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第二章 函数
专题2.2：函数的基本性质-奇偶性、对称性与周期性
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性．
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
(2)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
(3)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
①f(x)为奇函数 f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1.
②f(x)为偶函数 f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1.
2．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．函数的图象的对称性
(1)函数y＝f(x)，若其图象关于直线x＝a对称(a＝0时，f(x)为偶函数)，则
①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)．
(2)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a,0)中心对称(a＝0时，f(x)为奇函数)，则
①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)；
③f(2a－x)＝－f(x)．
(3)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则
①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x)＝2b.
(4)函数f(x)与g(x)的图象关于直线x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)．
(5)函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f(x)．
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．
考点一　函数的奇偶性
判断函数的奇偶性
1.（2022·福州模拟）已知函数，以下结论中错误的是（　　）
A．是偶函数 B．有无数个零点
C．的最小值为 D．的最大值为
【解析】对于A，定义域为，，
为偶函数，A正确，不符合题意；
对于B，令，即，，解得：，
有无数个零点，B正确，不符合题意；
对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；
，，
不是的极小值点，C错误，符合题意；
对于D，，；
则当，，即时，取得最大值1，D正确，不符合题意.
故答案为：C.
2.（2022·四川南充·高二期末（文））函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】探讨给定函数的性质，结合当时函数值的符号即可判断作答.
【详解】函数定义域为，，
则有函数是奇函数，其图象关于原点对称，选项B，C不满足；
当时，，即，因此，选项A不满足，D符合条件.
故选：D
函数奇偶性的应用
1.（2022·临沂二模）已知函数 是偶函数，则 　 　．
【答案】2
【解析】由 得 的定义域为 ，
则∵ 是偶函数，故f(-1)=f(1)，
即 ，解得m=2．
此时 ，而 ，
故 确为偶函数，故m=2．
故答案为：2．
2．（2022·河南安阳·高二期末（文））双曲正弦函数是高等数学中重要的函数之一，已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】函数是奇函数且在上单调递增，由奇偶性可将转化成，结合单调性即可求解；
【详解】
由题意可知，函数是奇函数且在上单调递增，所以即，所以，解得，
故选：A．
考点二　函数的周期性
1.（2022·衡阳模拟）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以满足，又因为是奇函数，所以故
因此即是以4为周期的周期函数.
，
当时，，在单调递增，在单调递减，故在单调递增.所以
故答案为：A
2.（2022·湖北模拟）已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，
当 时，
故答案为：D
3.（2022·福建省尤溪第一中学高二期末）已知函数定义在R上，对任意实数有若函数的图象关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据的图象关于直线对称，可得，再结合可得周期为8，再逐步代入计算可得
【详解】的图象关于直线对称，向左平移1个单位，得图象关于轴对称，即，又，，
同理可得：，
即
；
又，
故选：A
考点三　函数的对称性
1.（2022·全国·高一专题练习）若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】B
【分析】由函数的图像关于直线对称，知为偶函数，由此可求出值，再代入利用换元法可转化为二次函数求最值.
【详解】
由函数的图像关于直线对称，知是偶函数，
，即，
整理得总成立，得，
，
令，则，
当时，有最大值，即的最大值是．
故选：B．
2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））设函数，若函数的图象关于点对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据的图象关于点对称可得为奇函数，进而求得即可
【详解】因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，
即为奇函数，故，
所以.
故选：B.
3.（2021·湖南·高一阶段练习）已知函数的定义域为R，且，当时，，若，则实数m的取值范围为___________．
【答案】
【分析】由题意得函数关于中心对称，由的解析式可得函数在单调递减，并求出的解析式，可得，从而得到关于的不等式，即可得答案.
【详解】，
关于中心对称，
当时，设为图象上任意一点，则关于的对称点为，
，
中，当时，，
所以在上单调递减，且，
，
解得，
故答案为：.
1．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高考真题（理））已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．
一、单选题
1．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为上的奇函数 B．为上的奇函数
C．为上的偶函数 D．为上的偶函数
3．已知函数是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．是定义在上的偶函数，是奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知是以2为周期的函数，且，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．7
6．已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图像关于y轴对称，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．2是一个周期 D．关于直线对称
7．已知函数的定义域是R，为偶函数，，且，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）
A． B．12 C． D．
9．已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为R
B．是偶函数
C．的图象关于直线对称
D．
11．若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
12．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．为周期函数 B．为上的偶函数
C．为上的单调函数 D．的图象关于点对称
13．已知函数及其导函数的定义域均为R，记．若，均为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
14．已知函数，若对任意的正数，满足，则_________.
15．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则___________.
