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第二章 函数
专题1：函数的概念及其表示
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
1．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
2．常见函数定义域的求法
类型 x满足的条件
(n∈N*) f(x)≥0
(n∈N*) f(x)有意义
与[f(x)]0 f(x)≠0
logaf(x)(a＞0且a≠1) f(x)＞0
af(x)(a＞0且a≠1) f(x)有意义
tan[f(x)] f(x)≠＋kπ，k∈Z
四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集
实际问题 使实际问题有意义
考点一　求函数的定义域
1.（2022·武昌模拟）函数的定义域为　 　.
【答案】
【解析】由题知，，所以的定义域为，
故答案为：.
2.（2022·江西抚州·高一期末）函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到，进而解得答案即可.
【详解】
由题意，.
故答案为：.
3．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据根式的定义及分式的定义即可得到不等式组，即可求解.
【详解】
解：由题可得，解得，，且；
的定义域为：．
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.
【详解】
函数的定义域为，即，所以，
所以，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【思维升华】
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
考点二　求函数的解析式
1.（2022·九江模拟）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数在处无定义，排除A
函数的图像关于原点对称，故为奇函数，排除B
当时，，，故，排除C
故答案为：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________.
【答案】，
【解析】
【分析】
由配方法可得，利用换元法可求出答案.
【详解】
又当且仅当，即时等号成立.
设，则，所以
所以
故答案为：，
考点三　分段函数
求分段函数的函数值
（2022·浙江模拟）已知函数，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意，得，.
故答案为：B．
求参数或自变量的值
1.（2022·漳州模拟）已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为的值域为，所以的值域为.
当 时， .
当 时，①若 ，即 ， ，此时不满足条件.
②若 ，即 ， ，此时 的值域不可能为 .
③若 ，即 ， ，要使 的值域为 ，则 ，即
解得： 或 ，又因为 ，所以 .
故答案为：B.
2.（2022·全国·高一专题练习）设函数，若，则实数的值为_____．
【答案】
【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.
【详解】由题意知，；
当时，有，解得(舍去)；
当时，有，解得(舍去)或．
所以实数的值是：．
故答案为：.
解与分段函数有关的不等式
1.（2022·河北模拟）设函数则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：因为，所以，，
则，即，
的函数图象如下所示：
由函数图象可知当时且在上单调递减，所以等价于，即，解得，即；
故答案为：A
2.（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.
【详解】由题意可知，，
当时，，解得或，
因为，所以；
当时，，解得，
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：
1.（2022·全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（　　）
A． B．
C． D．
2.（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】
由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
3．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
一、单选题
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
4．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟
5．若函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象如图，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则“”是“在R上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设函数，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．设函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．若函数的值域为，则实数的取值范围是______.
11．已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值范围是_________
12．在区间[0，2π]上，函数的定义域为___．
13．函数的单调递减区间是______．
三、解答题
14．求下列函数的定义域
(1)；
(2)；
(3)（）.
15．已知函数.
(1)求的值；
(2)求不等式的解集；
(3)当时，是否存在使得成立的值？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由.
16．已知函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若对、且，都有成立，求实数k的取值范围.
17．已知A，B两地相距，某船从A地逆水到B地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当，每小时的燃料费为720元．
(1)求比例系数；
(2)当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
(3)设，当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
18．求下列函数的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知是一次函数且，求的解析式；
(4)已知满足，求的解析式.中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 函数
专题1：函数的概念及其表示
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
1．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
2．常见函数定义域的求法
类型 x满足的条件
(n∈N*) f(x)≥0
(n∈N*) f(x)有意义
与[f(x)]0 f(x)≠0
logaf(x)(a＞0且a≠1) f(x)＞0
af(x)(a＞0且a≠1) f(x)有意义
tan[f(x)] f(x)≠＋kπ，k∈Z
四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集
实际问题 使实际问题有意义
考点一　求函数的定义域
1.（2022·武昌模拟）函数的定义域为　 　.
【答案】
【解析】由题知，，所以的定义域为，
故答案为：.
