资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第6讲　离散型随机变量及其分布列
考向预测 核心素养
离散型随机变量的概念及分布列是高考的热点，往往和生活中的实际问题相结合，以解答题为主，中高难度. 数据分析、数学抽象
一、知识梳理
1．离散型随机变量的分布列
(1)一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量．
(2)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(3)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；
②p1＋p2＋…＋pn＝1．
2．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中03．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(CC,C)，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
二、教材衍化
1．(多选)(人A选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ＝4”表示的试验结果是(　　)
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
2．(人A选择性必修第三册P59例1改编)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ表示一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝(　　)
A．0　　　 B.　　　
C.　　　 D.
3．(人A选择性必修第三册P79例6改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数X是一个随机变量，则P(X＝4)＝________．
参考答案
1答案：AB
2解析：选B.设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝，故P(ξ＝0)＝1－p＝.
3解析：{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝eq \f(CC,C)＝.
答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　　)
(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，
X 2 5
P 0.3 0.7
则它服从两点分布．(　　)
(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布．(　　)
二、易错纠偏
1．(随机变量的概念易错)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球 B.至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D.取到的球的个数
2．(超几何分布模型易错)下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
3．(分布列的性质使用不当致误)已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)×　(3) ×　(4) ×
二、易错纠偏
1解析：选C.选项A，B表述的都是随机事件，D项是确定的值2，并不随机；C项是随机变量，可能取值为0，1，2.故选C.
2解析：选B.由超几何分布的定义可知B正确．
3答案：
考点一　离散型随机变量的概念及分布列的性质(自主练透)
复习指导：在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念．
1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，记射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　)
A．第5次击中目标 B.第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标 D.第4次击中目标
2．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B.
C. D.
3．下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是(其中0A.
X 1 2 3
P p p－1 2－2p
B.
X 1 2 3
P
C.
X 1 2 3
P p p－p2 1－2p＋p2
D.
X 1 2 3
P p 1－p－
4．随机变量X的分布列如下
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
参考答案
1解析：选C.击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数ξ＝5，说明前4次均未击中目标．
2解析：选D.因为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，所以＋＋＋＝1，
解得a＝.
故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.故选D.
3解析：选C.选项A中p－1<0，选项B中概率之和为p，事实上p<1，选项D中>1，都不符合概率的意义．选项C中，04解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝，
所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，
根据分布列的性质，
得0≤－d≤，0≤＋d≤，
所以－≤d≤.
答案：　[－，]
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值．
(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．
考点二　求离散型随机变量的分布列(综合研析)
复习指导：会从实际情景中抽象随机变量，求离散型随机变量的分布列．
(2022·山东师大附中考前模拟)某电影公司随机收集了一些电影的有关数据，经分类整理得到下表．电影类型 第1类 第2类 第3类 第4类 第5类 第6类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
(好评率是指某类电影中获得好评的电影部数与该类电影的总部数的比值)假设所有电影是否获得好评相互独立．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第4类电影的概率；
(2)从第4类电影和第5类电影中各随机选取1部，求恰有1部获得好评的概率；
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1，2，3，4，5，6)，求随机变量ξ1的分布列．
【解】　(1)设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是获得好评的第4类电影”，总的电影部数为140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，第4类电影中获得好评的电影有200×0.25＝50(部)．所以P(A)＝＝0.025.
(2)设事件B表示“从第4类电影和第5类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第4类电影中获得好评的有50部，第5类电影中获得好评的有800×0.2＝160(部)，所以P(B)＝＝0.35.
(3)由题意知，ξk＝
则ξ1服从两点分布．
对于第1类电影，ξ1的分布列如下．
ξ1 0 1
P 0.6 0.4
离散型随机变量分布列的求解步骤
|跟踪训练|
(2022·岳阳市岳阳县高三适应性考试)某地有A，B，C，D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A，B和C感染的概率都是.用“X＝k” (k＝1、2、3)表示被A直接感染的人数，求随机变量X的分布列．
解：由题意分析得X可取的值为1、2、3，四个人的传染情形共有6种：A→B→C→D，
每种情况发生的可能性都相等，所以A传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况．
“X＝1”表示A传染B，没有传染给C，D；
“X＝2”表示A传染给B，C，没有传染给D，或A传染给B，D，没有传染给C；
“X＝3”表示A传染给B，C，D.
于是有P(X＝1)＝1××＝，
P(X＝2)＝1××＋1××＝，
P(X＝3)＝1××＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
考点三　超几何分布(思维发散)
复习指导：通过实例理解超几何分布的特征，并能进行简单的应用．
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
【解】　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝eq \f(C,C)＝.
(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝eq \f(C,C)＝，
P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq \f(CC,C)＝，
P(X＝4)＝eq \f(CC,C)＝.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
　
若用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列．
解：由题意可知X的取值为1，2，3，4，5，则
P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq \f(CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq \f(CC,C)＝，
P(X＝4)＝eq \f(CC,C)＝，
P(X＝5)＝eq \f(C,C)＝.
因此X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
超几何分布的判定、求解策略
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．
(2)超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．
(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型，计算分布列和期望时直接套用公式即可．
|跟踪训练|
(2020·肥城市高三适应性训练)某工厂生产的120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，按照分层随机抽样的方法从中抽取容量为10的一个样本，若从样本中随机抽取2个进行质检，记X为抽到的一级品的个数，则P(X＝2)＝________．
解析：由题意可得，一级品抽取了24×＝2(个)，则P(X＝2)＝eq \f(C,C)＝.
答案：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