资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第4讲　独立性检验
考向预测 核心素养
利用2×2列联表和卡方独立性检验判断两个变量的相关关系是高考考查的热点，各种题型均会出现. 数据分析、数学运算
一、知识梳理
1．分类变量与列联表
(1)分类变量
在讨论问题时，为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．
(2)2×2列联表
列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．
假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
y1 y2 合计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
2.独立性检验
(1)零假设
以Ω为样本空间的古典概型．设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量．
H0：分类变量X和Y独立．
通常称H0为零假设或原假设．
(2)χ2公式
假设我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示：
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
χ2＝.
对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得下面关系成立：P(χ2≥xα)＝α.
我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．概率值α越小，临界值xα越大．
(3)独立性检验
基于小概率值α的检验规则是：
当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．
这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第三册P134练习T1改编) 为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力(　　)
A．回归分析　　 B.均值与方差
C．独立性检验 D.概率
2．(人A选择性必修第三册P134练习T4改编)为了判断高三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科 文科
男 13 10
女 7 20
α 0.05 0.025
xα 3.841 5.024
根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性不大于________．
3．(人A选择性必修第三册P132 例3改编)随着国家三孩政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．
非一线 一线 合计
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
合计 58 42 100
由χ2＝，
得χ2＝≈9.616.
参照下表：
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以得到的结论是____________．
参考答案
1答案：C
2解析：χ2≈4.844>3.841＝x0.05，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性不大于0.05.
答案：0.05
3答案：生育意愿与城市级别有关
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)独立性检验是检验两个分类变量是否有关的一种统计方法．(　　)
(2)独立性检验得到的结论一定是正确的．(　　)
(3)独立性检验的样本不同，其结论可能不同．(　　)
(4)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2越小．(　　)
二、易错纠偏
1．(列联表意义不明致误)下面是2×2列联表：
y1 y2 合计
x1 a 21 73
x2 22 25 47
合计 b 46 120
则表中a，b的值分别为(　　)
A．94，72 B.52，50
C．52，74 D.74，52
2．(独立性检验理解不当致误)(2022·揭阳模拟)随机询问50名大学生调查爱好某项运动是否和性别有关．利用2×2列联表计算得χ2＝8.333，则下列结论正确的是(　　)
附：
α 0.010 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
A.在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关”
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
二、易错纠偏
1解析：选C.因为a＋21＝73，
所以a＝52.
又a＋22＝b，所以b＝74.
2解析：选A.因为8.333>7.879，由附表知，在犯错误的概率不大于0.005的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关”．故选A.
考点一　分类变量与列联表(自主练透)
复习指导：掌握分类变量的含义；通过实例，理解2×2列联表的统计意义．
1．(多选)根据如图所示的等高堆积条形图，下列叙述正确的是(　　)
A．吸烟患肺病的频率约为0.2
B．吸烟不患肺病的频率约为0.8
C．不吸烟患肺病的频率小于0.05
D．不能判断吸烟与患肺病之间的关系
2．(2022·湖南省永州市高三适应性考试)“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品，2021年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则(　　)
A．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍
B．该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的
C．该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的
D．该直播间第三季度服装收入低于前两个季度的服装收入之和
3．(2022·上海华师大二附中高二月考)假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
X Y 合计
y1 y2
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　　)
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5
4．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与会俄语”的2×2列联表中，a－b＋d＝________．
性别 俄语 合计
会俄语 不会俄语
男 a b 20
女 6 d
合计 18 30
参考答案
1解析：选ABC.从等高堆积条形图上可以明显地看出，吸烟患肺病的频率远远大于不吸烟患肺病的频率．A，B，C都正确，D不正确．
2解析：选B.对于选项A，因为该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，所以第三季度的总收入是第一季度的2×2＝4倍，故A错误；对于选项B，设第一季度的总收入为a，则第二季度、第三季度的总收入分别为2a，4a，第二季度的化妆品收入为2a×20%＝0.4a，第三季度的化妆品收入为4a×30%＝1.2a，所以第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的＝，故B正确；对于选项C，第一季度的化妆品收入为a×10%＝0.1a，所以第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的＝，故C错误；对于选项D，第一、二季度服装收入和为a＋2a－0.1a－0.4a＝2.5a，第三季度服装收入为4a－1.2a＝2.8a，故D错误．故选B.
3解析：选D.对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y相关性越弱，而|ad－bc|越大，说明X与Y相关性越强，通过计算知，对于A、B、C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2；对于选项D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，显然7＞2.