16．已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．
17．设是定义在上的奇函数，对，都有，且当时，，则__________．
四、解答题
18．已知，函数．
(1)若 ，求不等式的解集；
(2)若 ，求证：函数的图象关于点成中心对称；
(3)若方程的解集恰有一个元素，求a的取值范围．
19．设是定义在上的奇函数，且对任意，都有，当时，．
(1)当时，求的解析式；
(2)设向量，，若，同向，求的值；
(3)若，，，若不等式有解，求的最小值．
20．已知函数，
(1)若是偶函数，求实数a的值；
(2)设函数，若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数a的取值范围.中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 函数
专题2.2：函数的基本性质-奇偶性、对称性与周期性
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性．
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
(2)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
(3)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
①f(x)为奇函数 f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1.
②f(x)为偶函数 f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1.
2．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．函数的图象的对称性
(1)函数y＝f(x)，若其图象关于直线x＝a对称(a＝0时，f(x)为偶函数)，则
①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a＋x)＝f(－x)；③f(2a－x)＝f(x)．
(2)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a,0)中心对称(a＝0时，f(x)为奇函数)，则
①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a＋x)＝－f(－x)；
③f(2a－x)＝－f(x)．
(3)函数y＝f(x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则
①f(a＋x)＋f(a－x)＝2b；②f(2a＋x)＋f(－x)＝2b；③f(2a－x)＋f(x)＝2b.
(4)函数f(x)与g(x)的图象关于直线x＝a对称，则g(x)＝f(2a－x)．
(5)函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝a对称，则g(x)＝2a－f(x)．
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)．
考点一　函数的奇偶性
判断函数的奇偶性
1.（2022·福州模拟）已知函数，以下结论中错误的是（　　）
A．是偶函数 B．有无数个零点
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】C
【解析】对于A，定义域为，，
为偶函数，A正确，不符合题意；
对于B，令，即，，解得：，
有无数个零点，B正确，不符合题意；
对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；
，，
不是的极小值点，C错误，符合题意；
对于D，，；
则当，，即时，取得最大值1，D正确，不符合题意.
故答案为：C.
2.（2022·四川南充·高二期末（文））函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】探讨给定函数的性质，结合当时函数值的符号即可判断作答.
【详解】函数定义域为，，
则有函数是奇函数，其图象关于原点对称，选项B，C不满足；
当时，，即，因此，选项A不满足，D符合条件.
故选：D
函数奇偶性的应用
1.（2022·临沂二模）已知函数 是偶函数，则 　 　．
【答案】2
【解析】由 得 的定义域为 ，
则∵ 是偶函数，故f(-1)=f(1)，
即 ，解得m=2．
此时 ，而 ，
故 确为偶函数，故m=2．
故答案为：2．
2．（2022·河南安阳·高二期末（文））双曲正弦函数是高等数学中重要的函数之一，已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】函数是奇函数且在上单调递增，由奇偶性可将转化成，结合单调性即可求解；
【详解】
由题意可知，函数是奇函数且在上单调递增，所以即，所以，解得，
故选：A．
考点二　函数的周期性
1.（2022·衡阳模拟）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以满足，又因为是奇函数，所以故
因此即是以4为周期的周期函数.
，
当时，，在单调递增，在单调递减，故在单调递增.所以
故答案为：A
2.（2022·湖北模拟）已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，
当 时，
故答案为：D
3.（2022·福建省尤溪第一中学高二期末）已知函数定义在R上，对任意实数有若函数的图象关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据的图象关于直线对称，可得，再结合可得周期为8，再逐步代入计算可得
【详解】的图象关于直线对称，向左平移1个单位，得图象关于轴对称，即，又，，
同理可得：，
即
；
又，
故选：A
考点三　函数的对称性
1.（2022·全国·高一专题练习）若函数的图像关于直线对称，则的最大值是（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】B
【分析】由函数的图像关于直线对称，知为偶函数，由此可求出值，再代入利用换元法可转化为二次函数求最值.
【详解】
由函数的图像关于直线对称，知是偶函数，
，即，
整理得总成立，得，
，
令，则，
当时，有最大值，即的最大值是．
故选：B．
2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））设函数，若函数的图象关于点对称，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据的图象关于点对称可得为奇函数，进而求得即可
【详解】因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，
即为奇函数，故，
所以.
故选：B.
3.（2021·湖南·高一阶段练习）已知函数的定义域为R，且，当时，，若，则实数m的取值范围为___________．
【答案】
【分析】由题意得函数关于中心对称，由的解析式可得函数在单调递减，并求出的解析式，可得，从而得到关于的不等式，即可得答案.
【详解】，
关于中心对称，
当时，设为图象上任意一点，则关于的对称点为，
，
中，当时，，
所以在上单调递减，且，
，
解得，
故答案为：.
