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第九章 第6讲　离散型随机变量及其分布列
1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)
A．ξ＝4　　 B.ξ＝5　　
C.ξ＝6　　 D.ξ≤5
2．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA．(－∞，2] B.[1，2]
C．(1，2] D.(1，2)
3．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)
A. B.
C. D.
4．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P x y z
则P(X≥2)＝(　　)
A．0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.6
5．(多选)(2022·济宁一中检测)下列说法正确的是(　　)
A．设随机变量X等可能取1，2，3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，则n＝10
B．若随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝n)＝a(n＝0，1，2)，其中a是常数，则a＝
C．设离散型随机变量η服从两点分布，若P(η＝1)＝2P(η＝0)，则P(η＝0)＝
D．超几何分布的实质是古典概型问题
6．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
7．某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________．
8．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.求随机变量X的分布列．
9．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)
A．10% B.20%
C.30% D.40%
10．(多选)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　)
A．取出的最大号码X服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
11．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球，设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________．
12．澳大利亚曾发现一颗28.84克拉的钻石原石，如图(1)，这颗钻石拥有完整的正八面体晶体．如图(2)，设ξ为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝2.
(1)求ξ＝1的概率；
(2)求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
13.
如图所示，A，B两点共有5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内能通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________．
14．(2022·鹤壁市高二检测)为了解决某地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验. 求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
参考答案
1解析：选C.“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.
2解析：选C.由随机变量X的分布列知
P(X<－1)＝0.1，
P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，
则当P(X3解析：选C.所求概率为P＝eq \f(CC,C)＝.
4解析：选D.P(X≥2)＝x＋＋y＋z＝1－＝0.6.
5解析：选ACD.由题意知，对于A，P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，所以n＝10，故A正确；对于B，由P(ξ＝n)＝a(n＝0，1，2)，所以P(ξ＝0)＝a，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，所以a＋＋＝1，所以a＝，故B错误；对于C，因为P(η＝1)＝2P(η＝0)且P(η＝1)＋P(η＝0)＝1，所以P(η＝0)＝，故C正确；对于D，由超几何分布的定义可知，D正确．
6解析：X＝－1，甲抢到一题但答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对．
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．
答案：－1，0，1，2，3
7解析：由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.
答案：40%
8解：由题意知，x，y可能的取值为1，2，3，则|x－2|≤1，|y－x|≤2，所以X≤3，X的所有可能取值为0，1，2，3.
当X＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况；
当X＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况；
当X＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况；
当X＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况．所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
9解析：选B.设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝eq \f(C·C,C)＝＝，解得x＝2或x＝8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为×100%＝20%.
10解析：选BD.对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为试验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知取出的最大号码X不服从超几何分布，故A错误；对于B，取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确；对于C，取出2个白球的概率为P＝eq \f(CC,C)＝，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，即总得分最大的概率为P＝eq \f(C,C)＝，故D正确．故选BD.
11解析：由题意可知，
P(ξ＝2)＝eq \f(CCC＋CC,CC)＝.
答案：
12解：(1)若两条棱平行，则它们之间的距离为1，一共有6对平行的棱，所以P(ξ＝1)＝eq \f(6,C)＝＝.
(2)由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2.
若两条棱相交，则交点必为正八面体6个顶点中的1个，
又正八面体中过任意顶点有4条棱，所以共有6C对相交棱，所以P(ξ＝0)＝eq \f(6C,C)＝＝.
由(1)知，P(ξ＝1)＝，
所以P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－－＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
13解析：由题意知，ξ的可能取值为7，8，9，10，
P(ξ＝7)＝eq \f(CC,C)＝，P(ξ＝8)＝eq \f(CC＋CC,C)＝，
P(ξ＝9)＝eq \f(CCC,C)＝，P(ξ＝10)＝eq \f(CC,C)＝.
所以ξ的概率分布列为
ξ 7 8 9 10
P
所以P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝＋＋＝.
答案：
14解： 第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人．
理由如下：
设ω表示第一次抽取到的没有支教经验的教师人数，ω可能的取值有0，1，2，
则P(ω＝0)＝eq \f(C,C)＝，P(ω＝1)＝eq \f(CC,C)＝，P(ω＝2)＝eq \f(C,C)＝，
设ξ表示第二次抽取到的没有支教经验的教师人数，则ξ可能的取值为0，1，2，
且第二次抽到的没有支教经验的教师人数与第一次抽到的没有支教经验的教师人数有关，
P(ξ＝0)＝eq \f(C,C)·eq \f(C,C)＋eq \f(CC,C)·eq \f(C,C)＋eq \f(C,C)·eq \f(C,C)＝，
P(ξ＝1)＝eq \f(C,C)·eq \f(CC,C)＋eq \f(CC,C)·eq \f(CC,C)＋eq \f(C,C)·eq \f(CC,C)＝，P(ξ＝2)＝eq \f(C,C)·eq \f(C,C)＋eq \f(CC,C)·eq \f(C,C)＋eq \f(C,C)·0＝，因为P(ξ＝1)>P(ξ＝0)>P(ξ＝2)，所以第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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