资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 函数
专题6：函数的零点与方程的解
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴 有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断 的曲线，且有f(a)f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a ，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝ 0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
(1)函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
(2)f(x)在(a，b)上连续且单调，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断 且f(a)f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零 点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.
2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点．
考点一　判断函数零点所在区间
1．（2022·贵州遵义·高一期末）方程的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断单调性，利用根的存在性定理即可判定其解所在区间
【详解】
都是上的增函数，
故是上的增函数，
又由，，
，
因为，
所以，，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：C.
2.若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【答案】A
【解析】函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
考点二　确定函数零点个数
(多选)(2021·宜昌模拟)已知函数f(x)＝ 下列关于函数y＝f ＋1的零点个数的说法中正确的是(　　)
A．当k>1时，有1个零点
B．当k＝－2时，有3个零点
C．当0＜k＜1时，有4个零点
D．当k＝－4时，有7个零点【答案】ABD　
【解析】令y＝0，得f ＝－1，设f(x)＝t，则方程f ＝－1等价为f＝－1，函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点，对称轴为x＝.
对于A，当k>1时，作出函数f(x)的图象，
∵f＝－1，此时方程f＝－1有一个根t＝，由f(x)＝可知，此时x只有一解，即函数y＝f ＋1有1个零点，故A正确；
对于B，当k＝－2时，作出函数f(x)的图象，
∵f＝－1，此时方程f＝－1有一个根t＝，由f(x)＝可知，此时x有3个解，即函数y＝f[f(x)]＋1有3个零点，故B正确；
对于C，当1>k>0时，图象如选项A，故只有1个零点，故C错误；
对于D，当k＝－4时，作出函数f(x)的图象，
∵f＝－1，此时方程f＝－1有3个根，其中t1＝，t2∈(－1,0)，t3∈(－4，－3)，由f(x)＝可知，此时x有3个解，由f(x)＝t2∈(－1,0)，此时x有3个解，由f(x)＝t3∈(－4，－3)，此时x有1个解，即函数y＝f[f(x)]＋1有7个零点，故D正确．故选ABD
考点三　函数零点的应用
根据函数零点个数求参数
(2021·菏泽模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．
【答案】[－1，＋∞) 　
【解析】函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.
2．（河南省濮阳市2021-2022学年高二下学期期末数学理科试题）已知函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】问题转化为函数的图象与直线有三个交点，作出函数图象和直线，求出图象中直线在位置时值，兩图象得参数范围．
【详解】
恰有三个零点，则有三个不同的实解，
即函数的图象与直线有三个交点，
如图，作出函数的图象，作直线，
平移直线到的位置，它与相切，此时，由，，（舍去），
又时，，即切点为，　由得，
平移直线到的位置，它与（）相切，此时，由得，，即切点为，由得，
平移直线到的位置，它过原点，，，
由图象可知当或时的图象与直线有三个不同的交点．
故选：A
3.（2022·重庆长寿·高二期末）若函数在区间上只有一个零点，则常数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数探讨函数在上的单调性，再结合已知列不等式，即可求解作答.
【详解】
函数，求导得：，当时，，
即函数在上单调递减，而函数在区间上只有一个零点，
因此，解得，
所以常数m的取值范围为.
故选：D
根据零点范围求参数
1.（2022·河南·高二期末（理））若函数在区间和上各有一个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用零点存在定理列不等式组，即可求解.
【详解】
因为函数在区间和上各有一个零点，且函数的图像开口向下，所以，解得，所以实数k的取值范围是.
故选：A.
2．（2022·江苏南京·高一期末）设函数在区间(k，k+1)()内有零点，则k的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点的区间，即可得结果.
【详解】
由解析式知：在定义域上递增，
又，，
所以在内存在零点，结合题设知：.
故选：C
1．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

3．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
4．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
一、单选题
1．函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
2．记函数的两个零点为，，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若且，则（ ）
A． B． C． D．随值变化
6．已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的零点分別为，则的（ ）
A． B． C． D．
8．若下列3个关于x的方程，，中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的周期
B．
C．点是函数图象的一个对称中心
D．在上有4个零点
10．已知函数，，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个零点
B．若有两个零点，则
C．若有两个零点，，则
D．若有四个零点，则
11．函数在下列哪个区间内必有零点（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，下列关于说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为π
B．对任意的实数a，为函数的一个对称中心
C．对任意的实数a，直线为函数的对称轴
D．存在实数a及正整数n，使得函数在区间上有2022个零点
三、填空题
13．关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____．
14．表示不超过的最大整数，例如，．已知是方程的根，则_______．
15．函数的零点个数是______．
16．已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
17．已知函数在和处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围．
18．已知函数是偶函数.
