资源简介

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2.3.2　两点间的距离公式
【考点梳理】
考点　两点间的距离
公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
【题型归纳】
题型一：求平面两点间的距离
1．已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（ ）
A．8 B．6 C．3 D．0
2．已知三角形的三个顶点，则过A点的中线长为（ ）
A． B． C． D．
3．直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（　　）
A． B． C．3 D．
题型二： 由顶点坐标判断三角形的形状
4．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
5．已知的三个顶点分别是，则为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
6．已知三顶点为、、，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
题型三：由距离求点的坐标
7．已知点A（﹣2，﹣1），B（a，3）且|AB|＝5，则a等于（　　）
A．1 B．﹣5 C．1或﹣5 D．其他值
8．直线上与点的距离等于的点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
9．已知点P的横坐标是7，点P到点N(-1，5)的距离等于10，则点P的纵坐标是
A．11 B．-1 C．11或-1 D．41
题型四：用两点间的距离公式求函数最值
10．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为．
A． B． C． D．
11．在直角坐标系中，已知，，若直线上存在点，使得，则正实数的最小值是　　
A． B．3 C． D．
12．在平面直角坐标平面内有四点，，，，为该平面内的动点，则到、、、四点的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
13．已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（ ）
A． B． C． D．
14．点为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是，那么点M到原点O的距离为（ ）
A．41 B． C． D．39
15．已知直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，若它们分别绕点P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离d的取值范围为（ ）
A．(0，5] B．(0，5) C．(0，+∞) D．(0，]
16．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
17．已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（ ）
A．10 B．13 C．16 D．20
18．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
19．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
20．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
21．若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ）
A．3 B．
C．5 D．
22．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
23．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为A(0,0)，B(4,0)，，则该三角形的欧拉线方程为
A． B． C． D．
24．设，动直线：过定点，动直线：过定点，若直线与相交于点（异于点，），则周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
25．已知平面上两点，，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
26．在平面直角坐标系中，已知点，，那么（ ）
A．2 B． C． D．4
27．到，的距离相等的动点P满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
28．已知过点的直线的斜率为，则等于
A．10 B．180 C．6 D．6
29．设定点，B是x轴上的动点，C是直线上的动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
30．已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．设，直线过定点，直线过定点，则=（ ）
A． B． C． D．1
32．直线kx＋y＋1＝2k，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．(2，－1) B．(－2，－1)
C．(2，1) D．(－2，1)
二、多选题(共0分)
33．当0＜k＜时，直线l1：kx－y－k＋1＝0与直线l2：ky－x－2k＝0的交点可能是（ ）
A．(2，3) B．(1，2)
C． D．
34．已知直线，则下述正确的是（ ）
A．直线的斜率可以等于
B．直线的斜率一直存在
C．直线时直线的倾斜角为
D．点到直线的最大距离为
35．下列说法中，正确的有（ ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．直线在轴上的截距为
C．直线关于对称的直线方程是
D．点到直线的的最大距离为
三、填空题(共0分)
36．在平面直角坐标系中，已知圆，点是圆外的一个动点，直线分别切圆于两点．若直线过定点（1，1），则线段长的最小值为____________．
37．若直线与交于点A，且，则___________．
38．已知、两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为，则______．
39．已知正方形的两边所在直线方程分别为，，则正方形的面积为________.
40．若直线过定点，直线过定点，则两点间的距离是____________．
41．已知m，n，a，，且满足，，则的最小值为________.
四、解答题(共0分)
42．已知、、三点，且，求的值．
43．已知直线恒过定点.
（1）求点的坐标；
（2）若点与点关于轴成轴对称，点是直线上一动点，试求的最小值.
44．已知点，，，求证：是等腰三角形．
45．（1）已知点P是平面上一动点，点，是平面上两个定点，求的最小值，并求此时P的坐标；
（2）求函数的最小值．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
利用平面内两点间的距离公式直接计算作答.
【详解】
因点，，则，
所以A，B两点之间的距离等于3.
故选：C
2．B
【解析】
【分析】
先求出BC的中点D的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可
【详解】
设过A点中线长即为线段AD.
D为BC中点：，即D（4，2）
∴
故选：B.
3．D
【解析】
【分析】
求出与的交点坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】
由得，即，
由得，即，
则|AB|.
故选：D
4．C
【解析】
【分析】
计算出，由此确定三角形的形状.
【详解】
，
，
，
，
所以三角形是直角三角形.