1．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
2．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
3．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】
在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
4．（2022·全国·高考真题（理））已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
5．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
6．（2022·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
一、单选题
1．已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由抽象函数关系式可求得周期为，从而得到，结合函数奇偶性和解析式可求得结果.
【详解】
由，可得函数的周期为，
，又为偶函数，
，
当时，，
.
故选：D.
2．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为上的奇函数 B．为上的奇函数
C．为上的偶函数 D．为上的偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性定义逐项判断可得答案.
【详解】
因为为上的奇函数，为上的偶函数，
所以，，
对于A， ，设，则，故错误；
对于B， ，设，则，故错误；
对于C， ，，设，，故错误；
对于D，， 设， ，所以为偶函数，故正确.
故选：D.
3．已知函数是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数求出当时，函数的函数解析式，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.
【详解】
解：因为函数是奇函数，所以，且
当时，则，
则，
所以当时，，
则，解得，
，解得，
所以不等式的解集是.
故选：B.
4．是定义在上的偶函数，是奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析可得，可得出的值，求出的值，推导出函数是以为周期的周期函数，利用函数的周期性和对称性可求得的值.
【详解】
因为是奇函数，所以，则，
所以，，解得，所以，，
又是偶函数，所以，
故，则是以为周期的周期函数，
因此，
故选：A.
5．已知是以2为周期的函数，且，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．7
【答案】A
【解析】
【分析】
除三角函数外，也有很多周期函数.可以利用周期函数的定义求值或求解析式.
【详解】
因为函数是周期为2的周期函数，所以为的周期，即
所以.
故选：A.
6．已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图像关于y轴对称，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．2是一个周期 D．关于直线对称
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性，对称性、周期性的定义一一判断即可；
【详解】
解：根据题意，是定义域为的奇函数，则关于点成中心对称，
是定义域为的偶函数，则关于对称，
与的图像关于y轴对称，则关于对称，
所以关于原点中心对称，故是奇函数，故A正确.
是奇函数，且与的图像关于y轴对称，故是奇函数，故B错误.
是定义域为的奇函数，则，①
关于对称，故，可得，联立①得，
故，可得，
故，函数是周期为4的周期函数，由题意可得出4是函数的周期，故C错误.
因为4是函数的周期，关于点中心对称，
所以是的中心对称，关于y轴对称为，为的对称中心，故D错误.
故选：A
7．已知函数的定义域是R，为偶函数，，且，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件可得函数是以4为周期的周期函数，然后利用周期可求得结果
【详解】
因为为偶函数，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
所以函数是以4为周期的周期函数，
所以
，
故选：C
8．已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，结合对数的运算法则，得到，代入即可求解.
【详解】
由题意，函数为上的奇函数，且，即，
且当时，，
又由.
故选：D.
9．已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合函数的奇偶性、对称性和周期性求得正确答案.
【详解】
是奇函数，
，即关于对称，
，
，
所以是周期为的周期函数.
，
，，
，
，，
所以，
由于，
所以.
故选：C
二、多选题
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为R
B．是偶函数
C．的图象关于直线对称
D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
求得的值域判断选项A；求得的奇偶性判断选项B；求得的对称轴判断选项C；求得的大小关系判断选项D.
【详解】
，因为，
所以的值域为.A错；
的定义域是R，且，则是偶函数.B对；
的图象可看成的图象向左平移一个单位长度，
又的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称.C对；
令，则，
当时，，单调递增，且
又为上增函数，所以在上单调递增，
因为，所以，
又是偶函数，则，则.D对.
故选：BCD.
11．若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据对称性，周期性的定义可得关于成轴对称，关于成中心对称，以为周期的周期函数，再由题意可得函数在区间上单调递增，即可判断；
【详解】
解：因为是定义在上的奇函数，所以，
又，即关于对称，故B不正确；
所以，即，
所以，
所以是以为周期的周期函数，
因为在区间上，有，
所以在上单调递增，
因为，即，
所以的图象关于点成中心对称，故A正确；
因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，
所以在上单调递减，故C正确；
因为，故D错误；
故选：AC
12．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．为周期函数 B．为上的偶函数
C．为上的单调函数 D．的图象关于点对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由周期性的定义可判断A，由奇偶性的定义可判断B，由偶函数的单调性的特点可判断C，由奇函数的对称性结合图像平移可判断D
【详解】
对于：函数，
是周期为的函数，故正确；
对于B：，
即
又的周期为，
又是奇函数，
,令，则
是偶函数，即是偶函数，故B正确；
对于C：由B知是偶函数，
在和上的单调性相反，
在上不单调，故C错误；
对于D：函数为奇函数，
的图象关于点对称，
的函数图象是由的图象向右平移个单位得到的，
的函数图象关于点对称，故D正确．
故选：ABD
13．已知函数及其导函数的定义域均为R，记．若，均为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由上下平移均满足题设即可判断A选项；由得即可判断B选项；由函数的轴对称以及中心对称即可判断C、D选项.
