资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第5讲　事件的相互独立性与条件概率
考向预测 核心素养
考查相互独立事件同时发生的概率、条件概率与全概率公式的应用，中档难度. 数据分析
一、知识梳理
1．相互独立事件
(1)概念：设A，B为任意两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
[提醒]　相互独立事件不一定互斥．
2．条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 ，简称为条件概率．
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝．
②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．
3．全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝．
我们称上面的公式为全概率公式．
[提醒]　注意P(B|A)和P(A|B)的区别．
常用结论
1．事件的关系与运算
(1)A，B都发生的事件为AB；A，B都不发生的事件为.
(2)A，B恰有一个发生的事件为A＋B；A，B至多有一个发生的事件为B＋A＋.
2．相互独立事件的概率
若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1＋A2＋…＋An)＝1－P(1)P(2)…P(n)．
二、教材衍化
1．(人A必修第二册P250 习题10.2T1)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为(　　)
A．互斥　　　　　 B.互为对立
C．相互独立 D.相等
2．(人A必修第二册P249 练习T3改编)天气预报在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)
A．0.2 B.0.3
C．0.38 D.0.56
3．(人A选择性必修第三册P48 练习T3改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则他在第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为________．
4．(人A必修第二册P249例3改编)甲、乙、丙三人将参加某项测试．他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________．
参考答案
1答案：C
2解析：选C.设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.
3解析：设A＝“甲第一次拿到白球”，B＝“甲第二次拿到红球”，　
则P(AB)＝eq \f(AA,A)＝，P(A)＝eq \f(A,A)＝，
所以P(B|A)＝＝.
答案：
4答案：0.24　0.96
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　)
(2)P(A|B)≠P(A)．(　　)
(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则A，B相互独立．(　　)
(4)三个事件A，B，C两两独立，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)．(　　)
二、易错纠偏
1．(对“至少”理解错误)五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为(　　)
A.　　 　 B.
C.　　 　 D.
2．(条件概率理解易错)由0，1组成的三位数编号中，若事件A表示“第二位数字为0”，事件B表示“第一位数字为0”，则P(A|B)＝________．
3．(全概率公式应用易错)某同学第1天午餐时随机选择A，B中的一家就餐，如果第1天去A餐厅，则第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，则第二天去A餐厅的概率为0.8.则该同学第二天去B餐厅的概率为________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
二、易错纠偏
1解析：选B.记事件A为“至少有1人去厦门旅游”，其对立事件为“三人都不去厦门旅游”，由独立事件的概率公式可得P()＝××＝，由对立事件的概率公式可得P(A)＝1－P()＝1－＝.
2解析：因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)＝，第一位数字为0且第二位数字也为0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)＝×＝，所以P(A|B)＝＝＝.
答案：
3解析：设Ai＝“第i天去A餐厅就餐”，Bi＝“第i天去B餐厅就餐”(i＝1，2)；则Ω＝A1∪B1，A1，B1互斥且P(A1)＝P(B1)＝0.5，
P(B2|A1)＝0.4，P(B2|B1)＝0.2，
所以P(B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
＝0.5×0.4＋0.5×0.2＝0.3.
答案：0.3
考点一　相互独立事件的概率(思维发散)
复习指导：了解事件相互独立性的概念，会对复杂事件进行分解．
(链接常用结论1)(2022·云南曲靖一中模拟)中国书法的五种主要书体为篆书体、隶书体、楷书体、行书体、草书体．现有甲、乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选一种进行研习，且相互独立，则甲不选隶书体、乙不选草书体的概率为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
【解析】　记“甲选隶书体”为事件A，“乙选草书体”为事件B，则P(A)＝eq \f(C,C)＝，P(B)＝eq \f(C,C)＝.则“甲不选隶书体”的概率P()＝1－＝，“乙不选草书体”的概率P()＝1－＝.因为甲、乙分别从五种书体中任意选一种进行研习，且相互独立，由相互独立事件的概率公式可得“甲不选隶书体，乙不选草书体”的概率为P()＝P()P()＝×＝.
