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第二章 函数
专题5：函数的图象
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
1．利用描点法作函数的图象
基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．
(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．
(3)描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减．
(2)对称变换
①y＝f(x)的图象y＝－f( x)的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(－x) 的图象；
③y＝f(x)的图象y＝－f(－x) 的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1) 的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图象
y＝f(ax) 的图象；
②y＝f(x)的图象
y＝af(x) 的图象．
(4)翻折变换
①y＝f(x)的图象y＝|f(x)| 的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(|x| )的图象．
1．函数图象自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋x)；
(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
2．函数图象自身的中心对称
(1)f(－x)＝－f(x) 函数y＝f(x)的图象关于原点对称；
(2)函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(x)＝－f(2a－x) f(－x)＝－f(2a＋x)；
(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
考点一　作出函数的图象
作出下列函数的图象．
(1)；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
[解](1)先作出的图象，保留图象中x≥0的部分，再作出的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得的图象，如图①实线部分．
图①　　　　　　图②
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.
图③　　　　　 　图④
∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.
考点二　函数图象辨识
1．（2022·黑龙江·铁人中学高二期末）函数的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先考虑的图象经过原点，可得，判断为偶函数时，求得，进而判断C；再讨论，，，，，分别判断A、B、D．
【详解】解：若的图象经过原点，可得，即，
，
若的图象关于轴对称，可得为偶函数，即，可得，即，故C不可能成立；
当，即有，，可得为奇函数，其图象关于原点对称，
且时，为连续函数，故A可能成立；
当，，即有，，可得为奇函数，其图象关于原点对称，
且时，为增函数，时，为增函数，故B可能成立；
若，则，
当，，即有，，可得为偶函数，其图象关于轴对称，
且时，为增函数，时，为增函数，故D可能成立．
故选：C．
2．（2022·四川自贡·高二期末（理））函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可判断；
【详解】解：因为，所以，
当时，当或时，
即在上单调递增，在、上单调递减，结合图象可知只有B符合题意.
故选：B
考点三　函数图象的应用
研究函数的性质
(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是(　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有三个解
C．函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增
D．函数F(x)有4个单调区间
【答案】ABD　
【解析】根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}关于y轴对称，
所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．
（2022·广东·高一期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】将方程有四个不同解可确定与有四个不同交点，在平面直角坐标系中作出图象，利用数形结合的方式可求得的范围，知A错误；根据对称性可知B错误；当时，由可求得，由此可得的范围，知C正确；利用基本不等式可求得，由可求得，由此可知D正确.
【详解】
关于的方程有四个不同的实数解，等价于与有四个不同交点，
在平面直角坐标系中，作出与如下图所示，
由图形可知：，A错误；
关于对称，，B错误；
当时，令，解得：，，C正确；
，，，
，，
，，又，
，D正确.
故选：CD.
解不等式
已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(　　)
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
【答案】D　
【解析】f(x)＞0 2x＞x＋1，在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象，如图所示，两图象交点坐标为A(0,1)和B(1,2)，
观察图象可知不等式f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D．
2．（2022·陕西·无高一阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先画出图象，结合图象得到或，解不等式即可.
【详解】
画出的图象如图所示，要使不等式成立，必有或，
由可得；由可得，综上可得.
故选：C.
求参数的取值范围
1．（2022·贵州遵义·高二期末（文））已知过原点的直线与曲线和各有一个公共点，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意，作出函数和的图象，又直线表示过原点斜率为的直线，从而利用数形结合即可求解.
【详解】
解：由题意，作出函数和的图象，如下图所示：
因为直线表示过原点斜率为的直线，
所以将直线绕原点旋转，观察可得过原点的直线与曲线和各有一个公共点时，只需，
所以的取值范围为，
故答案为：.
2．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围为_________．
【答案】
【分析】方程有4个不同的实数解，则方程有4个不同的实数解，即直线与曲线有4个公共点，利用数形结合处理．
【详解】
由题知：方程有4个不同的实数解，即有4个不同的实数解．
作出图像（如图所示），即直线与曲线有4个公共点．
易知：．
故答案为：．
3．（2022·全国·高一专题练习）已知偶函数满足，且当时，，若关于的方程在上有个解，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】根据题意，得到函数是以为周期的周期函数，转化为方程在上有个解，画出函数在区间上的图象，令，结合图象，得到方程在和上各有解或和上各有解，列出不等式组，即可求解.