4解析：由2×2列联表的性质，可得：a＝18－6＝12，b＝20－12＝8，6＋d＝30－20，可得d＝4，所以a－b＋d＝8.
答案：8
求解参数的方法
(1)根据等高堆积条形图的高度差直接判断．
(2)直接利用2×2列联表的性质，建立方程即可求参数．
考点二　独立性检验(多维探究)
复习指导：通过对典型案例(如“肺癌与吸烟有关吗”等)的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用．
角度1　简单的独立性检验问题
某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550(或等于550分)为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表：
优秀 非优秀 合计
一班 35 13
二班 17 25
合计
(1)请完成列联表；
(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系？
参考数据：
α 0.1 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
χ2＝.
【解】　(1)
优秀 非优秀 合计
一班 35 13 48
二班 17 25 42
合计 52 38 90
(2)零假设为H0：推广新课改与总成绩是否优秀无关．
根据列联表中的数据，得到
χ2＝≈9.663>6.635＝x0.01，故根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系，此推断犯错误的概率不大于0.01.
角度2　独立性检验与统计、概率的综合问题
(2022·四川雅安5月三模改编)高铁在出行方式中越来越受欢迎，某部门利用大数据随机抽取了出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在40岁及以下的旅客中乘坐高铁出行的占.
(1)请完成下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001 的独立性检验，分析能否认为乘坐高铁出行与年龄有关；
40岁及以下 40岁以上 合计
乘坐高铁 10
不乘坐高铁
合计 60 100
(2)为提升服务质量，该部门从这100名旅客中按年龄采用分层随机抽样的方法选取5人参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份，由于年龄差异，规定40岁及以下的旅客若中奖，则每人得800元，40岁以上的旅客若中奖，则每人得1 000元，设三份奖品总金额为X元，求X的分布列与数学期望．
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
【解】　(1)由已知可得，样本中40岁及以下乘坐高铁出行的有60×＝40(人)．
2×2列联表如下：
40岁及以下 40岁以上 合计
乘坐高铁 40 10 50
不乘坐高铁 20 30 50
合计 60 40 100
零假设为H0：乘坐高铁出行与年龄无关．
由列联表中的数据计算可得χ2＝≈16.667>10.828＝x0.001.
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，
我们推断H0不成立，即认为乘坐高铁出行与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)采用分层随机抽样的方法，则从40岁及以下的人中抽取3人，从40岁以上的人中抽取2人．
X的所有可能取值为2 400，2 600，2 800.
P(X＝2 400)＝eq \f(CC,C)＝，P(X＝2 600)＝eq \f(CC,C)＝，P(X＝2 800)＝eq \f(CC,C)＝.
故分布列如下：
X 2 400 2 600 2 800
P
E(X)＝2 400×＋2 600×＋2 800×＝2 640.
(1)在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．
(2)解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得到结论．独立性检验的一般步骤：
①根据样本数据制成2×2列联表；
②根据公式χ2＝计算得到χ2的值；
③比较χ2的值与临界值的大小关系，作统计推断．
|跟踪训练|
(2022·西藏拉萨那曲第二高级中学高三月考)某中学随机抽查了50名同学的每天课外阅读时间，得到如下统计表：
时长(min) (0，10] (10，20] (20，30] (30，40] (40，50]
人数 4 10 14 18 4
(1)求这50名同学的平均阅读时长(用区间中点值代表每个人的阅读时长)；
(2)在阅读时长位于(40，50]的4人中任选2人，求甲同学被选中的概率；
(3)进一步调查发现，语文成绩和每天的课外阅读时间有很大关系，每天的课外阅读时间多于半小时称为“阅读迷”，语文成绩达到120分视为优秀，根据每天的课外阅读时间和语文成绩是否优秀，制成一个2×2列联表：
阅读迷 非阅读迷 合计
语文成绩优秀 20 3 23
语文成绩不优秀 2 25 27
合计 22 28 50
依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关？
参考公式：χ2＝.
参考数据：
α 0.4 0.25 0.1 0.01
xα 0.708 1.323 2.706 6.635
解：(1)设这50名同学的平均阅读时长为 min，
则＝＝26.6，
故这50名同学的平均阅读时长为26.6 min.
(2)设这4名学生中分别为甲、乙、丙、丁，
从这4名学生中任取2名学生，所有的样本点有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6个，
其中，事件“甲同学被选中”所包含的样本点有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，
因此，所求概率为P＝＝.
(3)零假设为H0：语文成绩是否优秀与课外阅读时间无关．
由列联表中的数据计算得
χ2＝≈31.897>6.635＝x0.01，
因此，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