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第九章 第4讲　随机事件的概率、古典概型
1．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　)
A．恰有一次击中 B.三次都没击中
C．三次都击中 D.至多击中一次
2．(2020·高考全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3.
(2022·渭南市高三联考)五行学说是中华民族创造的哲学思想．古代先民认为，天下万物皆由五种元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在如图所示的相生相克关系．若从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，则这两种元素恰是相生关系的概率是(　　)
A. B.
C. D.
4.
(2022·贵州省重点中学高三联考)中国象棋是中国棋文化也是中华民族的文化瑰宝．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”“吃掉”“马”的最短路线中随机选择一条路线，则该路线能顺带“吃掉”“炮”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点
6．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中任意取出2粒都是黑子的概率为，从中任意取出2粒都是白子的概率为.那么，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
7.
(2022·惠州市高三调研)一张方桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，则C与D相邻的概率为________．
8．(2022·云南师大附中高三月考)2021年河北等八省举行首次“3＋1＋2”的新高考模式，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目，“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物4门中选考2门科目．则甲、'乙两名考生在选考科目“1”与选考科目“2”中各有一门科目相同的条件下两人均选化学的概率为________．
9．袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率为，则得到黑球的概率是________，得到黄球的概率是________．
10．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区 A B C
数量 50 150 100
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
11.
如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为(　　)
A. B.
C. D.
12．(多选)(2022·潍坊四中高三检测)已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则(　　)
A．从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为
B．从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为
C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为
D．从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为
13.
(2022·上海市进才中学高三月考)从如图11个点中任取三个点，则所取的三个点能构成三角形的概率为________．
14．(2022·泰安肥城三模)已知大于3的素数只分布在{6n－1}和{6n＋1}两数列中(其中n为非零自然数)．数列{6n－1}中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；数列{6n＋1}中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数．则从30以内的素数中任意取出两个，恰好是一个阴性素数、一个阳性素数的概率是________．
15.
算盘是中国传统的计算工具，其形为长方形，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，运算时定位后拨珠计算．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．如图，若拨珠的三档从左至右依次定位：百位档、十位档、个位档，则表示数字518.若在千、百、十、个位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字能被5整除的概率为________．
16．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
参考答案
1解析：选D.根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”．
2解析：
选A.如图，从O，A，B，C，D 5个点中任取3个有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)共10个样本点.3点共线有(O，A，C)与(O，B，D)共2个样本点，由古典概型的概率计算公式知，取到的3点共线的概率为＝.
3解析：选C.由题意，从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，有(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)，共10个样本点，其中两种元素恰是相生关系包含(金，水)，(木，火)，(土，金)，(水，木)(火，土)共5个样本点，所以所求概率P＝＝.
4解析：选C.由题意可知，“兵”“吃掉”“马”的最短路线中，横走三步，竖走两步，
相当于“横横横竖竖”五个汉字排成一列，有C＝10条路线．
其中能顺带“吃掉”“炮”的路线，分两步，第一步，“横横竖”三个汉字排成一列；
第二步，“横竖”两个汉字排成一列，共有C×C＝6条路线．
故所求概率为＝.
5解析：选BCD.对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确．对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取得《红楼梦》”，“丁取得《红楼梦》”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，B正确．对于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B包含于A，C正确．对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确．
6解析：设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即“从中任意取出2粒恰好是同一色”的概率为.
答案：
7解析：B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，共有A＝6种等可能情况，要使C与D不相邻，则B必坐在A的对面，此时C与D的坐法共有2种情况，所以根据古典概型求概率公式可知C与D相邻的概率为＝.
答案：
8解析：甲、乙两人选考科目相同的1科在物理或历史，另1科在“思想政治、地理、化学、生物4门”中，CCA＝48种方法，其中甲、乙两人均选化学的有CA＝12种方法，则甲、乙两名考生在选考科目“1”与选考科目“2”中各有一门科目相同的条件下两人均选化学的概率为P＝＝.
答案：
9解析：记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，事件A，B，C，D显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝①，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝②，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝③.
由事件A和事件B∪C∪D是对立事件可得
P(A)＝1－P(B∪C∪D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，
即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝④.
联立②③④可得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.
答案：　
10解：(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×＝1，150×＝3，100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.
(2)方法一：设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A，B1，B2，B3，C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有样本点为(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共15个．
每个样品被抽到的机会相等，因此这些样本点的出现是等可能的．记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4个．所以P(D)＝.
即这2件商品来自相同地区的概率为.
方法二：这2件商品来自相同地区的概率为eq \f(C＋C,C)＝.
11解析：选B.根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路线共有CC＝210(种)．因为不能连续向上，所以最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有CC＝60(种)，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P＝＝.故选B.
12解析：选ACD.对选项A，从甲袋中随机摸一个球是红球的概率为P＝，故A对；对选项B，从乙袋中随机摸一个球是黑球的概率为P＝＝，故B错；对选项C，从甲袋中随机摸2个球，则2个球都是红球的概率P＝eq \f(C,C)＝，故C对；对选项D，从甲、乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率P＝·＋·＝.
13解析：从11个点中任取三个点，有C种取法，
由题图得三个点在一条直线上的情况有7＋2C＝15，
所以所取的三个点能构成三角形的概率为eq \f(C－15,C)＝.
答案：
14解析：30以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，其中阴性素数有5，11，17，23，29，共5个，阳性素数有7，13，19，共3个．因此，所求概率为P＝eq \f(CC,C)＝.
答案：
15解析：所拨数字共有CC＝24种可能，若所拨数字能被5整除，则个位数字只能是5或0，当个位数字为5时，则个位档拨一颗上珠，其他三档选择两个档位各拨一颗下珠，有C＝3种；当个位数字为0时，则个位档不拨珠，其他三档选择一档位拨一颗上珠，再选择两个档位各拨一颗下珠，有CC＝9种，所以所拨数字能被5整除的概率为＝.
答案：
16解：(1)分别用2，3，4，4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况．
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到的牌的数字比3大的概率是.
(3)不公平．甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，因此甲胜的概率为，乙胜的概率为.
因为<，所以此游戏不公平．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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