2.（2022·江西抚州·高一期末）函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到，进而解得答案即可.
【详解】
由题意，.
故答案为：.
3．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据根式的定义及分式的定义即可得到不等式组，即可求解.
【详解】
解：由题可得，解得，，且；
的定义域为：．
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.
【详解】
函数的定义域为，即，所以，
所以，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【思维升华】
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
考点二　求函数的解析式
1.（2022·九江模拟）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数在处无定义，排除A
函数的图像关于原点对称，故为奇函数，排除B
当时，，，故，排除C
故答案为：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________.
【答案】，
【解析】
【分析】
由配方法可得，利用换元法可求出答案.
【详解】
又当且仅当，即时等号成立.
设，则，所以
所以
故答案为：，
考点三　分段函数
求分段函数的函数值
（2022·浙江模拟）已知函数，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意，得，.
故答案为：B．
求参数或自变量的值
1.（2022·漳州模拟）已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为的值域为，所以的值域为.
当 时， .
当 时，①若 ，即 ， ，此时不满足条件.
②若 ，即 ， ，此时 的值域不可能为 .
③若 ，即 ， ，要使 的值域为 ，则 ，即
解得： 或 ，又因为 ，所以 .
故答案为：B.
2.（2022·全国·高一专题练习）设函数，若，则实数的值为_____．
【答案】
【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.
【详解】由题意知，；
当时，有，解得(舍去)；
当时，有，解得(舍去)或．
所以实数的值是：．
故答案为：.
解与分段函数有关的不等式
1.（2022·河北模拟）设函数则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：因为，所以，，
则，即，
的函数图象如下所示：
由函数图象可知当时且在上单调递减，所以等价于，即，解得，即；
故答案为：A
2.（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.
【详解】由题意可知，，
当时，，解得或，
因为，所以；
当时，，解得，
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：
1.（2022·全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，故排除B；
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C；
设 ，则 ，故排除D.
故选：A
2.（2022·浙江·高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】
由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
3．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
一、单选题
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据求解即可
【详解】
∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为
故选：A.
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简，集合A是函数的定义域，集合B是考查的是二次根式的意义，再运算即可得解．
【详解】
解：由题意得，或，
，故，
故选：B.
3．已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围.
【详解】
设，，则，
，，
所以函数的解析式为，．
故选：B.
4．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用待定系数法求出和时，关于的函数关系式，再求出时，的值，然后结合函数图象即可得出答案．
【详解】
当时，设，
将点代入得：，解得，
则此时，
当时，设，
将点代入得：，
则此时，
综上，，
当时，，解得，
当时，，解得，
则当时，，
所以此次消毒的有效时间是（分钟），
故选：C．
5．若函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值
【详解】
因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为.
故选：D
6．函数的图象如图，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由图象可得的定义域为、，即可得到的值，然后可解出不等式.
【详解】
由图象可得的定义域为，所以
然后可得，所以
所以，
当或者时，，所以不成立
当时，由可得，即，所以
故选：D
7．已知函数，则“”是“在R上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先由在R上单调递增求得a的取值范围，再去判断“”与“在R上单调递增”二者间的逻辑关系即可.
【详解】
若在R上单调递增，
则时，单调递增，且，所以.
由“”可以得到“”，但由“”不可以得到“”，
所以“”是“在R上单调递增”的必要不充分条件.
故选：B.
8．设函数，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分段函数结合指对数的运算求解即可
【详解】
设函数，则.
故选：B.
9．设函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析出函数为奇函数，可得出，然后分、两种情况解不等式，即可得出实数的取值范围.
【详解】
当时，，则，
当时，，则，
所以，函数为奇函数，由可得，
当时，由，可得；
当时，由，可得，解得.
综上所述，实数的取值范围的取值范围是.
故选：D.
二、填空题
10．若函数的值域为，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
分，和三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案.
【详解】
解：当时，，
当时，，，
，，
则此时函数的值域不是，
故不符合题意；
当时，，，
，，
则此时函数的值域不是，
故不符合题意；
当时，，，
，，
因为函数的值域为，
所以，解得，
综上所述实数的取值范围是.
