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第二章 函数
专题2.1：函数的基本性质-单调性与最大（小）值
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.了解函数奇偶性的含义.
3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
提醒：(1)求函数的单调区间，应先确定函数的定义域．
(2)有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 ① x∈I，都有f(x)≤M； ② x0∈I，使得f(x0)＝M ①对于 x∈I，都有f(x)≥M； ② x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
提醒：函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
1．若f(x)，g(x)均在区间A上单调递增(减)，则f(x)＋g(x)也在区间A上单调递增(减)．
2．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
3．“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，]．
4．函数单调性的充要条件
若D是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈D且x1≠x2，那么①y＝f(x)在D上单调递增的充要条件是(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0在D上恒成立；
②y＝f(x)在D上单调递减的充要条件是(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]＜0在D上恒成立．
考点一　确定函数的单调性
求函数的单调区间
(2021·海口模拟)函数的单调递增区间为(　　)
　 B． C．(－2,3) D．
【答案】A　
【解析】由－x2＋x＋6>0，得－22．（2022·江西·二模（文））已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间
【详解】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增
故选：D
判断或证明函数的单调性
试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性.
【解析】法一(定义法)：设－1f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a＝，
由于－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)法二(导数法)：f ′(x)＝＝＝－.
当a>0时，f ′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
考点二　函数单调性的应用
比较函数值大小
1.(2022·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．a【答案】　B
【解析】∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，
均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，
∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，
∵f(x)是偶函数，
∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，
又f(x)＝在x∈(0，＋∞)上单调递增，
∴1<<，
又0∴ln <<，
∴>>f(ln )，
即a2．（2022·广东·模拟预测）已知，且，则之间的大小关系是__________.（用“”连接）
【答案】
【分析】易得函数为偶函数，且在上递增，再利用中间量法比较的大小关系，根据函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，
因为函数在上递增，
所以函数在上递增，
则，
因为，所以，
，
所以，
所以，
即.
故答案为：.
解不等式
1．（2022·广西玉林·高二期末（文））已知奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意并结合函数的奇偶性得到函数在上的单调性，进而结合函数的单调性求得答案.
【详解】因为奇函数在区间上单调递减，且，所以在上单调递减，且，
则不等式可转化为或，解得，或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
2.（2022·河南新乡·高一期末）已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是______．
【答案】
【分析】不等式左右两边同时除以，会发现左端部分是单调递减函数，将右端常数变为函数值的形式，利用单调性解不等式.
【详解】因为是奇函数，且，所以．因为，所以．因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减．因为，所以，则．
故答案为：.
求参数取值范围
1.(2022·嘉峪关模拟)函数f(x)＝ln(x2－ax－3)在(1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－2)
C．(－∞，2] D．(－∞，2)
【答案】　A
【解析】函数f(x)＝ln(x2－ax－3)为复合函数，令u(x)＝x2－ax－3，
y＝ln u为增函数，
故只要u(x)＝x2－ax－3在(1，＋∞)上单调递增即可，只要
解得a≤－2.
(2021·海淀模拟)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．(1,2) C．(1，＋∞) D．
【答案】D　
【解析】因为对任意x1≠x2，都有>0，
所以y＝f(x)在R上是增函数．
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
考点三　求函数的最值
1．（2023·全国·高三专题练习）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.
【详解】当时，，
当且仅当时，等号成立；
即当时，函数的最小值为，
当时，，
要使得函数的最小值为，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值．
【详解】设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．
故选：B．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，则的最大值的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】由题可得，进而可得当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，再求函数的最小值即可.
【详解】令，则，
∴时，函数单调递减，时，函数单调递增，
所以可得，
∴当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，
当时，函数，当时，，
∴函数的最小值是.
故选：B.
1.（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：对于A，考察函数f(x)=kx，易知当x<0时，y=kx单调递减，故A错误；
对于B，考察函数f(x)=ax，易知当0对于C，考察函数f(x)=x2，易知当x<0时，f(x)=x2单调递减，当x>0时，f(x)=x2单调递增，故C错误；
对于D，考察函数，易知f(x)=ax单调递增，故D正确.
