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第3讲　二项式定理
考向预测 核心素养
考查二项式定理的正用和逆用，二项式系数的性质与各项系数的和，尤其是二项展开式的通项公式的应用是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题. 数学运算
一、知识梳理
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项
二项式系数 C(k＝0，1，…，n)
2.二项式系数的性质
常用结论
二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第三册P31练习T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　)
A．C　　 B.－C　　
C.C　　 D.－C
2．(人A选择性必修第三册P34习题6.3T1(1))在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．74 B.121
C.－74 D.－121
3．(人A选择性必修第三册P38复习参考题6T3(5)改编)在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________．
4．(人A选择性必修第三册P30例2改编)二项式的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是________．
参考答案
1解析：选D.T6＝Cx5(－1)5，所以第6项的系数是－C.
2解析：选D.展开式中含x3的项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.
3解析：令x＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1.
答案：1
4答案：－56
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　　)
(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)
(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．(　　)
(4)在(a＋b)n展开式的通项Tr＋1＝Can－rbr中，a和b不能互换．(　　)
二、易错纠偏
1．(混淆二项式系数与系数致误)在的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．
2．(系数考虑不周致误)(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．
3．(公式配凑不当致误)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、易错纠偏
1解析：因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.
在中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.
答案：1
2解析：(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为－20x2＋5x2＝－15x2.故x2的系数为－15.
答案：－15
3解析：因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，所以其展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r210－r·C(1－x)r，令r＝8，得a8＝4C＝180.
答案：180
考点一　二项展开式的通项的应用(多维探究)
复习指导：理解二项式定理，会用二项展开式的通项解决一些和项有关的问题．
角度1　求二项展开式的特定项
(1)(链接常用结论)(2022·栖霞模拟)的展开式中的常数项为(　　)
A．－150　　 B.150　　
C.－240　　 D.240
(2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
【解析】　(1)的二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k·＝Cx6－k·(－2)k·x＝(－2)kCx6k.令6－k＝0，解得k＝4，故所求的常数项为T5＝(－2)4·C＝240.
(2)该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()9＝16；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.
【答案】　(1)D　(2)16　5
角度2　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5 B.10
C.15 D.20
(2)(2020·南昌模拟)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________．
【解析】　(1)因为(x＋y)5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝Cx5－ryr，所以(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15.故选C.
(2)(ax＋1)6的展开式中x2项的系数为Ca2，x项的系数为Ca，由(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－Ca2＋Ca＝0，因为a为正实数，所以15a＝6，所以a＝.
【答案】　(1)C　(2)
角度3　形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
(1)(x2－x＋1)10的展开式中x3项的系数为(　　)
A．－210 B.210
C.30 D.－30
(2)(2022·河南省重点中学三模)的展开式中x2y2项的系数是(　　)
A．420 B.－420
C.1 680 D.－1 680
【解析】　(1)(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，所以含x3项的系数为－CC＋C(－C)＝－210.
(2)表示8个因式的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取－，其余的4个因式都取1，可得x2y2项．故展开式中x2y2项的系数是C×22×C×C＝420，故选A.
【答案】　(1)A　(2)A
二项展开式通项的应用策略
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代入通项公式即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
|跟踪训练|
1．在(2x－1)6的展开式中，x3的系数是________．(用数字作答)
2.的展开式中所有的有理项为________．
3．(1＋2x－3x2)5展开式中x5的系数为________．
参考答案
1解析：由题意得，(2x－1)6的展开式中含x3的项为xC(2x)2(－1)4＋C(2x)4(－1)2＝－180x3，所以展开式中x3的系数为－180.
答案：－180
2解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝Ckx，由题意得∈Z，且0≤k≤10，k∈N.令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，因为k∈N，所以r应为偶数．所以r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，－，x－2.
答案：x2，－，x－2
3解析：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为CC35＋C(－1)C34＋C(－1)2C33＋C(－1)3C32＋C(－1)4C31＋C(－1)5C30＝92.
答案：92
考点二　各二项式系数和与各项系数和(综合研析)
复习指导：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，二项展开式的各项系数和常用赋值法解决．
(1)(2022·广州中学联考)已知二项式的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为________．
(2)(2022·宣城调研)若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为________．
【解析】　(1)因为二项式的展开式的二项式系数和为64，所以2n＝64，即n＝6，所以展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r·＝C26－r(－1)rx9r，r＝0，1，2，3，4，5，6.
所以展开式中有理项是r＝0或r＝6时对应的项，所以展开式中有理项系数和为C26(－1)0＋C20(－1)6＝65.
(2)令x＝0得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，
又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，
则a7(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7，解得a7＝－1.
故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.
【答案】　(1)65　(2)129
赋值法求系数和的应用技巧
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.令x＝0，可得a0＝f(0)．
|跟踪训练|
1．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为(　　)
A．15　　　 B.45　　　
C.135　　　 D.405
2．若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝(　　)
A．1 B.513
C.512 D.511
参考答案
1解析：选C.由题意知＝64，得n＝6，展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r＝3rCx6，令6－＝3，得r＝2，则x3的系数为32C＝135.故选C.
2解析：选D.令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，
得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.
考点三　二项展开式中的系数最值问题(综合研析)
复习指导：求解此类题的关键：一是方程引入，利用已知二项式系数的最大值，求出参数的值；二是公式应用，即利用二项展开式的通项公式，即可求出指定项或指定项的系数．
(1)二项式(x＋)n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　)
A．3　　 　 B.5　　 　
C.6　　 　 D.7
(2)(2022·佛山一模)已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．
【解析】　(1)由题意得n＝20，
所以的展开式的通项为
Tr＋1＝C·(x)20－r·
＝()20－r·C·x20，
要使x的指数是整数，需r是3的倍数，
所以r＝0，3，6，9，12，15，18，
所以x的指数是整数的项共有7项．
(2)由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)·(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C(2x)5·＝－8 064.设第k＋1项的系数的绝对值最大，则Tk＋1＝C·(2x)10－k·＝(－1)kC·210－k·x10－2k，令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·210－k≥C·210－k＋1，,C·210－k≥C·210－k－1，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C≥2C，,2C≥C，))
即解得≤k≤，
因为k∈Z，所以k＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝－C·27·x4＝－15 360x4.
故二项式系数最大的项为－8 064，系数的绝对值最大的项为－15 360x4.
【答案】　(1)D　(2)－8 064　－15 360x4
求解二项展开式中系数的最值策略
(1)求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．
(2)求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果．
|跟踪训练|
1．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项是(　　)
A．－7 B.7
C.－28 D.28
2．已知二项式n的展开式中所有项的系数和为512，函数f(r)＝C，r∈[0，n]且r∈N，则函数f(r)取最大值时r的取值为(　　)
A．4 B.5
C.4或5 D.6
参考答案
1解析：选B.因为只有第5项的二项式系数C最大，所以＝4，即n＝8.的展开式的通项公式为Tr＋1＝C＝eq \f(（－1）rC,28－r)x8r，令8－r＝0，解得r＝6，故常数项为T7＝eq \f(（－1）6C,22)＝7.故选B.
2解析：选C.因为二项式n的展开式中所有项的系数和为512，
令x＝1，得(3－1)n＝2n＝512 n＝9，
所以f(r)＝C，二项式展开式有10项，
则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大，
所以当r＝4或5时，f(r)最大．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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