(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
19．已知函数，.
(1)若，求函数在的值域；
(2)若，求证.求的值；
(3)令，则，已知函数在区间有零点，求实数k的取值范围.
20．已知函数，其导函数为.
(1)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围：
(2)当时，证明：在区间上有且只有两个零点.中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 函数
专题6：函数的零点与方程的解
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
提醒：(1)函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
(2)f(x)在(a，b)上连续且单调，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.
2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点．
考点一　判断函数零点所在区间
1．（2022·贵州遵义·高一期末）方程的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断单调性，利用根的存在性定理即可判定其解所在区间
【详解】
都是上的增函数，
故是上的增函数，
又由，，
，
因为，
所以，，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：C.
2.若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【答案】A
【解析】函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
考点二　确定函数零点个数
(多选)(2021·宜昌模拟)已知函数f(x)＝ 下列关于函数y＝f ＋1的零点个数的说法中正确的是(　　)
A．当k>1时，有1个零点
B．当k＝－2时，有3个零点
C．当0＜k＜1时，有4个零点
D．当k＝－4时，有7个零点
【答案】ABD　
【解析】令y＝0，得f ＝－1，设f(x)＝t，则方程f ＝－1等价为f＝－1，函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点，对称轴为x＝.
对于A，当k>1时，作出函数f(x)的图象，
∵f＝－1，此时方程f＝－1有一个根t＝，由f(x)＝可知，此时x只有一解，即函数y＝f ＋1有1个零点，故A正确；
对于B，当k＝－2时，作出函数f(x)的图象，
∵f＝－1，此时方程f＝－1有一个根t＝，由f(x)＝可知，此时x有3个解，即函数y＝f[f(x)]＋1有3个零点，故B正确；
对于C，当1>k>0时，图象如选项A，故只有1个零点，故C错误；
对于D，当k＝－4时，作出函数f(x)的图象，
∵f＝－1，此时方程f＝－1有3个根，其中t1＝，t2∈(－1,0)，t3∈(－4，－3)，由f(x)＝可知，此时x有3个解，由f(x)＝t2∈(－1,0)，此时x有3个解，由f(x)＝t3∈(－4，－3)，此时x有1个解，即函数y＝f[f(x)]＋1有7个零点，故D正确．故选ABD
考点三　函数零点的应用
根据函数零点个数求参数
(2021·菏泽模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．
【答案】[－1，＋∞) 　
【解析】函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.
2．（河南省濮阳市2021-2022学年高二下学期期末数学理科试题）已知函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】问题转化为函数的图象与直线有三个交点，作出函数图象和直线，求出图象中直线在位置时值，兩图象得参数范围．
【详解】
恰有三个零点，则有三个不同的实解，
即函数的图象与直线有三个交点，
如图，作出函数的图象，作直线，
平移直线到的位置，它与相切，此时，由，，（舍去），
又时，，即切点为，　由得，
平移直线到的位置，它与（）相切，此时，由得，，即切点为，由得，
平移直线到的位置，它过原点，，，
由图象可知当或时的图象与直线有三个不同的交点．
故选：A
3.（2022·重庆长寿·高二期末）若函数在区间上只有一个零点，则常数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数探讨函数在上的单调性，再结合已知列不等式，即可求解作答.
【详解】
函数，求导得：，当时，，
即函数在上单调递减，而函数在区间上只有一个零点，
因此，解得，
所以常数m的取值范围为.
故选：D
根据零点范围求参数
1.（2022·河南·高二期末（理））若函数在区间和上各有一个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用零点存在定理列不等式组，即可求解.
【详解】
因为函数在区间和上各有一个零点，且函数的图像开口向下，所以，解得，所以实数k的取值范围是.
故选：A.
2．（2022·江苏南京·高一期末）设函数在区间(k，k+1)()内有零点，则k的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点的区间，即可得结果.
【详解】
由解析式知：在定义域上递增，
又，，
所以在内存在零点，结合题设知：.
故选：C
1．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】
最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
2．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】
注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.

