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第二章 函数
专题4：对数与对数函数
1.理解对数的概念及运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN.
以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，a＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数
(1)一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性 质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；
(2)logam＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
考点一　对数的运算
1.（河南省南阳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）______．
【答案】23
【分析】根据正切的和角公式可得，然后根据对数的运算性质即可求解.
【详解】因为
，
同理可得：， ，
故
故答案为：23
2．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
【答案】A
【分析】运用对数的运算性质即可求解.
【详解】解析：
故选：A.
考点二　对数函数的图象及应用
1．（2022·河北石家庄·高一期末）已知函数，，的零点分别为a，b，c，以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】将问题转化为与、、的交点横坐标范围及数量关系，应用数形结合思想，及指对幂函数的性质判断a、b、c的范围.
【详解】由题设，，，，
所以，问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下：
由图及、对称性知：，且，
所以A、D正确，B、C错误.
故选：AD
(多选)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
A　　　　 　　　　 　B
C　　　　　　　　　　D
【答案】AD
【解析】易知g(x)＝loga|x|为偶函数．当0＜a＜1时，f(x)＝ax－2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a＞1时，f(x)＝ax－2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD．
考点三　对数函数的性质及应用
比较大小
1.（2022·贵州黔西·高一期末）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合指数函数和对数函数单调性，利用临界值即可判断出结果.
【详解】，.
故选：C.
2．（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性，借助中间值比较大小即可.
【详解】依题意，， ，
是单调递增，，，
，，
是单调递增，，，
， ，
是单调递增，，，
，，
是单调递增，，，
综上所述，.
故选：D.
解与对数有关的不等式
1．（2022·北京八中高二期末）设是奇函数，则使的x的取值范围是（ ）
A．(－1，0) B．(0，1) C．(－∞，0 ) D．
【答案】A
【分析】由奇函数的性质求得，再解对数不等式可得．
【详解】为奇函数，则，，
此时，定义域是，，满足题意，
，，解得．
故选：A．
2．（2022·上海·模拟预测）
(1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值.
(2)若且，求解不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案；（2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可.
(1)解：函数的定义域满足，即，
所以，要使函数的定义域非空，则，即.
若将函数图像向下移后得到的解析式为：
，.
所以在函数的图像上，即，
解得：，
所以，
(2)解：由题知，
,
,
因为函数在上单调递增，
所以等价于，展开整理得：，
所以，不等式的解集为的解，
所以，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为.
综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.
对数函数性质的综合应用
(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
【答案】D
【解析】由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5，故选D．
(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　)
A．f(x)在(2,6)上单调递增
B．f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2
C．f(x)在(2,6)上单调递减
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称
【答案】BD
【解析】f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2,6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2,6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD．
3.（辽宁省协作校2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题）函数（且）在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】讨论、判断单调性，结合已知单调区间求a的范围，再利用二次函数性质求的取值范围.
【详解】当，则在定义域上递减，不满足题设；
当，则在定义域上递增，又在上是增函数，
所以，可得，即.
由，故在上递增，
所以的取值范围是.
故选：A
4.（2022·重庆巴蜀中学高二期末）若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______．
【答案】4
【分析】根据奇函数的定义求解即可.
【详解】因为为定义域上的奇函数，
，
所以恒成立解得.
故答案为：4.
1．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据与的关系图可得正确的选项.
【详解】
当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，时对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
2．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】
由题知：，解得且.
所以函数定义域为.
故选：B
3．（2020·山东·高考真题）若，则实数的值是______.
【答案】
【分析】根据对数运算化简为，求解的值.
【详解】
，
即，解得：.
故答案为：
4．（2022·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
一、单选题
1．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先换底，然后由对数运算性质可得.
【详解】
.
故选：B
2．“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算性质和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由对数的运算性质，可得，
所以当时，可得成立，即必要性成立；
反之，当时，不一定成立，即充分性不成立，
所以“”的一个必要不充分条件是.
故选：C.
3．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数得运算性质结合对数函数的性质，利用中间量法即可得出答案.
【详解】解：由，则，
，
，
所以.
故选：B.
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由对数的真数大于零和二次根式的被开方数非负求解即可
【详解】由题意得，得，
所以函数的定义域为，
故选：A
5．已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出的范围，然后可得答案.
