两人相距的时刻？若存在，求运动时间；若不存在，请说明理由．
如图，已知．
尺规作图：作平行四边形；保留作图痕迹，不写作法
在所作的平行四边形中，连接，交于点．
若，，，求的长；
过点作直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为
，平行四边形的面积为，求：的值．
如图，点，，，四边形是矩形，与轴交于点．
求直线的解析式；
求线段的长；
若点为直线上一动点，设的面积为，的面积为，且，求点的坐标．
已知，，点为射线上一动点不与点重合，关于的轴对称图形为．
如图，当点在射线上时，求证：四边形是菱形；
如图，当点在射线，之间时，若点为射线上一点，点为的中点，且，，求的长；
如图，在的条件下，若，连接，点，分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】
【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：点在一次函数的图象上，
，
解得，
故选：．
把点代入，解关于的方程即可．
此题考查一次函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横坐标就适合这个函数解析式．
4.【答案】
【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
菱形的周长．
故选：．
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法，乘法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加法，乘法法则是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：这位同学的平均成绩是，
故选：．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
7.【答案】
【解析】解：观察函数图象得时，，
所以关于的不等式的解集为．
故选：．
利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：认真体会一次函数与一元一次不等式组之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，再证，求出，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
随的增大而减小，
又点，都在直线上，且，
．
故选：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：过点作直线轴交直线于点，
点，
设直线与轴交于点，令，则，即点，如图，
平分，
，
，
，
，
则，
即，
解得：．
故选：．
根据题意证明，则，即可根据勾股定理得到关于的方程，解方程即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理的应用等，表示出、的坐标是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据算术平方根的定义，即可解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
12.【答案】
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，
将函数的图象向上平移个单位所得函数的解析式为．
故答案为：．
根据一次函数图象平移时“上加、下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】甲
【解析】解：因为甲的方差最小，所以两人中成绩比较稳定的是甲，
故答案为：甲．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
由，可得，有，即可得．
本题考查代数式求值，解题的关键是根据已知变形，求出，再整体代入．
15.【答案】
【解析】解：如图，
正放的两个正方形的顶点，分别是斜放正方形相邻两边的中点，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，，
由勾股定理得，，
，
故答案为：．
利用证明≌，得，再利用勾股定理求出的长，从而解决问题．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明≌是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
，
、、、在以为直径的圆上，
，，
，
，
正确；
如图，连接，过点作于点，
四边形是正方形，点在上，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
假设，则，
，即、是的三等分点，
而当点在上运动时，点会在线段上运动，
不正确；
由得，，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
随的增大而增大，
当时，最小，的值最小，
此时，
的最小值为，
当点与点或点重合时，最大，的值最大，
此时，的最大值为，
点不与、重合，
，
正确；
如图，连接，过点作于点，
，，
，
由知四边形是正方形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
．
正确；
综上所述，正确的结论有．
故答案为：．
连接，根据正方形的性质及圆周角定理可以判断；
连接，过点作于点，利用正方形的性质及线段的和差关系可得，假设，则，可得，即、是的三等分点，当点在上运动时由此可判断；
由正方形的判定与性质可得，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断；
连接，过点作于点，根据正方形的性质及勾股定理可得、的长，再利用三角形的面积公式答案．
此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】先根据乘法分配律去括号，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】证明：四边形是矩形，
即，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【解析】根据矩形的性质得出，，求出，，求出，根据平行线的判定得出，根据平行四边形的判定推出即可．
本题考查了矩形的性质和平行四边形的判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
19.【答案】解：，
，
，
，
的长为；
，，
，
是直角三角形，
，
的面积
，
的面积为．
【解析】根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，从而可得，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：根据众数的定义可知，女生锻炼时间的众数为；
因为数据有个，所以中位数为第个和第个数的平均数，
所以男生锻炼时间的中位数为；
该校八年级学生周末炼的时间在分钟以上不包含分钟的人数为人，
答：该校八年级学生周末炼的时间在分钟以上不包含分钟的人数为人．
一组数据中出现次数最多的数值，叫众数这组数据的众数，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，根据定义直接解答即可；
先计算样本中学生周末炼的时间在分钟以上不包含分钟的人数，用样本估计总体即可．
本题考查了众数和中位数的概念，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响．
21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
；
解：是边的中点，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
，
四边形的面积是，
即四边形的面积是．
【解析】根据，，可以得到四边形是平行四边形，再根据，即可得到结论成立；
根据题意，先判断四边形是菱形，然后求出的长，再计算四边形的面积即可．
本题考查勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：当时，设，把代入得：
，
解得，
，
当时，设，
把代入得：
，
解得，
，
关于的函数解析式为；
乙小时运动千米，
乙的速度是千米小时，
，
当时，解得，
当时，解得，
答：相遇前，存在甲、乙两人相距的时刻，运动时间为小时或小时．
【解析】分段用待定系数法可得解析式；
分两种情况分别列方程可得答案．
本题考查一次函数的实际应用，根据待定系数法求出函数关系式是解题关键．
23.【答案】解：如图所示，
即为所求；
如图，
四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
；
如图，
四边形是平行四边形，
，，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
≌，
，
，
，
：．
【解析】分别以、为圆心，、为半径画弧，两弧交于点，连接、，即可得到平行四边形；
由平行四边形的性质得出，，由勾股定理得出，即可求出；
先证明≌，得出，即可得出，再证明≌，得出，得出，进而得出，即可得出：．
本题考查了作图复杂作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质，基本作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
24.【答案】解：设直线解析式为，
将，代入得，
解得，
．
连接交于点，
四边形是矩形，点坐标为，点坐标为，点为中点，
点坐标为，
设直线解析式为，
将，代入得，
解得，
，
将代入得，
解得，
点坐标为，即．
的面积为，
，
作轴于点，
当点在轴左侧时，连接，作轴于点，
，
，
，
解得，
将代入得，
点坐标为
当点在轴右侧，连接，作轴于点，
，
，
，
解得，
将代入得，
点坐标为
综上所述，点坐标为或
【解析】通过待定系数法求解．
连接交于点，由四边形是矩形可得点坐标，从而可得直线解析式，进而求解．
由可得的面积，分类讨论点在轴左右两侧两种情况，结合图象求解．
本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，通过分类讨论求解．
25.【答案】证明：如图中，
与关于对称，
，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
解：如图中，连接交于点设．
与关于对称，
垂直平分线段，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
；
解：如图中，设交于点，过点作于点，设．
四边形是菱形，，
，，，
，都是等边三角形，
，，
，
，，
，
欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小，如下图，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为线段的长，
，
的最小值为．
解法二：可以在下方构造≌来做，得为等腰直角三角形．
由，可得结论．
【解析】证明四边相等，可得结论；
如图中，连接交于点设根据的两种求法，构建方程，求出即可；
如图中，设交于点，过点作于点，设由题意推出欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小，如下图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为线段的长．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
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