故答案为：D
2．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
一、单选题
1．已知是定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由可知函数是上的减函数，结合自变量的大小比较函数值即实数a,b,c的大小即可.
【详解】因为是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有，任取
故，化简得：，
∴函数是上的减函数，
因为，，
所以，同理，所以，
又因为，所以，
所以，
故选：C.
2．已知函数满足对任意的都有成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由单调性定义可知在上单调递减，由分段函数每一段上的单调性和分段处的函数值大小关系可构造不等式组求得结果.
【详解】对任意的都有成立，在上单调递减，
，解得：，即实数的取值范围为.
故选：B.
3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性的定义，单调性的定义判断，从而可得答案．
【详解】对于A，因为，定义域为R，所以，所以是偶函数，所以不正确；
对于B，因为定义域为R ，，所以是奇函数，但在上是减函数，所以不正确；
对于C，因为的定义域为不关于原点对称，所以不具备奇偶性，所以不正确；
对于D，因为，定义域为R，，
是奇函数，设，则，
因为，所以，，
所以，即，是定义域为R的单调递增函数，所以正确.
故选：D．
4．已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，使.则下列函数中符合上述条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对于选项A，二次函数性质；对于选项B，函数值域；
对于选项C，函数性质；对于选项D，函数性质；
【详解】
对于选项A，，不满足题意；
对于选项B，，不满足题意；
对于选项C，满足题意；
对于选项D，为奇函数，不满足题意.
故选：C.
5．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设函数，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.
【详解】设，则，
当时，，递增，当时，，递减，
当时，函数取得最小值，
由于 ，故，即，
故选：A
6．设函数，，其中．若对任意的正实数，，不等式恒成立，则a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．e
【答案】C
【分析】根据不等式恒成立的等价形式，求的最小值，然后分离常数得恒成立，令求其最大值，从而得到的取值范围，进而求得最小值.
【详解】依题意，当时，不等式恒成立，等价于，
对于，当时，，，，
当时，，，，
当且仅当时，，
当时，，即，
令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
，
，的最小值为.
故选：C.
7．已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数判断单调性，根据单调性求解最值，根据两个函数最值之间的关系即可求解.
【详解】
，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在上的最大值是．
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在上的最小值是，
若，，恒成立，则，即，
所以，所以实数k的取值范围是．
故选:D．
8．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，故，原不等式变为，进而令，利用最值分析法，通过对的导数进行讨论，即得.
【详解】
由题意得，，令，故，
故.
令，则.
若，则，则在上单调递增，
又，则当时，，不合题意，舍去；
若，则当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增.
因为，
所以若，则当，，舍去；
若，则当，，舍去；
若，则，符合题意，故.
故选：A
【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
二、多选题
9．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在其定义域上为偶函数
B．在上单调递减，在上单调递增
C．的值域为
D．有解集为
【答案】AD
【分析】分段函数需要考虑定义域的范围，对于含有绝对值的简单的分段函数，可以先判断奇偶性再画图像更容易.
【详解】
画出函数图像，如图,
,为偶函数，关于轴对称，所以A正确；
在时的函数图像不是连续递增，所以B不正确；
当时，代入函数得，所以C不正确；
当时，代入得或，结合图像可知，选项D正确.
故选：AD.
10．已知函数，则（ ）
A． B．若，则或
C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】
作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可
【详解】
函数的图象如左图所示．
，故A错误；
当时，，此时方程无解；当时，或，故B正确；
由图象可得，在上单调递增，故C错误；
由图象可知当时，，，故在的值域为，D正确．
故选：BD．
11．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据函数解析式，分、、三种情况讨论，当时根据二次函数的性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可；
【详解】
解：因为，
若，当时在上单调递增，当时，此时函数不存在最小值；
若，则，此时，符合题意；
若，当时在上单调递减，
当时，
二次函数对称轴为，开口向上，此时在上单调递增，
要使函数存在最小值，只需，解得，
综上可得.
