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第2讲　用样本估计总体
考向预测 核心素养
利用样本的均值、方差估计总体的集中趋势和离散程度是高考考查的热点，以客观题为主，中低难度. 数据分析
一、知识梳理
1．总体百分位数的估计
(1)百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)百分位数的意义
反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点．
2．总体集中趋势的估计
名称 概念
平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)就是这组数据的平均数，用表示，即＝(x1＋x2＋…＋xn)　
中位数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数
众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫做这组数据的众数
3.总体离散程度的估计
总体(样本)方差和总体(样本)标准差
假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，那么这n个数的
(1)标准差
s＝eq \r(\f(1,n)[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2])；
(2)方差
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
4．分层随机抽样的均值与方差
分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2.
以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为s.则＝i，s＝(xi－)2，＝i，s＝(yi－)2.
则(1)＝＋；
(2)s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}．
常用结论
1．若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；
2．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；
3．s2＝ (xi－)2＝x－2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．
二、教材衍化
1．(人A必修第二册P202例2改编)一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为________，第86百分位数为________．
2．(人A必修第二册P212例6改编)为调查高一年级学生期中考试数学成绩的情况，从(1)班抽取了12名学生的成绩，他们的平均分为91分，方差为3，从(2)班抽取了8名学生的成绩，他们的平均分为89分，方差为5，则合在一起后的样本均值为________，样本方差为________．
参考答案
1解析：因为75%×20＝15，
所以第75百分位数为＝14.5.
因为86%×20＝17.2，
所以第86百分位数为第18个数据17.
答案：14.5　17
2解析：样本均值＝＝90.2，
样本方差s2＝
＝4.76.
答案：90.2　4.76
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　　)
(2)方差和标准差的单位是一样的．(　　)
(3)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数的估计值．(　　)
二、易错纠偏
1．(统计量意义作用不清致误)某鞋店试销一款新女鞋，销售情况如下表：
鞋号/码 34 35 36 37 38 39 40 41
数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2
如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是(　　)
A．平均数　　 B.众数
C．中位数 D.方差
2．(平均数、方差含义不明致误)如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则(　　)
A．A>B，sA>sB B.AsB
C．A>B，sA3．(分层随机抽样所得样本的均值方差公式记忆不准致误)某学校有高中学生500人．其中男生320人，女生180人．希望获得全体高中生身高的信息，按照分层随机抽样原则抽取样本，男生样本量为32，女生样本量为18，通过计算男生身高样本均值为173.5 cm，方差为17；女生身高样本均值为163.83 cm，方差为30.03，则所有数据的样本均值为________cm，方差为________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、易错纠偏
1解析：选B.鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的众数．
2解析：选B.观察题图可得样本A的数据均小于或等于10，样本B的数据均大于或等于10，故AsB.
3解析：由题意得＝×173.5＋×163.83≈170.02(cm)，
s2＝×{[32×17＋32×(173.5－170.02)2]＋[18×30.03＋18×(163.83－170.02)2]}≈43.24.
答案：170.02　43.24
考点一　总体取值规律和百分位数的估计(自主练透)
复习指导：通过样本数据或统计图表可对总体取值规律和百分位数进行估计．
1．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是(　　)
A．该年第一季度GDP增长率由高到低排位第3的是山东省
B．该年第一季度浙江省的GDP总量最低
C．该年第一季度GDP总量和增长率由高到低排位均居同一位次的省份有2个
D．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长
2．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.
3．下表为12名毕业生的起始月薪：
毕业生 起始月薪 毕业生 起始月薪
1 2 850 7 2 890
2 2 950 8 3 130
3 3 050 9 2 940
4 2 880 10 3 325
5 2 755 11 2 920
6 2 710 12 2 880
则此12名毕业生起始月薪的第85百分位数是________．
参考答案
1解析：选B.由题图可知A，D项均正确，该年第一季度GDP总量和增长率由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一，河南均第四，共2个，故C项正确；该年浙江省的GDP增长率最低．故B项不正确．故选B.
2解析：底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.
答案：24
3解析：将12个数据按从小到大排序：2 710，2 755，2 850，2 880，2 880，2 890，2 920，2 940，2 950，3 050，3 130，3 325.
计算i＝12×85%＝10.2，
所以所给数据的第85百分位数是第11个数据3 130.