故选：C
5．A
【解析】
【分析】
根据斜率公式，求得的值，结合，即可求解.
【详解】
由的三个顶点分别是，
可得，
，所以，
又由斜率公式，可得，
所以，即，所以为直角三角形.
故选：A.
6．B
【解析】
【分析】
由向量的坐标表示有，，结合向量数量积的坐标运算，即可判断三角形的形状.
【详解】
由已知，，，
∴，即，
∴是直角三角形.
故选：B.
7．C
【解析】
【分析】
利用两点间的距离公式列方程，化简求得的值.
【详解】
∵点A（﹣2，﹣1），B（a，3）且|AB|＝5，
∴5，
解得a＝1或a＝﹣5．
故选：C
8．C
【解析】
【分析】
设所求点坐标为，根据已知条件列方程，由此求得正确答案.
【详解】
设所求点的坐标为，有，且，
两式联立解得或.
故选：C
9．C
【解析】
【分析】
设出点坐标，根据两点间的距离列方程，解方程求得点的纵坐标.
【详解】
设∵点到点的距离等于，∴，解得或.
故选C.
【点睛】
本小题主要考查两点间的距离公式，考查方程的思想，属于基础题.
10．B
【解析】
【分析】
设，则四边形为平行四边形，故而就是的最小值，又的最小值就是.
【详解】
因为，故，
，故，所以，
又，所以，故四边形为平行四边形，
，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
的最小值为，选B.
【点睛】
本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.
11．D
【解析】
【分析】
设，由结合两点间的距离公式，得到关于的一元二次方程，利用判别式可解出的范围，取其最小的正值即可．
【详解】
解：设，由得
化简得，
，
解得或（舍，
易知时，．
故的最小值为．
故选：．
【点睛】
本题考查了两点间距离公式以及判别式法求最小值的问题，同时考查了学生的逻辑推理能力、数学运算等数学核心素养，属于基础题．
12．D
【解析】
根据和可知当为两条对角线的交点时，到、、、四点的距离之和取得最小值，由此计算可得结果.
【详解】
依题意可知，四点，，，构成一个四边形，
因为，当且仅当在对角线上时取得等号，
因为，当且仅当在对角线上时取得等号，
所以，
当且仅当为两条对角线的交点时取得等号.
故到、、、四点的距离之和的最小值为
故选：D
【点睛】
关键点点睛：找出使得到、、、四点的距离之和取得最小值时的位置是解题关键.
13．B
【解析】
【分析】
根据中点坐标公式求解出中点的坐标，结合两点间距离公式求解出边上中线的长.
【详解】
设边的中点为.
因为，，所以，，
即，所以，
故选：B.
14．B
【解析】
【分析】
利用中点坐标公式，求出点坐标，再利用两点间距离公式可求点M到原点O的距离.
【详解】
设，由中点坐标公式得，，
解得，．所以点．
则．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了中点坐标公式和两点间距离公式，属于基础题.
15．A
【解析】
【分析】
先判断当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围.
【详解】
当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的距离最大，
最大距离为
所以l1，l2之间的距离的取值范围是.
故选：A
16．C
【解析】
【分析】
根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解.
【详解】
因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：，
由得点，由得点，而，，
于是得，
而表示动点到定点与的距离的和，
显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，，
当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0，
从而得取最小值，
所以，当直线l3方程为：时，取最小值.
故选：C
17．B
【解析】
【分析】
由题意，直线与直线互相垂直且垂足为点，又直线过定点，直线过定点，在中，根据勾股定理及两点间的距离公式即可求解.
【详解】
解：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点，
又因为直线过定点，直线，即过定点，
所以在中，，
故选：B.
18．B
【解析】
【分析】
由费马点所对的三角形三边的张角相等均为120°，求出费马点，再根据费马点是与三角形三个顶点距离之和最小的点求出.
【详解】
设为坐标原点，由，，，
知,且为锐角三角形，
因此，费马点M在线段上，设，如图，
则为顶角是120°的等腰三角形，故，
所以，
则的最小值为.
故选：B
19．C
【解析】
【分析】
先求出直线，的斜率，从而可得kAC·kBC＝－1，再求出,进而可得三角形的形状
【详解】
因为kAC＝＝，kBC＝＝－，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC.
又AC＝＝a，|BC|＝＝a，
所以△ABC为直角三角形．
故选：C
20．A
【解析】
【分析】
依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】
设第四个顶点为．当点的坐标为时，，，，
．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，B正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，C正确；
当点坐标为时，因为，即且，
故是平行四边形，D正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了两点间的距离公式，考查了判断两直线是否平行，属于基础题.