故选：ABC
12．已知函数，以下函数存在最小值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
分类讨论去掉绝对值可由一次函数单调性分析有无最小值判断AB，根据绝对值的性质判断CD即可.
【详解】
对A，，当时，函数有最小值，故A正确；
对B，，函数无最小值，故B错误；
对C，有最小值0，故C正确；
对D，，显然当时，有最小值0，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．已知是定义在上的函数，对于任意实数，且时，恒有，若函数的最大值为1，则方程的解为___________.
【答案】
【分析】利用函数的单调性求解即可
【详解】
∵对任意实数，且，恒有，
∴是定义在上的增函数，
∴的最大值为，
∴可转化为，
∴，
解得，
故答案为：
14．若不等式对一切都成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用参变分离法将不等式转化为，令，将不等式恒成立问题转化为成立，求解函数的最大值.
【详解】
解：因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，
令，可知成立，当，函数单调递减，
所以，所以.
故答案为：.
15．已知函数的定义域为，当时，，若，则的解集为___________．
【答案】
【分析】构造，可得在上单调递减，由，转化为，利用单调性可得答案．
【详解】
由，得，
令，则，
又，
所以在上单调递减，
由，得，因为，
所以，所以，得，
故答案为：.
四、解答题
16．已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)增函数，证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，即可求得实数的值；
（2）判断出函数在上为增函数，然后函数单调性定义证明函数在上为增函数即可；
（3）由已知可得，可得出不等式对任意的恒成立，分、两种情况，结合已知条件可的关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
(1)
解：因为函数为奇函数，且，
则，由，则，
所以，对任意的恒成立，所以，，可得.
(2)
证明：由（1）可知，函数在上为增函数，证明如下：
任取、且，则，
所以，
，
所以，，故函数在上为增函数.
(3)
解：由可得，
所以，，即对任意的恒成立.
当时，则有，合乎题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
17．已知函数，且
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并给予证明；
(3)求函数在区间上的最值．
【答案】(1)1;
(2),证明见解析;
(3)最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）由求解即可；
（2）用定义法证明即可；
(3)根据(1),(2)确定函数为奇函数及在区间上的单调性，再求值域即可.
(1)
解：由得：，即，解得；
(2)
解：函数在上为减函数．
证明：设，
则
，
即，即，
在上为减函数．
(3)
解：由(1)知：函数，其定义域为．
，即函数为奇函数．
由(2)知：在上为减函数，则函数在区间上为减函数．
当时，取得最大值，最大值为；
当时，取得最小值，最小值为．
18．设函数，且，.
(1)求的值，并讨论的单调性；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；在上单调递减，在上单调递增
(2)
【解析】
【分析】
（1）先列方程求得的值，再利用复合规则去判断的单调性；
（2）先利用分离参数法得到关于实数的不等式，再构造新函数并求得其最小值，进而得到实数的取值范围.
(1)
由题意得，，，
解之得.故.
令，则，设，.
在上单调递增，；
在上单调递增，.
又由二次函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增.
所以由复合规则可知，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由（1）知，所以可化为.
故原问题等价于，使得成立.
则当时，，
其中表示在上的最小值.
当时，令，则，设，
则，当且仅当时取等号，
所以当，即时，取得最小值.
故的取值范围是.中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 函数
专题2.1：函数的基本性质-单调性与最大（小）值
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.了解函数奇偶性的含义.
3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1f(x2) ，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
提醒：(1)求函数的单调区间，应先确定函数的定义域．
(2)有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 ① x∈I，都有f(x)≤ M； ② x0∈I，使得f(x0)＝ M ①对于 x∈I，都有f(x) ≥M； ② x0∈I，使得f(x0) ＝M
结论 M为最大值 M为最小值
提醒：函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
1．若f(x)，g(x)均在区间A上单调递增(减)，则f(x)＋g(x)也在区间A上单调递增(减)．
2．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
3．“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，]．
4．函数单调性的充要条件
若D是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈D且x1≠x2，那么①y＝f(x)在D上单调递增的充要条件是(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0在D上恒成立；
②y＝f(x)在D上单调递减的充要条件是(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]＜0在D上恒成立．
考点一　确定函数的单调性
求函数的单调区间
(2021·海口模拟)函数的单调递增区间为(　　)
　 B． C．(－2,3) D．
【答案】A　
【解析】由－x2＋x＋6>0，得－22．（2022·江西·二模（文））已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间
【详解】解：依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增
故选：D
判断或证明函数的单调性
试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性.
