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第1讲　随机抽样、统计图表
考向预测 核心素养
分层随机抽样的概念和统计图表的意义是高考考查的热点，以客观题为主，中低难度. 数据分析
一、知识梳理
1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n(2)简单随机样本
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．
(3)简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．
2．总体平均数与样本平均数
名称 定义
总体均值(总体平均数) 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称Y＝＝Yi为总体均值，又称总体平均数
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYi
样本均值(样本平均数) 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数
3.分层随机抽样
(1)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
(2)分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为，，总体的样本平均数为，则＝＋＝＋．
[提醒]　(1)随机抽样时，总体中的每个个体入样的概率相同．
(2)分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．
4．统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．
(2)频率分布直方图的制作步骤
→→
　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　　←
二、教材衍化
1．(人A必修第二册P177 练习T1改编)下列调查方式中，适合用普查的是(　　)
A．调查春节联欢晚会的收视率
B．了解某渔场中青鱼的平均质量
C．了解某批次手机的使用寿命
D．了解一批汽车的刹车性能
2．(人A必修第二册P188 习题9.1T5改编)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层随机抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．
3．(人A必修第二册P184 练习T3改编)某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为________分．
4．(人A必修第二册P197练习T1改编)如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量在[2，2.5)范围内的居民有________人．
参考答案
1解析：选D.了解汽车的刹车性能，因为涉及人身安全，且对汽车没有破坏性，因此，应采用普查的方式．
2解析：设应抽取的男生人数为x，
则＝，
解得x＝25.
答案：25
3解析：设20名女生的平均成绩为，则92＝×90＋×，解得＝95.
答案：95
4解析：0.5×0.5×100＝25(人)．
答案：25
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．(　　)
(2)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　)
(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．(　　)
二、易错纠偏
1．(样本平均数概念不清致误)一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为(　　)
A．－0.9　　 B.0.9　　
C.3.4　　 D.4.3
2．(随机数表应用易错)总体由编号为1，2，…，99，100的100个个体组成．现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1～100范围内的整数随机数的开始部分数据如下，则选出来的第5个个体的编号为________．
8　44　2　17　8　31　57　4　55　6
88 77 74 47 7 21 76 33 50 63
3．(频率分布直方图应用易错)某班组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、易错纠偏
1解析：选B.设求出的平均数为，实际平均数为′，则求出的平均数与实际平均数的差为－′＝＝0.9.
2解析：生成的随机数中落在编号1～100范围内的有8，44，2，17，8(重复，舍弃)，31，…，故选中的第5个个体的编号为31.
答案：31
3解析：依题意得，成绩低于60分的相应的频率为(0.005＋0.010)×20＝0.3，所以该班的学生人数是15÷0.3＝50.
答案：50
考点一　简单随机抽样(自主练透)
复习指导：理解随机抽样的必要性，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本．
1．下列抽样试验中，适合用抽签法的是(　　)
A．从某工厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某工厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
2．从总体量为N的一批零件中使用简单随机抽样的方法抽取一个容量为40的样本，若某个零件在第2次抽取时被抽到的可能性为1%，则N＝(　　)
A．100　　 B.4 000　　
C.101　　 D.4 001
3．(2022·哈尔滨六中高二月考)总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为(　　)
第1行 78　16　62　32　08　02　62　42　62　52　53　69　97　28　01　98
第2行 32　04　92　34　49　35　82　00　36　23　48　69　69　38　74　81
A．27 B.26
C.25 D.19
参考答案
1解析：选B.选项B中总体量和样本量都不大，适合采用抽签法．
2解析：选B.简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，即＝1%，解得N＝4 000.
3解析：选D.由题意得第一个数为23，符合条件，
第二个数为20，符合条件，
第三个数为80，不符合条件，
以下符合条件(重复的去掉)依次为：26，24，25，19，
故第6个数为19.故选D.
4．为了考察某地6月份最高气温的情况，随机抽取了5天，所得数据约为29，29，31，30，31，则该地6月份最高气温的平均值约为________．
解析：＝30.
答案：30
简单随机抽样要点
(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取．
(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，按某种顺序依次选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
(3)简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于总体中个体数较多的情况)．
考点二　分层随机抽样(综合研析)
复习指导：了解分层随机抽样的方法，会设计分层随机抽样方案和计算分层随机抽样的平均数．
(1)(2022·江西九江高二期中)小张去年承包了村里的鱼塘养殖黑鱼，计划今年出售成年黑鱼．小张第一天从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，称得共重500斤，将这些鱼做上标记后重新放回鱼塘，第二天又从鱼塘里捞出200条成年黑鱼，发现带有标记的黑鱼有8条．已知目前市场上一斤黑鱼价格是18元，则可估计该鱼塘今年能产生的效益约为(　　)
A．188 000元　　　 　　 B.205 000元
C．220 000元 D.225 000元
(2)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现在用分层随机抽样的方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时．
【解析】　(1)设鱼塘里有n条成年黑鱼，则≈，则n≈5 000，估计可产生的效益为×5 000×18＝225 000(元)．
(2)由分层随机抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)．
由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命约为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时)．
【答案】　(1)D 　(2)50　1 015
分层随机抽样中有关计算的方法
(1)抽样比＝＝.