【答案】　D
本例中，(1)改为求“甲选隶书体、乙选草书体”的概率呢？
(2)改为求“甲选隶书体、乙不选草书体”的概率呢？
(3)改为求“甲不选隶书体、乙选草书体”的概率呢？
解：记“甲选隶书体”为事件A，“乙选草书体”为事件B.
(1)“甲选隶书体、乙选草书体”为事件AB，
其概率P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)“甲选隶书体、乙不选草书体”为事件A，
其概率P(A)＝P(A)P()＝×＝.
(3)“甲不选隶书体、乙选草书体”为事件B，
其概率P(B)＝P()P(B)＝× ＝.
(1)解相互独立事件问题的步骤
(2)建立概率模型是解决实际问题的关键，审题时要首先确定问题中的简单事件，再对复杂事件分析转化．
|跟踪训练|
1．甲、乙两人参加某知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　)
A. B.
C. D.
2．(2021·新高考卷Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
参考答案
1解析：选D.两人中恰有一人获得一等奖的概率为×＋×＝.
2解析：选B.事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝＝，事件丁发生的概率P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．选B.
考点二　条件概率(综合研析)
复习指导：在具体情境中，了解条件概率的概率．
(多选)(2022·菏泽模拟)为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族伟大复兴的百年奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某地开展党史知识竞赛活动，以党支部为单位参加比赛，某党支部在5道党史题中(包含3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是(　　)
A．P(A)＝　　　　　　 B.P(AB)＝
C．P(B|A)＝ D.P(B|)＝
【解析】　方法一(公式法)：对于A，P(A)＝eq \f(C,C)＝，故A正确；对于B，P(AB)＝eq \f(CC,CC)＝，故B正确；对于C，由选项A，B及条件概率公式可得P(B|A)＝＝＝，故C正确；对于D，P()＝eq \f(C,C)＝，P(B)＝eq \f(CC,CC)＝，P(B|)＝＝＝，故D错误．
方法二(古典概型法)：对于A，由题意可知不放回地依次随机抽取2道题作答，样本空间有5×4＝20(个)等可能的样本点，n(A)＝3×4＝12，所以P(A)＝＝，故A正确；
对于B，n(AB)＝3×2＝6，所以P(AB)＝＝，故B正确；
对于C，P(B|A)＝＝＝，故C正确；
对于D，n ()＝2×4＝8，n(B)＝2×3＝6，P(B|)＝＝＝，故D错误．
【答案】　ABC
条件概率的两种求解方法
|跟踪训练|
1．(多选)已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列说法正确的是(　　)
A．P(B|A)＋P(|A)＝1
B．P(B|A)＋P(B|)＝1
C．若A，B独立，则P(A|B)＝P(A)
D．若A，B互斥，则P(B|A)＝P(A|B)
2．将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．
参考答案
1解析：选ACD.A中，P(B|A)＋P(|A)＝＝＝1，故A正确；B中，设A，B独立，则P(B|A)＋P(B|)＝2P(B)，而P(B)显然不一定为，故B错误；C中，A，B独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，则P(A|B)＝＝P(A)，故C正确；D中，A，B互斥，P(AB)＝0，则根据条件概率公式P(B|A)＝P(A|B)＝0，故D正确．故选ACD.
2解析：P(A|B)即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91(种)情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有C×5×4＝60(种)情况，所以P(A|B)＝.P(B|A)即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率，因为“三个点数都不同”有6×5×4＝120(种)情况，所以P(B|A)＝.
答案：　
考点三　全概率公式的应用(综合研析)
复习指导：理解全概率公式的意义，会利用全概率公式计算概率．
(2022·山东泰安模拟)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为________，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为________．
【解析】　设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05，由全概率公式可得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5，“取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率”就是计算在B发生的条件下，事件A3发生的概率，则P(A3|B)＝＝＝＝.
【答案】　0.052 5　
利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；
(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算．
|跟踪训练|
盒中有a个红球，b个黑球，随机地从中抽取一个，观察其颜色后放回，并加上其同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是(　　)
A.　　　 B.
C. D.
解析：选C.设A＝“第一次抽出的是黑球”，B＝“第二次抽出的是黑球”则B＝AB＋B，由全概率公式知P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．由题意得P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，所以P(B)＝＋＝.故选C.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