【详解】
因为函数是偶函数，所以，
可得函数是以为周期的周期函数，
因为关于的方程在上有个解，
所以关于的方程在上有个解，
画出函数在区间上的图象，如图所示，
令，由图象可知：
当时，只有解，
当或时，有解，
当时，有解，
当时，有解．
所以关于的方程在和上各有解或和上各有解，
若方程的一解为，则方程的另一解为，不符合题意．
所以关于的方程在和上各有解，
所以，解得，所以实数的取值范围为．
故答案为：．
1．（2022·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
一、单选题
1．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数与函数图像的交点个数是（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的解析式为，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．函数的值域为
C．函数是周期函数
D．函数是上的严格增函数
5．已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．几何学中把变换前后两点间距离保持不变的变换称为刚体变换，在平面中作图形变换，易知平移变换是一种刚体变换，以下两个函数与，其中可以由通过平移得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数的定义域为，且满足，当时，，为非零常数，则（ ）
A．当时，
B．当时，在区间内单调递减
C．当时，在区间内的最大值为
D．当时，若函数的图像与的图像在区间内的个交点记为，且，则的取值范围为
10．已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，若有三个不等实根，且，则（ ）
A．的单调递减区间为 B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．函数有4个零点
12．若过点最多可以作出条直线与函数的图像相切，则（ ）
A．可以等于2022 B．不可以等于3
C． D．时，
三、填空题
13．函数的图象与的图象关于轴对称，再把的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则________.
14．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，．动点P从点B出发，沿折线方向以a单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是______．
15．已知，函数若存在实数，使得恒成立，则的最大值是__________．
16．函数，若，则实数m的取值范围是____________．
四、解答题
17．已知函数，且.
(1)作出函数的图象，求的单调递减区间；
(2)若方程只有一个实数根，求的取值范围.
18．已知函数．
(1)求，；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的图象．中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 函数
专题5：函数的图象
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
1．利用描点法作函数的图象
基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．
(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．
(3)描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减．
(2)对称变换
①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图象
y＝f(ax)的图象；
②y＝f(x)的图象
y＝af(x)的图象．
(4)翻折变换
①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．
1．函数图象自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋x)；
(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
2．函数图象自身的中心对称
(1)f(－x)＝－f(x) 函数y＝f(x)的图象关于原点对称；
(2)函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称 f(a＋x)＝－f(a－x) f(x)＝－f(2a－x) f(－x)＝－f(2a＋x)；
(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
考点一　作出函数的图象
作出下列函数的图象．
(1)；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
[解]　(1)先作出的图象，保留图象中x≥0的部分，再作出的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得的图象，如图①实线部分．
图①　　　　　　图②
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.
图③　　　　　 　图④
∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.
考点二　函数图象辨识
1．（2022·黑龙江·铁人中学高二期末）函数的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先考虑的图象经过原点，可得，判断为偶函数时，求得，进而判断C；再讨论，，，，，分别判断A、B、D．
【详解】解：若的图象经过原点，可得，即，
，
若的图象关于轴对称，可得为偶函数，即，可得，即，故C不可能成立；
当，即有，，可得为奇函数，其图象关于原点对称，
且时，为连续函数，故A可能成立；
当，，即有，，可得为奇函数，其图象关于原点对称，
且时，为增函数，时，为增函数，故B可能成立；
若，则，
当，，即有，，可得为偶函数，其图象关于轴对称，
且时，为增函数，时，为增函数，故D可能成立．
故选：C．
2．（2022·四川自贡·高二期末（理））函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可判断；
【详解】解：因为，所以，
当时，当或时，
即在上单调递增，在、上单调递减，结合图象可知只有B符合题意.
故选：B
考点三　函数图象的应用
研究函数的性质
(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是(　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有三个解
C．函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增
D．函数F(x)有4个单调区间
【答案】ABD　
【解析】根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}关于y轴对称，
所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．
（2022·广东·高一期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】将方程有四个不同解可确定与有四个不同交点，在平面直角坐标系中作出图象，利用数形结合的方式可求得的范围，知A错误；根据对称性可知B错误；当时，由可求得，由此可得的范围，知C正确；利用基本不等式可求得，由可求得，由此可知D正确.
【详解】
关于的方程有四个不同的实数解，等价于与有四个不同交点，
在平面直角坐标系中，作出与如下图所示，
由图形可知：，A错误；
关于对称，，B错误；
当时，令，解得：，，C正确；
，，，
，，
，，又，
，D正确.
故选：CD.
解不等式
已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(　　)
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
【答案】D　
【解析】f(x)＞0 2x＞x＋1，在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象，如图所示，两图象交点坐标为A(0,1)和B(1,2)，
观察图象可知不等式f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D．
2．（2022·陕西·无高一阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先画出图象，结合图象得到或，解不等式即可.