3．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】
对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
4．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；________．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.
【详解】
∵，∴
∴
故答案为：1，
一、单选题
1．函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
的零点的问题转化成图象的交点个数的问题，令后，整理成
，在同一坐标系中中画出两者图象即可.
【详解】
令，整理得，再令，不难在同一坐标系中画出它们的图象如下，根据图象可知它们有两个交点，即方程有两个根，于是有两个零点.
故选：C
2．记函数的两个零点为，，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将题设转化为的两根为，，再由韦达定理求解即可.
【详解】
由整理得，
则的两根为，，则，
又，则，则.
故选：B.
3．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知，f(x)是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可，作出图象观察得出结论.
【详解】
由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：
观察图象可以发现它们有4个交点，
即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．
故选：D.
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用零点存在性定理求解即可
【详解】
函数在 上单调递增，且在上连续.
因为，，
所以，
所以函数的零点所在的区间是.
故选：B
5．已知函数，若且，则（ ）
A． B． C． D．随值变化
【答案】B
【解析】
【分析】
作出函数的图象得其对称轴是，由对称性可得结论．
【详解】
函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的图象关于直线对称，
又，且，
则．
故选：B
6．已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将问题化为有且只有两个整数解，利用导数研究的性质，并画出与的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k的范围.
【详解】
由题设，定义域为，则可得，
令，则，
所以时，即递增，值域为；
时，即递减，值域为；
而恒过，函数图象如下：
要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点，
若交点的横坐标为，则，
所以，即.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：首先转化为有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断、交点横坐标范围，即可求参数范围.
7．已知函数的零点分別为，则的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
画出的图象与，，的图象，根据交点可判断.
【详解】
由题可得即为的图象分别与，，的交点的横坐标，
如图，画出函数图象，由图可得，.
故选：A.
8．若下列3个关于x的方程，，中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据3个关于x的方程都没有实数根求出a的取值范围，再求其补集即可.
【详解】
假设3个关于x的方程都没有实数根，则即所以，
所以若这3个关于x的方程中最多有两个方程没有实数根，则实数a的取值范围是.
故选：A.
二、多选题
9．已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的周期
B．
C．点是函数图象的一个对称中心
D．在上有4个零点
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据题意求得函数的周期为，结合函数的周期性和，逐项判定，即可求解.
【详解】
由定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，
所以函数的周期为，所以A正确；
由，即，所以，且，
又由，
所以，所以B正确；
由，可得点是图象的一个对称中心，所以C正确；
由在上有，
所以函数在上有5个零点，所以D错误.
故选：ABC.
10．已知函数，，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个零点
B．若有两个零点，则
C．若有两个零点，，则
D．若有四个零点，则
【答案】CD
【解析】
【分析】
由函数解析式分析的性质并画出函数图象判断A，数形结合法判断B、C，结合二次函数性质讨论零点，且的位置情况求m的范围判断D.
【详解】
由题设，时且递增，
时，在上递减，上递增且值域均为，又，
所以只有一个零点，A错误，其函数图象如下：
由图，若有两个零点，则或，B错误；
若两个零点，均在上，则，即，C正确；
要使有4个零点，即对应两个不同的值，
若零点分别为，且，
所以，当，即时，由，故排除；
若，有四个零点，此时，无解；
若，有四个零点，此时，无解；
若，，有四个零点，，可得.
综上，有四个零点时，D正确.
11．函数在下列哪个区间内必有零点（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
由零点的存在性定理求解即可
【详解】
，，
，，
，
因为，
所以在和内存在零点.
故选：AD
12．已知函数，下列关于说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为π
B．对任意的实数a，为函数的一个对称中心
C．对任意的实数a，直线为函数的对称轴
D．存在实数a及正整数n，使得函数在区间上有2022个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据最小正周期的定义，对称轴对称点和零点的定义逐项分析可以以求解.
【详解】
对于A，
，
所以函数的一个周期为π，
下面研究函数在上的情况，
当时，；
当时，；
所以函数的最小正周期为π，故A正确；
对于B，
，故B错误；
对于C，，
故C正确；
对于D，令，当 时，
，
显然当 时， ；
当 时， ，
= ，
，
仅当 时， ，当 时， ，是增函数，
当 时， ，是减函数， ，
，仅当 时等号成立，
∴ 在一个周期内有2个零点，即仅有 是函数的零点，
∴当n=1011时，在开区间 上有2021个零点，
故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
13．关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用一元二次方程实根分布列出不等式组，再求解作答.