【详解】
对于A，令，定义域为R，则，，，
又，则，显然也满足题设，即上下平移均满足题设，显然的值不确定，A错误；
对于B，，则，即，
，令可得，则，B正确；
对于C，由即，则，令，
显然满足要求，则关于对称，又可得关于对称，则，C错误；
对于D，由可得关于对称，则；由可得关于对称，
则 ，D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题的关键点在于通过复合函数的导数运算得到函数的对称轴及对称中心，通过函数的轴对称以及中心对称的性质得出函数的周期性即可求解.
三、填空题
14．已知函数，若对任意的正数，满足，则_________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义，求得函数为定义域上的奇函数，然后利用复合函数的单调性可得函数单调递减，再结合条件即得.
【详解】
由题意，函数的定义域为关于原点对称，
又由
，
即，所以函数为上的奇函数，
又，
当时，函数单调递增，单调递减，单调递增，
故函数单调递减，又函数为上的奇函数，
∴函数在上单调递减，
因为，即
所以，即.
故答案为：.
15．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，可得函数是以4为周期的周期函数，再根据函数的周期性和奇偶性即可得解.
【详解】
解：因为，
所以函数是以4为周期的周期函数，
又因是定义在上的奇函数，
所以.
故答案为：.
16．已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
整体代换求解直线的解析式，利用导数的几何意义求解函数的图象上到直线距离最短的点，即为点，即可求解两点间的最短距离.
【详解】
解：令，则，，．
因为与关于直线对称，
所以函数与函数关于直线对称，
所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，
函数在点处的切线斜率为，
令得，，，
所以点P到直线距离的最小值为，
所以这两点之间距离的最小值为．
故答案为：.
17．设是定义在上的奇函数，对，都有，且当时，，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据奇函数与对称性可得的周期性，进而求解即可
【详解】
因为是定义在上的奇函数，故，，
故，即周期为4，
故
故答案为：3.
四、解答题
18．已知，函数．
(1)若 ，求不等式的解集；
(2)若 ，求证：函数的图象关于点成中心对称；
(3)若方程的解集恰有一个元素，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）由题意，得到，利用对数不等式的解法，列出不等式，求解即可；
（2）任取 ，化简计算，即可证明结论；
（3）将方程进行变形，得到，求出两个根，分三种情况讨论求解即可．
(1)
当a=3时，不等式 ，即，
所以，解得，
故不等式的解集为；
(2)
证明：因为，则函数 的定义域为，
任取，则，
则＝＝，
所以函数 的图象关于点成中心对称；
(3)
由，可得，
解得，
若 ，则a=1，检验定义域，符合题意；
若 是原方程的解，则；
若 是原方程的解，则，即 ．
因为方程的解集恰有一个元素，
故当 是原方程的解， 不是原方程的解时，则 ；
当 不是原方程的解，是原方程的解时，，又，则，
所以实数a的取值范围为．
19．设是定义在上的奇函数，且对任意，都有，当时，．
(1)当时，求的解析式；
(2)设向量，，若，同向，求的值；
(3)若，，，若不等式有解，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)15
【解析】
【分析】
（1）根据题干中的已知条件，利用函数的奇偶性即可求解.
（2）根据平面向量同向，利用向量共线定理求解的值，根据题干中的条件，求解函数的周期性，利用函数的周期性及奇偶性进行求值即可.
（3）根据函数的周期性判断函数的最大值及最小值，将不等式转化为，求解的值即可.
(1)
解：设，则，
∴，
∴；
又为奇函数，当时，，
故当时，，
综上，当时，.
(2)
解：因为同向，故，则，
所以，
所以，又，
故可能在一、三象限，
若在第三象限，则反向，与题意矛盾；若在第一象限，则同向，
故.
又，则，
则
则.
(3)
解：由（1）（2）得，的最小正周期为4，且在一个最小正周期内，的最大值为，最小值为；
又，，
有解，即有解，故等价于
即，即，又，解得.
验证：当时，，
当时，，
故的最小值为15.
20．已知函数，
(1)若是偶函数，求实数a的值；
(2)设函数，若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数的性质求解即可.
（2）由有且只有一个实数根得，有且只有一个实数根，根据的不同取值分情况讨论.
(1)
因为是偶函数，所以，
解得.
(2)
，
当时，不符合题意，舍去
当时，显然单调递增，，；，，故时一定有且只有一个实数根.
当时，，当且仅当时“=”成立.
综上， 或.

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