【详解】
画出的图象如图所示，要使不等式成立，必有或，
由可得；由可得，综上可得.
故选：C.
求参数的取值范围
1．（2022·贵州遵义·高二期末（文））已知过原点的直线与曲线和各有一个公共点，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意，作出函数和的图象，又直线表示过原点斜率为的直线，从而利用数形结合即可求解.
【详解】
解：由题意，作出函数和的图象，如下图所示：
因为直线表示过原点斜率为的直线，
所以将直线绕原点旋转，观察可得过原点的直线与曲线和各有一个公共点时，只需，
所以的取值范围为，
故答案为：.
2．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围为_________．
【答案】
【分析】方程有4个不同的实数解，则方程有4个不同的实数解，即直线与曲线有4个公共点，利用数形结合处理．
【详解】
由题知：方程有4个不同的实数解，即有4个不同的实数解．
作出图像（如图所示），即直线与曲线有4个公共点．
易知：．
故答案为：．
3．（2022·全国·高一专题练习）已知偶函数满足，且当时，，若关于的方程在上有个解，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】根据题意，得到函数是以为周期的周期函数，转化为方程在上有个解，画出函数在区间上的图象，令，结合图象，得到方程在和上各有解或和上各有解，列出不等式组，即可求解.
【详解】
因为函数是偶函数，所以，
可得函数是以为周期的周期函数，
因为关于的方程在上有个解，
所以关于的方程在上有个解，
画出函数在区间上的图象，如图所示，
令，由图象可知：
当时，只有解，
当或时，有解，
当时，有解，
当时，有解．
所以关于的方程在和上各有解或和上各有解，
若方程的一解为，则方程的另一解为，不符合题意．
所以关于的方程在和上各有解，
所以，解得，所以实数的取值范围为．
故答案为：．
1．（2022·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
2．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】
设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
3．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】
设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
4．（2021·浙江·高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
5．（2021·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.
【详解】
（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
一、单选题
1．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
判断出函数的奇偶性，再利用特殊值的正负得出选项．
【详解】
设，
则，即在上是奇函数，排除B，D，
又，
故选：A
2．函数与函数图像的交点个数是（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
画出函数图象观察即可得出.
【详解】
画出和的函数图象，因为，，结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个.
故选：A.
3．已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合函数图像逐项分析即可求出结果.
【详解】
若，则，所以在R上单调递增，故排除A；
因为为非奇非偶函数．所以排除C；
因为为偶函数，所以排除D．
故选：B.
4．已知函数的解析式为，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．函数的值域为
C．函数是周期函数
D．函数是上的严格增函数
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性，单调性与周期性以及值域，分别判断即可求解
【详解】
由解析式可知：当时，为周期函数且有增有减；
当时，单调递增；
所以不是上的严格增函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，
故可排除ACD，
对于B：当时，的值域是；
当时，的值域是；
故函数的值域为，故B正确，
故选：B
5．已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.
【详解】
函数的四个不同的零点，，，，就是函数与两个图象四个交点的横坐标，
作出函数的图象，
由图象可知，故A正确；
由，可得或，结合图象可知，故B错误；
根据二次函数的性质和图象得出，所以，故C正确；
又，且，
所以，即，
所以，故D正确.
故选：B.
6．已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的性质画出函数图像，将问题化为与有2个交点，数形结合求的范围.
【详解】
由题意，与有2个交点，
当时，递增且值域为；
当时，在上递减，上递增且值域为；
所以的图像如下：
由图知：时，有2个零点.
故选：A
7．几何学中把变换前后两点间距离保持不变的变换称为刚体变换，在平面中作图形变换，易知平移变换是一种刚体变换，以下两个函数与，其中可以由通过平移得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平移变换判断.
【详解】
A.因为，
，所以是由向左平移得到，故正确；
B.因为，所以无法由平移得到，故错误；
C.因为，所以无法由平移得到，故错误；
D. 因为，所以无法由平移得到，故错误；
故选：A
8．已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数与的图像，得到关于对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解.
【详解】
作函数与的图像如下：
方程有4个不同的根，，，，且，
可知关于对称，即，且，
则，即，则
即，则；
当得或，则；；
故，；
则函数，在上为减函数，在上为增函数；
故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.
即函数取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题.
二、多选题
9．已知函数的定义域为，且满足，当时，，为非零常数，则（ ）
A．当时，
B．当时，在区间内单调递减
C．当时，在区间内的最大值为
D．当时，若函数的图像与的图像在区间内的个交点记为，且，则的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用函数的周期性变化，结合函数图像进行分析.