21．D
【解析】
【分析】
先根据过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行求得a与b的关系，再利用两点间的距离公式求解.
【详解】
由题意得＝2，即b－a＝2.
所以|AB|＝.
故选：D
22．A
【解析】
【分析】
根据题意作图，分类讨论：当A与B重合于坐标原点O时；当A与B不重合时，从而可求得答案.
【详解】
如图，设点关于y轴的对称点为P，关于x轴的对称点为Q，
则P的坐标为，Q的坐标为，则．
当A与B重合于坐标原点O时，
；
当A与B不重合时， ．
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时， 取得最小值10．
故选：A
23．A
【解析】
【分析】
利用点A,B,C坐标得出重心G的坐标，设的外心为,可得，从而解出，利用点斜式即可得出欧拉线.
【详解】
的顶点为A(0，0)，B(4，0)， ，∴重心.设的外心为，则，即，解得，∴W(2，0).则该三角形的欧拉线即直线GW的方程为，化简.故选A.
【点睛】
本题主要考查了直线的方程的求法，利用点斜式求方程时要知道直线的斜率以及直线上一点的坐标，属于中档题.
24．D
【解析】
【分析】
根据，得到与始终垂直，即，则，由基本不等式，得到求解.
【详解】
直线：过定点，直线：过定点，
因为，
所以与始终垂直，又是两条直线的交点，
∴，
∴.
由，可得，
则，
即有，当且仅当时，上式取得等号，
∴周长的最大值为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查两直线的位置关系的应用以及基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
25．D
【解析】
【分析】
利用两点间距离公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】
根据题意，平面上两点，，，
则，则有，
则的最小值为，
故选：D.
26．A
【解析】
【分析】
利用利用两点间的距离公式求得.
【详解】
.
故选：A
27．B
【解析】
【分析】
设点，利用，整理化简后可的点P满足的方程.
【详解】
设，
因为点P到，的距离相等，
则
即，
化简整理得：．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了求点的轨迹方程，涉及两点间距离公式，属于基础题.
28．D
【解析】
【分析】
根据直线MN的斜率求出a的值，再利用两点间的距离公式计算的值.
【详解】
过点，的直线斜率为，
解得，
.
所以D选项是正确的.
【点睛】
本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题.
29．B
【解析】
【分析】
作关于的对称点，关于x轴的对称点，根据两点间线段最短，则的长即为所求.
【详解】
解：作出点关于的对称点，关于x轴的对称点，
连接，交直线于点C，交x轴于点B，如图，
，
则，
周长的最小值为.
故选：B.
【点睛】
考查公理“两点间线段最短”的应用，基础题.
30．B
【解析】
【分析】
利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】
点，，点在轴上，
点关系轴的对称点为，
.
故选：B.
31．A
【解析】
【分析】
分析可得两条直线过的两定点分别为，，利用两点间距离公式即得解
【详解】
对于，当时，，即过定点，即.
对于，其方程可以写成，由，
得直线过定点，即.
所以.
故选:A
32．A
【解析】
【分析】
把直线化成点斜式即可得出答案.
【详解】
由，得，
所以所有直线都通过定点.
故选：A.
33．CD
【解析】
【分析】
首先求交点坐标，根据选项，代入验证.
【详解】
联立，得，
，，，即交点在第二象限，
验证C选项，，得，成立，
验证D选项，，得，成立，
故选：CD
34．ACD
【解析】
【分析】
根据直线斜率的定义和倾斜角的定义，即可判断ABC,对于D选项，求出直线恒过定点，所求最大距离，即为这两点间的距离.
【详解】
解：对于A,当时，此时斜率为0，故A对，
对于B, 当时，此时斜率不存在，故B错，
对于C, 当时，直线，即，斜率为1，倾斜角为，故C对.
对于D, ,即，恒过和的交点，要使点到直线的最大距离，即时，此时最大距离为，故D对.
故选：ACD
35．BD
【解析】
【分析】
点斜式方程不能表示斜率不存在的直线判断A；直接令求解直线在轴上的截距判断B；结合关于直线对称的点的关系求解判断C；结合直线过定点求解即可判断D.
【详解】
解：对于A选项，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故错误；
对于B选项，令得，所以直线在轴上的截距为，正确；
对于C选项，由于点关于直线对称的点为，所以直线关于对称的直线方程是，故错误；
对于D选项，由于直线，即直线过定点，所以点到直线的的最大距离为，故正确.