(2)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为；第二层的样本量为n，平均值为，则样本的平均值为eq \f(m＋n,m＋n).
|跟踪训练|
1．(2022·大同市平城中学高一月考)我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题其大致意思如下：今有某地北面若干人，西面有7 488人，南面有6 912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人(用分层随机抽样的方法)，则北面共有(　　)
A．8 000人 B.8 100人
C．8 200人 D.8 300人
2．在调查某中学的学生身高时，利用分层随机抽样的方法抽取男生20人，女生15人，得到了男生身高的平均值为170，女生身高的平均值为165.则该中学所有学生的平均身高约为________．(保留两位小数)
参考答案
1解析：选B.设北面人数为x，根据题意知，＝，解得x＝8 100，所以北面共有8 100人．
2解析：＝≈167.86.
即该中学所有学生的平均身高约为167.86.
答案：167.86
考点三　统计图表(多维探究)
复习指导：认识简单的统计图表并能初步应用．
角度1　扇形图、条形图
(1)(2022·广东东莞6月测试)2021年3月，某中学组织三个年级的学生进行以“庆祝中国共产党成立100周年”为主题的党史知识竞赛，经统计得到成绩前200名学生(不考虑名次并列的情况)年级分布的扇形图(如图(1))和前200名学生中高一学生排名分布的频率条形图(如图(2))，则下列结论错误的是(　　)
A．成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30
B．成绩前1～100名的学生中，高一人数不超过一半
C．成绩第1～50名的学生中，高三最多有32人
D．成绩第51～100名的50人中，高二人数比高一的多
(2)已知某居民小区不同户型户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(　　)
A．240，18　 B.200，20　
C.240，20　 D.200，18
【解析】　(1)由扇形图可知，成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多200×(45%－30%)＝30，A正确；由条形图知高一学生在前200名中，前100名和后100名的人数相等，因此成绩第1～100名的学生中，高一人数为200×45%×(0.2＋0.3)＝45<50，B正确；成绩第1～50名的学生中，高一人数为200×45%×0.2＝18，因此高三最多有32人，C正确；成绩第51～100名的学生中，高一人数为200×45%×0.3＝27，因此高二最多有23人，D错误．
(2)样本容量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.
【答案】　(1)D　(2)A
角度2　折线图
(2022·广东惠州8月月考)某市场去年各月份的收入、支出的统计数据如图所示，已知利润＝收入－支出，请根据此统计图写出一个关于利润的正确统计结论：_____________________________________________________________
__________________________________________________________.
【解析】　由题图可得，1月到12月的利润分别为20万元，20万元，30万元，20万元，20万元，20万元，20万元，10万元，20万元，30万元，20万元，20万元．
【答案】　去年各月份利润的最小值为10万元(答案不唯一，也可以是：去年各月份利润的最大值为30万元，全年总利润为250万元，去年月平均利润约为20.8万元，去年各月份利润众数为20万元等)
角度3　频率分布直方图
从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图．
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，月用电量落在区间[100，250)内的户数为________．
【解析】　(1)由频率分布直方图知数据落在[200，250)内的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22，于是x＝＝0.004 4.
(2)因为数据落在[100，250)内的频率为(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，
所以所求户数为0.7×100＝70.
【答案】　(1)0.004 4　(2)70
角度4　雷达图
(2022·眉山5月三模)《网络直播营销管理办法(试行)》(以下简称《办法》)施行后，某部门为了解某平台“直播带货”商品销售反馈变化情况，随机抽取了A，B，C，D，E，F，G，H8类商品，收集了这8类商品在《办法》施行前、后的消费者评价得分，绘制成如图所示的雷达图，根据雷达图判断，下面的叙述一定不正确的是(　　)
A．《办法》施行后，D类商品的评价得分提升幅度最大
B．《办法》施行后，H，F类商品的评价得分低于《办法》施行前
C．这8类商品的评价得分的平均分高于《办法》施行前的平均分
D．有7类商品的评价得分高于《办法》施行前
【解析】　对于A，由雷达图可知，D类商品在《办法》施行前、后的评价得分差最大，故选项A正确；对于B，由雷达图可知，《办法》施行后，H，F类商品的评价得分低于《办法》施行前，故选项B正确；对于C，《办法》施行后，除H，F类商品外，其余6类商品的评价得分均高于《办法》施行前，且评价得分增长之和超过H，F类商品评价得分下降之和，所以这8类商品评价得分的平均分高于《办法》施行前的平均分，故选项C正确；对于D，由选项B的分析可知选项D错误．故选D.
【答案】　D
统计图表的应用
(1)条形图可以直观地表示各个项目的具体数量，扇形图能够清晰地显示各个项目占总体的百分比，折线图可以清楚地看到数据变动趋势，解决统计类问题时常需将若干种统计图结合．
(2)频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆．
|跟踪训练|
1．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)
A．100，20 B.200，20
C.200，10 D.100，10
2．某厂对一批产品进行抽样检测，如图是抽检产品净重(单位：克)的频率分布直方图，样本数据分组为[76，78)，[78，80)，…，[84，86]．若这批产品有120个，则其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是(　　)
A．12 B.18
C.25 D.90
3．(多选)(2022·湖北襄阳8月月考)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
参考答案
1解析：选B.由题图可知学生总数是10 000人，样本容量为10 000×2%＝200(人)，其中高中生有2 000×2%＝40(人)，由图乙可知高中生近视率为50%，所以抽取的高中生近视人数为40×50%＝20(人)．
2解析：选D.净重大于或等于78克且小于84克的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，
所以在该范围内的产品个数为120×0.75＝90.
3解析：选ABC.由题图可知，最高收入为90万元，最低收入为30万元，所以A正确．结余最高的为7月，结余60万元，所以B正确．根据两点连线所在直线的斜率可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，所以C正确．前6个月的平均收入为＝45(万元)，所以D选项错误，故选ABC.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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