【详解】
对于A，当时，，则，
当时，，
所以
，故A错误；
对于B，当时，，则，
当时，，
所以在区间内单调性与在区间内的单调性相同，
当时，，所以在区间内单调性与在区间内的单调性相反，故B正确；
对于C，当时，当，，
即当，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，所以在区间内的最大值
为4.故C错误；
对于D，当时，当，，
即当，，由图像有：
若函数的图像与的图像在区间内的个交点
记为，且，则的取值范围为，
故D正确.
故选：BD.
10．已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
先由选项得到，再分和两类讨论，利用的正负及的两个零点的分布情况，即可得到函数可能的图象.
【详解】
由题意知是的两个零点，由选项可知，即
当时，，， ACD错，B对.
当时，，，ABD错，C对.
故选：BC.
11．已知函数，若有三个不等实根，且，则（ ）
A．的单调递减区间为 B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．函数有4个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
作出函数和有三个交点的图象，结合图象逐个判断即可求解
【详解】
作出函数和有三个交点的图象，
可知，的单调递减区间为，故A正确；
的取值范围是，故B错误；
由，得，即，
故，则.
又因为，所以的取值范围为，故C正确；
令，则或，
则函数的零点可转化为或的零点，
由图象可知只有一个零点，有3个零点，
即函数有4个零点，故D正确；
故选：ACD
12．若过点最多可以作出条直线与函数的图像相切，则（ ）
A．可以等于2022 B．不可以等于3
C． D．时，
【答案】AD
【解析】
【分析】
设过点的直线与函数的图像相切时的切点为，利用导数的几何意义可得，构造函数，进而可得过点的直线与函数的图像相切的切线条数即为直线与曲线的图象的公共点的个数，利用导数研究函数的性质，画出函数的大致图象，利用数形结合可得不同取值时的取值，结合选项分析即得.
【详解】
设过点的直线与函数的图像相切时的切点为，则，
因为，，
所以切线方程为，又在切线上，
所以，整理得，
令，则过点的直线与函数的图像相切的切线条数即为直线与曲线的图象的公共点的个数，
因为，
令，得，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因为，，，
所以，函数的图像大致如图
由图可知当时，直线与曲线的图像没有公共点，即，
当或时，直线与曲线的图像有1个公共点，即，
当时，直线与曲线的图像有2个公共点，即，
当时，直线与曲线的图像有3个公共点，即，
对于A，当，此时，则符合题意，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，当时，，则，故C错误；
对于D，当或时，，则当时，，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．函数的图象与的图象关于轴对称，再把的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的对称性及函数图象变换的原则即可求解.
【详解】
解：由题意可知，
把的图象向右平移1个单位长度后得，
故答案为：.
14．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，．动点P从点B出发，沿折线方向以a单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是______．
【答案】90
【解析】
【分析】
由题可得，进而可得，，解得，即可求解．
【详解】
由题可知，，
过点A作于点H，则，
在中，，
则，
当点P在点D处时，，
解得，
则四边形ABCD的面积为.
故答案为：90．
15．已知，函数若存在实数，使得恒成立，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
将题设转化为，分类讨论求得，再求出的最大值即可.
【详解】
由题意得：，①当，即时，；
②当，即时，，
当即时，；
当即时，，
当即时，；
③当时，，此时.
则当时，；
当时，，画出在的图象，
令，解得，此时相切，可得；
当时，；则，
即当时，，又，则；
当时，，又，则；
当时，，又，则；
综上可得，即的最大值是.
故答案为：.
16．函数，若，则实数m的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出函数的图象，根据图象可得，从而可求出实数m的取值范围
【详解】
因为
所以是偶函数，作出的图象如下：
由得，，
∴．
故答案为：
四、解答题
17．已知函数，且.
(1)作出函数的图象，求的单调递减区间；
(2)若方程只有一个实数根，求的取值范围.
【答案】(1)图象见解析，单调递减区间是[2，4]；
(2)(－∞，0)∪(4，＋∞).
【解析】
【分析】
（1）运用代入法，结合绝对值的性质、数形结合思想进行求解即可；
（2）利用数形结合思想进行求解即可.
(1)
因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.
f(x)＝x|x－4|＝
f(x)的图象如图所示：
f(x)的单调递减区间是[2，4]；
(2)
从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞).
18．已知函数．
(1)求，；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的图象．
【答案】(1)，
(2)或或
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据分段函数解析式计算可得；
（2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得；
（3）根据函数解析式，画出函数图象即可；
(1)
解：因为
所以，，
．
(2)
解：当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上所述，的值为或或．
(3)解：函数的图象，如图所示：

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