【详解】因为，所以，所以，
故选：D
6．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
7．定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于直线对称，则下列结论不正确的是（ ）
A．是偶函数 B．若，则
C． D．
【答案】D
【分析】由函数图象的平移变换可知为偶函数，再结合函数的单调性和对数函数，指数函数的单调性逐个分析判断即可
【详解】因为的图象关于直线对称，而的图象是由的图象向右平移一个单位得到的，
所以的图象关于轴对称，
所以是偶函数，所以A正确，
因为函数在区间上单调递增，且是偶函数，，
所以，所以，得，所以B正确，
，，
因为在上为增函数，，
所以，即，
因为在上为增函数，，
所以，即，
所以，
所以，即，所以C正确，
因为为偶函数，且函数在区间上单调递增，
所以，
所以，所以D错误，
故选：D
8．若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质可得且，则，即可求出的大致范围，再令的根为、且，，，对分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；
【详解】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，
令的根为、且，，，
若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；
若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；
故选：A
二、多选题
9．，下列说法正确的有（ ）
A．关于对称
B．是奇函数
C．增长速度先快后慢
D．无最大值
【答案】AC
【分析】根据对称性的基本关系式可判断出A正确；根据定义域可知B中函数为非奇非偶函数；结合对数函数图象知C正确；根据对数型复合函数最值的求法可知D错误.
【详解】对于A，令，则，
关于对称，A正确；
对于B，由知：，解得：，函数定义域不关于原点对称，原函数为非奇非偶函数，B错误；
对于C，图象如下图所示，
根据图象可知：增长速度先快后慢，C正确；
对于D，，
则当时，，此时取得最大值，D错误.
故选：AC.
10．已知函数（且）在定义域内存在最大值，且最大值为，，若对任意，存在，使得，则实数的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．3
【答案】ABC
【分析】先求出，得到时，
再由题意得到，即可求出m的范围，对照四个选项即可得到正确答案.
【详解】定义域为.
由题意知时，，即.
此时，
时，
时，，由得.
对照四个选项，可以选:ABC.
故答案为：ABC
11．已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为9
C．的最大值为9 D．的最小值为
【答案】AD
【分析】依题意可得，两边同除，即可判断A，再利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】解：因为，所以、，且，
即，所以，故A正确，
所以，即，
所以，当且仅当时，即，时等号成立，故D正确，C错误
由，、，所以，
当且仅当时，即，时等号成立，故的最小值为，故B错误；
故选：AD
12．若，，，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由对数函数的单调性可得出，从而，则关系可判断；由，则关系可判断；取特殊数字可得的大小不定.
【详解】由，则，即，
，即，则，所以,故选项A正确.
，所以,故选项C正确.
取 满足，，，此时，
取 满足，，，此时，
所以的大小不定.
故选：AC
三、填空题
13．已知函数，则的值是_________．
【答案】
【分析】根据分段函数的定义域，将代入解析式求，进而求的值.
【详解】由，
所以.
故答案为：
14．不等式的解集为______.
【答案】
【分析】运用对数函数的单调性，及二次不等式的解法，即得.
【详解】由，可得，
所以，
解得：或，
不等式的解集为.
故答案为：.
15．19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，若，则n的最大值为______．
【答案】3
【分析】由题可知，所以，进而题目转化成求的问题.
【详解】由可得，，
所以，
又，
所以，，即
所以，
则n的最大值为.
故答案为：.
16．已知奇函数满足，，若当时，，则______．
【答案】
【分析】由，可得是以周期为的周期函数，由奇函数的性质以及已知区间上的解析式可求值，从而计算求解.
【详解】因为，即是以周期为的周期函数. 为奇函数且当时，， ，当时，
所以
故答案为：
四、解答题
17．（1）计算的值；
（2）求的值，，.
【答案】（1）3，（2）1
【分析】（1）由对数的运算性质求解即可；
（2）由诱导公式与同角三角函数的基本关系求解即可
【详解】
（1）解原式
（2）原式化简
因为，，所以，
原式
18．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当时，．
(1)求f（x）的解析式；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则，带入解析式，再利用奇函数的性质，即可求解.
(2)根据（1）的解析式，分段求解，即可.
(1)设，则，，则
因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以时
综上
(2)当时，即，,解得．
当时，符合题意；
当时，即，,解得
综上，不等式的解集为．
19．已知，函数．
(1)若 ，求不等式的解集；
(2)若 ，求证：函数的图象关于点成中心对称；
(3)若方程的解集恰有一个元素，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】
（1）由题意，得到，利用对数不等式的解法，列出不等式，求解即可；
（2）任取 ，化简计算，即可证明结论；
（3）将方程进行变形，得到，求出两个根，分三种情况讨论求解即可．
(1)当a=3时，不等式 ，即，
所以，解得，
故不等式的解集为；
(2)证明：因为，则函数 的定义域为，
任取，则，
则＝＝，
所以函数 的图象关于点成中心对称；
(3)由，可得，
解得，
若 ，则a=1，检验定义域，符合题意；
若 是原方程的解，则；
若 是原方程的解，则，即 ．
因为方程的解集恰有一个元素，
故当 是原方程的解， 不是原方程的解时，则 ；
当 不是原方程的解，是原方程的解时，，又，则，
所以实数a的取值范围为．中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 函数
专题4：对数与对数函数
1.理解对数的概念及运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
以10 为底的对数叫做常用对数，记作lgN .