【解析】法一(定义法)：设－1f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a＝，
由于－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)法二(导数法)：f ′(x)＝＝＝－.
当a>0时，f ′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
考点二　函数单调性的应用
比较函数值大小
1.(2022·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．a【答案】　B
【解析】∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，
均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，
∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，
∵f(x)是偶函数，
∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，
又f(x)＝在x∈(0，＋∞)上单调递增，
∴1<<，
又0∴ln <<，
∴>>f(ln )，
即a2．（2022·广东·模拟预测）已知，且，则之间的大小关系是__________.（用“”连接）
【答案】
【分析】易得函数为偶函数，且在上递增，再利用中间量法比较的大小关系，根据函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，
因为函数在上递增，
所以函数在上递增，
则，
因为，所以，
，
所以，
所以，
即.
故答案为：.
解不等式
1．（2022·广西玉林·高二期末（文））已知奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意并结合函数的奇偶性得到函数在上的单调性，进而结合函数的单调性求得答案.
【详解】因为奇函数在区间上单调递减，且，所以在上单调递减，且，
则不等式可转化为或，解得，或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
2.（2022·河南新乡·高一期末）已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是______．
【答案】
【分析】不等式左右两边同时除以，会发现左端部分是单调递减函数，将右端常数变为函数值的形式，利用单调性解不等式.
【详解】因为是奇函数，且，所以．因为，所以．因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减．因为，所以，则．
故答案为：.
求参数取值范围
1.(2022·嘉峪关模拟)函数f(x)＝ln(x2－ax－3)在(1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，－2)
C．(－∞，2] D．(－∞，2)
【答案】　A
【解析】函数f(x)＝ln(x2－ax－3)为复合函数，令u(x)＝x2－ax－3，
y＝ln u为增函数，
故只要u(x)＝x2－ax－3在(1，＋∞)上单调递增即可，只要
解得a≤－2.
(2021·海淀模拟)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．(1,2) C．(1，＋∞) D．
【答案】D　
【解析】因为对任意x1≠x2，都有>0，
所以y＝f(x)在R上是增函数．
所以解得≤a<2.
故实数a的取值范围是.
考点三　求函数的最值
1．（2023·全国·高三专题练习）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.
【详解】当时，，
当且仅当时，等号成立；
即当时，函数的最小值为，
当时，，
要使得函数的最小值为，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值．
【详解】设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．
故选：B．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，则的最大值的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】由题可得，进而可得当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，再求函数的最小值即可.
【详解】令，则，
∴时，函数单调递减，时，函数单调递增，
所以可得，
∴当时，函数的最大值为，当时，函数的最大值为，
当时，函数，当时，，
∴函数的最小值是.
故选：B.
1.（2021·全国甲卷）下列函数中是增函数的为(　　)
A． B． C． D．
2．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
一、单选题
1．已知是定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数满足对任意的都有成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，使.则下列函数中符合上述条件的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，，其中．若对任意的正实数，，不等式恒成立，则a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．e
7．已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．在其定义域上为偶函数
B．在上单调递减，在上单调递增
C．的值域为
D．有解集为
10．已知函数，则（ ）
A． B．若，则或
C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为
11．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．1
12．已知函数，以下函数存在最小值的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知是定义在上的函数，对于任意实数，且时，恒有，若函数的最大值为1，则方程的解为___________.
14．若不等式对一切都成立，则a的取值范围是______．
15．已知函数的定义域为，当时，，若，则的解集为___________．
四、解答题
16．已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17．已知函数，且
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并给予证明；
(3)求函数在区间上的最值．
18．设函数，且，.
(1)求的值，并讨论的单调性；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围.

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