故答案为：.
11．已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值范围是_________
【答案】
【解析】
【分析】
根据分段函数的性质，分类讨论的取值范围，利用基本不等式及求导判断函数单调性，求解参数的取值范围.
【详解】
因为函数，满足对任意的，恒成立，
当时，恒成立，即恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，所以.
当时，恒成立.当时，恒成立，即恒成立，
设，，
，，为减函数，，，为增函数，
所以，即，综上所述：.
故答案为：.
12．在区间[0，2π]上，函数的定义域为___．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，再结合可求得答案
【详解】
由题意得，且，
即 且，
所以，得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
13．函数的单调递减区间是______．
【答案】
【解析】
【分析】
化简函数的解析式，再求出函数定义域，结合复合函数的单调性求解作答.
【详解】
依题意，，由得：，解得，
即的定义域为，令，
则函数在上单调递减，而函数在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是.
故答案为：
三、解答题
14．求下列函数的定义域
(1)；
(2)；
(3)（）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，解不等式组可得答案，
（2）由题意得，解不等式组可得答案，
（3）由解析式得，解不等式组可得答案，
(1)
因为
所以，解得或
所以函数的定义域为；
(2)
因为，
所以，解得：或
所以函数的定义域为；
(3)
因为（）
所以解得：
所以函数（）的定义域为；
15．已知函数.
(1)求的值；
(2)求不等式的解集；
(3)当时，是否存在使得成立的值？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)4
(2)或
(3)存在;
【解析】
【分析】
（1）根据分段函数的解析式，先求得值，进而求得的值；
（2）根据x的取值范围，分段解不等式，可得答案;
（3）根据函数解析式，可直接写出满足条件的值.
(1)
因为函数，故 ，
所以；
(2)
当时，令 ，则，此时，
当时，令，解得，此时，
故不等式的解集为或 ；
(3)
当时，满足时，使得成立,
即当时，存在使得成立的值.
16．已知函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若对、且，都有成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件可得出关于、的等式组，即可解得函数的解析式；
（2）不妨设，可得出，则函数在上为增函数，由在上恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
(1)
解：由条件，可知函数的定义域为，
所以，，
可得，解得.
(2)
解：对、，，都有，
不妨设，由，
则，可得，
也即可得函数在区间上递增；
对任意的恒成立，即，
当时，，故，解得.
因此，实数的取值范围是.
17．已知A，B两地相距，某船从A地逆水到B地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当，每小时的燃料费为720元．
(1)求比例系数；
(2)当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
(3)设，当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
【答案】(1)5
(2)
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意设每小时的燃料费为，则，然后根据当，每小时的燃料费为720元，可求出比例系数，
（2）设全程燃料费为y，根据题意可得，然后利用导数可求出其最小值，
（2）分和两种情况分析计算即可
(1)
设每小时的燃料费为，则，
当，每小时的燃料费为720元，
代入得．
(2)
由（1）得．
设全程燃料费为y，则，
所以，
令，解得（舍去）或，
所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．
所以当时，y取得最小值，
故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为．
(3)
由（2）得当时，则y在区间上单调递减，
所以当时，y取得最小值；
若时，则y在区间内单调递减，在区间上单调递增，
则当时，y取得最小值．
综上，当时，船的实际前进速度为，全程燃料费最省；
当时，船的实际前进速度应为，全程燃料费最省．
18．求下列函数的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知是一次函数且，求的解析式；
(4)已知满足，求的解析式.
【答案】(1)，
(2)，
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）设，由换元法可得出答案.
（2）由，由配凑法可得答案.
（3）可设f(x)=ax+b(a≠0)，利用待定系数法可得答案.
（4）将x用替换,由方程消元法可得答案.
(1)
设，，则
∵
∴ ，
即，
(2)
∵
由勾型函数的性质可得，其值域为
所以
(3)
由f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.
(4)
∵2f(x)+f(-x)=3x，①
∴将x用替换，得，②
由①②解得f(x)=3x.

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