答案：3 130
(1)计算一组数据第p百分位数的步骤
(2)应用统计图表或样本数据提取关键信息，对总体取值规律作出估计，可培养数据分析的核心素养．
考点二　总体集中趋势的估计(综合研析)
复习指导：众数、平均数、中位数等可以用来估计总体集中趋势．
(1)(2022·江西景德镇一中7月月考)为了解果树树苗的生长情况，现从甲、乙两个品种中各随机抽取了100株进行高度(单位：cm)测量，并将高度数据制成了如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图求得甲、乙两个品种树苗高度的平均值都是65.5，用样本估计总体，则下列描述正确的是(　　)
A．甲品种的平均高度高于乙品种，但乙品种比甲品种长得整齐
B．乙品种的平均高度高于甲品种，但甲品种比乙品种长得整齐
C．甲、乙品种的平均高度差不多，且甲品种比乙品种长得整齐
D．甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长得整齐
(2)统计局就某地居民的月收入(单位：元)情况调查了10 000人，并根据所得数据画出了频率分布直方图(如图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[2 500，3 000)内．
①估计该地居民的月收入的中位数为________，众数为________．
②估计该地居民月收入的平均数为________．
【解析】　(1)由题可知，甲、乙两个品种高度的平均值相同，均为65.5，即甲、乙品种的平均高度差不多，从频率分布直方图可以看出乙品种比甲品种高度更集中，长得更整齐，故选D.
(2)①由题图得，(0.000 2＋0.000 4＋a＋a＋0.000 3＋0.000 1)×500＝1，解得a＝0.000 5.因为0.000 2×500＝0.1，0.000 4×500＝0.2，0.000 5×500＝0.25，0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，
所以样本数据的中位数是3 500＋＝3 900.
因此估计该地居民月收入的中位数是3 900元．
在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，
所以众数应为＝4 000.
②样本平均数为(2 750×0.000 2＋3 250×0.000 4＋3 750×0.000 5＋4 250×0.000 5＋4 750×0.000 3＋5 250×0.000 1)×500＝3 900，
因此估计该地居民月收入的平均数为3 900元．
【答案】　(1)D　(2)①3 900　4 000　②3 900
估计总体集中趋势的几个数字特征
(1)中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需要根据实际需要选择使用．
(2)频率分布直方图的数字特征
①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标；
②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积和应该相等；
③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和，即在频率分布直方图中，每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
|跟踪训练|
1．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)分布情况汇总如下：
身高 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]
频数 5 35 30 20 10
由此表估计这100名小学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字)(　　)
A．119.3　　　　　　　　　 B.119.7
C．123.3 D.126.7
2．(多选)(2022·辽宁新高考名校5月联考)某大学共有12 000名学生，为了了解学生课外图书阅读情况，该校随机地从全校学生中抽取1 000名，统计他们年度阅读书籍的数量，并制成如图所示的频率分布直方图，由此来估计全体学生年度阅读书籍的情况．下列说法中不正确的是(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)(　　)
A．该校学生年度阅读书籍本数的中位数为6
B．该校学生年度阅读书籍本数的众数为10
C．该校学生年度阅读书籍本数的平均数为6.88
D．该校学生年度读书不低于8本的人数约为3 600
参考答案
1解析：选C.由题意知身高在[100，110)，[110，120)，[120，130)内的频率依次为0.05，0.35，0.3，前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x，则(x－120)×＝0.1，解得x≈123.3.故选C.
2解析：选ABD.对于A：由题图可知，中位数在[4，8)内，设中位数为x，则0.06×4＋0.10×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，故A错误．对于B：由题图可知，众数在[4，8)内，故B错误．对于C：平均数为4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，故C正确．对于D：由题图可知，该校抽取的学生年度读书不低于8本的频率之和为1－0.16×4＝0.36，所以该校学生年度读书不低于8本的人数约为0.36×12 000＝4 320，D错误．故选ABD.
考点三　总体离散程度的估计(综合研析)
复习指导：通过方差、标准差等数字特征可对总体离散程度进行估计．
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．
y的分组 [－0.20，0) [0，0.20) [0.20，0.40) [0.40，0.60) [0.60，0.80]
企业数 2 24 53 14 7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)
附：≈8.602.
【解】　(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21.
产值负增长的企业频率为＝0.02.
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.
(2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，
s2＝ni(yi－)2
＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋
0．202×14＋0.402×7]
＝0.029 6，
s＝＝0.02×≈0.17.
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.
总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.
|跟踪训练|
1．(多选)为了比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机抽取了该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)列表如下：
甲 26 28 31 29 31
乙 28 30 29 31 32
以下结论正确的是(　　)
A．甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温
B．甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温
C．甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差
D．甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差
2．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均环数 8.3 8.8 8.8 8.7
方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4
从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．
参考答案
1解析：选AD.方法一：因为甲＝＝29，
乙＝＝30，
所以甲<乙，
又s＝＝，
s＝＝2，
所以s甲>s乙．
故可判断结论AD正确．
方法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论AD正确．
2解析：由题表中数据可知，乙、丙的平均环数最高，但丙方差最小，说明技术稳定，且成绩好．
答案：丙
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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