【详解】
关于的方程在区间内有两个不等实根，令，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14．表示不超过的最大整数，例如，．已知是方程的根，则_______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据零点的存在性定理求得的范围，再根据的定义即可得出答案.
【详解】
解：设，，
因为函数在都是增函数，
所以函数单调递增，
又是方程的根，所以只有一个根，
，
所以，
所以.
故答案为：4.
15．函数的零点个数是______．
【答案】2
【解析】
【分析】
函数的零点个数，即为函数的图象交点的个数，作出两函数图象，数形结合即可得出答案.
【详解】
解：令，则，
作出函数的图象，
由图可知，函数的图象有两个交点，
故方程有两个不同的根，
所以函数有2个零点.
故答案为：2.
16．已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据时，若方程无解求出，然后分别讨论时根的情况，进而可以求解．
【详解】
解：当时，令，则，
因为为增函数，所以当该方程在时无实数根时，
，所以，
①时，时有一个解，所以时，有一个解，
当时，是递减的，
则，
所以时有一个解，
即当时，恰有两个互异的实数解；
②时，在时无解，
此时，即，解得或（舍去），
所以方程在时有1个解，
即当时，方程只有一个实数解，
③时，在时无解，
则时，，
所以，该方程要在时有2个不等的实数解，
即函数在上有2个不同的零点，
所以，解得，
综上所述，的范围为，
【点睛】
本题考查了函数的零点与方程根的问题，涉及到分类讨论思想，考查了学生的分析问题的能力与运算能力，有一定的难度．
四、解答题
17．已知函数在和处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得，即得；
（2）令，则问题转化为与轴有三个交点，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性与极值，即可得到不等式组，解得即可.
(1)
由题可得，
由题意，得，则，
解得，
经检验，此时满足在和处取得极值，
所以；
(2)
令，则原题意等价于图象与轴有三个交点．
∵，
∴由，解得或，由，解得，
∴在时取得极大值，在时取得极小值，
依题意得，解得，
故m的取值范围为．
18．已知函数是偶函数.
(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用偶数数的定义，即可求出实数的值，从而得到的解析式；令，得，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象有交点，从而求出实数的取值范围；
（2）依题意等价于关于的方程只有一个解，令，讨论的正根即可．
(1)
解：是偶函数，，
即对任意恒成立，
，
．
即，
因为函数有零点，即方程有实数根．
令，则函数与直线有交点，
，
又，，
，所以，即的取值范围是．
(2)
解：因为，
又函数与的图象只有一个公共点，
则关于的方程只有一个解，
所以，
令，得，
①当，即时，此方程的解为，不满足题意，
②当，即时，此时，又，，
所以此方程有一正一负根，故满足题意，
③当，即时，由方程只有一正根，则需，
解得，
综合①②③得，实数的取值范围为：．
19．已知函数，.
(1)若，求函数在的值域；
(2)若，求证.求的值；
(3)令，则，已知函数在区间有零点，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【解析】
【分析】
（1）化简可得，利用二次函数单调性，即得解；
（2）由已知可得的解析式，根据指数函数的运算即可求证，利用倒序相加即可求值；
（3）由已知可得，令，函数等价为在上有零点，参变分离即得解
(1)
解：若
，
当上函数为增函数，
则函数的最大值为，函数的最小值为，则函数的值域为.
(2)
解：若，则，
则，
设
则
两式相加得，即，则
故.
(3)
，
设，当，则，
则函数等价为，
若函数在区间有零点，
则等价为在上有零点，
即在上有解，
即在上有解，
即，
设，则，则，
则在上递增，
则当时，，当时，，
∴，即，
即实数k的取值范围是.
20．已知函数，其导函数为.
(1)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围：
(2)当时，证明：在区间上有且只有两个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据分离参数，转化成最值问题.
（2）构造函数，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理即可求解.
(1)
，
由题意得：在上恒成立，即在上恒成立，
由于函数在上单调递减，所以，，
所以
(2)
当时，.
设，则
令，
则，所以在上单调递减，
又，，
故存在，使得，
当时，，即，在上单调递增；
当时，，即，在上单调递减；
又，，，
所以在和上各有一个零点，
从而在上有且仅有两个零点.

展开更多......

收起↑