以e 为底的对数叫做自然对数，记作lnN .
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0 ，logaa＝1 ，a＝N (a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN ；
②loga＝logaM－logaN ；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数
(1)一般地，函数 (a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性 质 过定点(1,0) ，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0 ； 当01时，y<0 ； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．
1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；
(2)logam＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
考点一　对数的运算
1.（河南省南阳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）______．
【答案】23
【分析】根据正切的和角公式可得，然后根据对数的运算性质即可求解.
【详解】因为
，
同理可得：， ，
故
故答案为：23
2．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
【答案】A
【分析】运用对数的运算性质即可求解.
【详解】解析：
故选：A.
考点二　对数函数的图象及应用
1．（2022·河北石家庄·高一期末）已知函数，，的零点分别为a，b，c，以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】将问题转化为与、、的交点横坐标范围及数量关系，应用数形结合思想，及指对幂函数的性质判断a、b、c的范围.
【详解】由题设，，，，
所以，问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下：
由图及、对称性知：，且，
所以A、D正确，B、C错误.
故选：AD
(多选)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
A　　　　 　　　　 　B
C　　　　　　　　　　D
【答案】AD
【解析】易知g(x)＝loga|x|为偶函数．当0＜a＜1时，f(x)＝ax－2单调递减，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递减，此时A选项符合题意．当a＞1时，f(x)＝ax－2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D选项符合题意．故选AD．
考点三　对数函数的性质及应用
比较大小
1.（2022·贵州黔西·高一期末）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合指数函数和对数函数单调性，利用临界值即可判断出结果.
【详解】，.
故选：C.
2．（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性，借助中间值比较大小即可.
【详解】依题意，， ，
是单调递增，，，
，，
是单调递增，，，
， ，
是单调递增，，，
，，
是单调递增，，，
综上所述，.
故选：D.
解与对数有关的不等式
1．（2022·北京八中高二期末）设是奇函数，则使的x的取值范围是（ ）
A．(－1，0) B．(0，1) C．(－∞，0 ) D．
【答案】A
【分析】由奇函数的性质求得，再解对数不等式可得．
【详解】为奇函数，则，，
此时，定义域是，，满足题意，
，，解得．
故选：A．
2．（2022·上海·模拟预测）
(1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值.
(2)若且，求解不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案；（2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可.
(1)解：函数的定义域满足，即，
所以，要使函数的定义域非空，则，即.
若将函数图像向下移后得到的解析式为：
，.
所以在函数的图像上，即，
解得：，
所以，
(2)解：由题知，
,
,
因为函数在上单调递增，
所以等价于，展开整理得：，
所以，不等式的解集为的解，
所以，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为.
综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.
对数函数性质的综合应用
(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
【答案】D
【解析】由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5，故选D．(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　)
A．f(x)在(2,6)上单调递增
B．f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2
C．f(x)在(2,6)上单调递减
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称
【答案】BD
【解析】f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2,6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2,6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD．
3.（辽宁省协作校2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题）函数（且）在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】讨论、判断单调性，结合已知单调区间求a的范围，再利用二次函数性质求的取值范围.
【详解】当，则在定义域上递减，不满足题设；
当，则在定义域上递增，又在上是增函数，
所以，可得，即.
由，故在上递增，
所以的取值范围是.
故选：A
4.（2022·重庆巴蜀中学高二期末）若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______．
【答案】4
【分析】根据奇函数的定义求解即可.
【详解】因为为定义域上的奇函数，
，
所以恒成立解得.
故答案为：4.
1．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据与的关系图可得正确的选项.
【详解】
当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
另一方面，时对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
2．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】
由题知：，解得且.
所以函数定义域为.
故选：B
3．（2020·山东·高考真题）若，则实数的值是______.
4．（2022·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．
一、单选题
1．若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于直线对称，则下列结论不正确的是（ ）
A．是偶函数 B．若，则
C． D．
8．若函数有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．，下列说法正确的有（ ）
A．关于对称
B．是奇函数
C．增长速度先快后慢
D．无最大值
10．已知函数（且）在定义域内存在最大值，且最大值为，，若对任意，存在，使得，则实数的取值可以是（ ）
A． B．0 C． D．3
11．已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为9
C．的最大值为9 D．的最小值为
12．若，，，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知函数，则的值是_________．
14．不等式的解集为______.
15．19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，若，则n的最大值为______．
16．已知奇函数满足，，若当时，，则______．
四、解答题
17．（1）计算的值；
（2）求的值，，.
18．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当时，．
(1)求f（x）的解析式；
(2)解不等式．
19．已知，函数．
(1)若 ，求不等式的解集；
(2)若 ，求证：函数的图象关于点成中心对称；
(3)若方程的解集恰有一个元素，求a的取值范围．

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