故选：BD
36．
【解析】
根据圆，设，分别求得过A点和B点的圆C的切线方程，再根据点P在过A、B的圆C的切线上，得到直线AB的方程，由直线过定点（1，1），得到的关系，然后由，利用二次函数求解.
【详解】
由圆，得，
设，
当时，则过A点的圆C的切线方程为：
，
整理得：，①
若，则或，
，切线方程为，满足①方程，
，切线方程为，满足①方程，
过A点的圆C的切线方程为，
同理过B点的圆C的切线方程为，
又点P在过A、B的圆C的切线上，
所以，，
所以直线AB的方程为：，
又直线过定点（1，1），
所以，
即，
所以，
当时，线段的长取得最小值，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，以及两点间的距离的最值，属于较难题．
37．
【解析】
将直线方程联立求出交点，再利用两点间的距离公式即可求解.
【详解】
联立解得，故，
则．
故答案为：
38．
【解析】
【分析】
由两直线垂直可求得实数的值，进而可求得两直线的交点的坐标，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出，可得解.
【详解】
由于直线与直线垂直，则，解得，
联立，解得，所以，直线与直线交于点，
由直角三角形斜边上的中线的长度等于斜边的长度的一半，且，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用两直线垂直求参数，以及求两直线的交点坐标，同时也考查了直角三角形的性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
39．2
【解析】
【分析】
直接利用两平行线间的距离公式求得其距离，即正方形的边长，进而求得正方形的面积，得到结果.
【详解】
由条件知两直线平行，则正方形的边长为这两条平行直线间的距离，
即边长，所以正方形的面积为2.
故答案为：2.
【点睛】
该题考查的是有关两平行线间的距离公式，属于基础题目.
40．
【解析】
【分析】
把直线方程整理成关于的恒等式，然后应用恒等知识求得两点坐标，由两点间距离公式得距离．
【详解】
由得，所以，
直线方程变形为：，由解得，即，
所以．
故答案为：．
【点睛】
本题考查两点间距离公式，考查直线过定点问题．直线过定点问题，一般把直线方程整理成关于参数的恒等式，然后由恒等式知识求得定点坐标．
41．1
【解析】
【分析】
设点，，直线，直线， 的最小值可转化为点与点两点间距离的最小值，显然最小值为两平行线之间的距离.
【详解】
设点，，直线，直线，
由题意知点在直线上，点在直线上，
所以，
显然，所以的最小值就是两平行线之间的距离，
即.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查两点间的距离公式，考查两平行线之间的距离公式，考查逻辑思维能力和计算能力，考查转化思想，属于常考题.
42．
【解析】
【分析】
利用两点间的距离公式可得出关于的等式，由此可解得实数的值.
【详解】
由可得，解得.
43．（1） （2）
【解析】
（1）将直线的方程重新整理，由此列方程组，解方程组求得的坐标.
（2）先求得点的坐标，设出点坐标，利用两点间的距离公式求得的表达式，结合二次函数的最值的求法，求得的最小值.
【详解】
（1）整理即：，
令，故点的坐标为；
（2）∵点与点关于轴成轴对称，故点的坐标为，
∵点是直线上一动点，设，
∴
，故当时，取最小值为.
【点睛】
本小题主要考查直线过定点的问题，考查两点间的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
44．证明见解析.
【解析】
【分析】
由已知，根据两点间距离公式分别求出，得出，而，，三点不共线，即可证明是等腰三角形.
【详解】
证明：由题可知，，，，
，
，
，
，
又由坐标可知，，，三点不共线，
是等腰三角形．
【点睛】
本题考查两点间的距离公式的应用，以及等腰三角形的性质特征，属于基础题.
45．（1）最小值为5，此时；（2）．
【解析】
【分析】
(1)设，利用两点距离公式，构建关于x、y的函数，由函数式的几何意义即可得最小值及对应坐标；
(2)将函数转化为动点到两定点的距离问题，结合坐标系即可求得最小值
【详解】
（1）设，
则，
，
即P到距离最小时，最小
当，时，的值最小．
故的最小值为5，此时．
（2）
设，，，如图，则上述问题转化为求的最小值．
点A关于x轴的对称点为，即可转化为P在x轴移动过程最短问题
的最小值为．
【点睛】
本题考查了两点距离公式，根据函数解析式的几何意义，结合坐标系求最值，需注意代数式的几何含义以及两点间线段最短等知识的应用
试卷第1页，共3页

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