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第九章 第3讲　二项式定理
1．(2022·广东省高三一轮复习)展开式中的常数项为(　　)
A．90　　　 B.20　　　
C.540　　　 D.600
2．已知＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a0＋a1＋a2＋…＋an＝16，则自然数n＝(　　)
A．6 B.5
C.4 D.3
3．已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中含x3的系数为－2，则a等于(　　)
A．2 B.2
C.－2 D.－1
4．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A．12 B.16
C.20 D.24
5．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　)
A．2n－1 B.2n－1
C.2n＋1－1 D.2n
6.的展开式中的常数项为(　　)
A．1 B.21
C.31 D.51
7．(多选)展开式中系数最大的项是(　　)
A．第2项 B.第3项
C．第4项 D.第5项
8．(多选)(2022·威海调研)若的展开式中x3的系数是－160，则(　　)
A．a＝－ B.所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为64 D.常数项为－320
9．(2022·辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为________．
10．S＝C＋C＋…＋C除以9的余数为________．
11．(2021·高考浙江卷)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________．
12．(2022·山东青岛三模)若(2－x)17＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a16(1＋x)16＋a17(1＋x)17，则
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a16＝________；
(2)a1＋2a2＋3a3＋…＋16a16＝________．
13．(多选)已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋＋＋…＋＝－128，则有(　　)
A．m＝2
B．a3＝－280
C．a0＝－1
D．－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14
14．(2022·武汉市高三调研测试)若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于(　　)
A．8 B.10
C.11 D.12
15．设a∈Z，且0≤a<13，若512 020＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B.1
C.11 D.12
参考答案
1解析：选C.由二项式的展开式的通项为Tr＋1＝C36－rx6－rx－r＝C36－rx6－2r.当r＝3时，可得T4＝C×33＝540，所以展开式中的常数项为540.故选C.
2解析：选C.因为(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝16，令x＝1，则(1＋1)n＝2n＝ a0＋a1＋a2＋…＋an＝16，所以n＝4，故选C.
3解析：选B.(1＋ax)3＋(1－x)5的展开式中x3的系数为Ca3＋C(－1)3＝a3－10＝－2，则a3＝8，解得a＝2.
4解析：选A.展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.
5解析：选C.令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
6解析：选D.因为＝
＝C(x＋1)5＋C(x＋1)4·＋C(x＋1)3·＋C(x＋1)2·＋C(x＋1)1·＋C.
所以展开式中的常数项为C·C·15＋C·C·13＋C·C·11＝51.故选D.
7解析：选BC.的展开式的通项为Tr＋1＝C()8－r·＝Cx4r，所以其展开式中各项的系数依次为1，4，7，7，，，，，，所以展开式中系数最大的项是第3项和第4项．故选BC.
8解析：选ABC.对选项A，的展开式中x3项为C(x2)3·，所以C·＝－160，解得a＝－，故A正确；由A知：＝，令x＝1，所有项系数之和为(1－2)6＝1，故B正确；对选项C，二项式系数之和为26＝64，故C正确；对选项D，的常数项为C(x2)2·＝24C＝240，故D错误．
9解析：的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(2x)n－r·，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，可得C∶C＝2∶5，解得n＝6，所以Tr＋1＝(－1)rC26－r·x6r，令6－r＝3，解得r＝2，所以x3的系数为C26－2(－1)2＝240.
答案：240
10解析：依题意S＝C＋C＋…＋C＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1＝9×(C×98－C×97＋…＋C)－2.因为C×98－C×97＋…＋C是正整数，所以S被9除的余数为7.
答案：7
11解析：(x－1)3展开式的通项Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k，则a1＝C＋C＝1＋4＝5；a2＝C(－1)1＋C＝3；a3＝C(－1)2＋C＝7；a4＝C(－1)3＋C＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
答案：5　10
12解析：令1＋x＝t，则已知条件为(3－t)17＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a17t17.(*)
(1)令t＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a17＝217，其中a17＝C(－1)17＝－1，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a16＝217＋1.
(2)在(*)两边求导可得－17(3－t)16＝a1＋2a2t＋…＋16a16t15＋17a17t16，令t＝1，可得－17×216＝a1＋2a2＋…＋16a16＋17a17，所以－17×216＝a1＋2a2＋…＋16a16－17，解得a1＋2a2＋3a3＋…＋16a16＝17－17×216.
答案：(1)217＋1　(2)17－17×216
13解析：选BCD.令1－x＝，即x＝，可得(2×－m)7＝(1－m)7＝a0＋＋＋…＋＝－128，解得m＝3，故A错误；令x＝1，得a0＝(－1)7＝－1，(2x－3)7＝[－1－2(1－x)]7，所以a3＝C×(－1)4×(－2)3＝－280，故B，C正确；(2x－3)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，等式两边求导得14(2x－3)6＝－a1－2a2(1－x)－…－7a7(1－x)6，令x＝2得－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14，故D正确．故选BCD.
14解析：选C.的展开式的通项Tr＋1＝C(x4)n－r＝(－1)rCx4nr，当4n－r＝0，即n＝r时展开式中含有常数项，所以n的最小值为11.
15解析：选D.512 020＋a＝(52－1)2 020＋a＝
C522 020－C522 019＋…＋C×52×(－1)2 019＋C×(－1)2 020＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2 020＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.
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