资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第2讲　排列与组合
考向预测 核心素养
考查排列组合的简单应用，以实际问题为背景，多与概率结合考查. 数学建模、数学运算
一、知识梳理
1．排列与组合的概念
名称 定义
排列 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的顺序排成一列
组合 作为一组
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝eq \f(A,A)＝＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝C，C＋C＝C，C＝1，C＝1
常用结论
解决排列、组合问题的六种技巧
1．特殊元素优先安排．
2．排列、组合混合问题要先选后排．
3．相邻问题捆绑处理；不相邻问题插空处理．
4．定序问题倍缩法处理；分排问题直排处理．
5．构造模型．
6．正难则反，等价转化．
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第三册P27习题6.2T13(4)改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　)
A．18　　　 B.24　　　
C.30　　　 D.36
2．(人A选择性必修第三册P26习题6.2T9改编)A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有(　　)
A．24种 B.60种
C.90种 D.120种
3．(人A选择性必修第三册P26习题6.2T2(4))C·C＝________．
4．(人A选择性必修第三册P25练习T3改编)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
参考答案
1答案：C
2答案：B
3答案：
4解析：分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法．
所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)．
答案：30
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　　)
(3)若组合式C＝C，则有x＝m成立．(　　)
(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．(　　)
二、易错纠偏
1．(公式记忆或使用易错)若A＝6×5×4，则(　　)
A．n＝6，m＝4 B.n＝6，m＝3
C．n＝4，m＝6 D.n＝6，m＝6
2．(排列组合混合问题易错)从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1) ×　(2)×　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
1答案：B
2解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有CC种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有CC种方法．所以满足条件的不同取法有CC＋CC＝350(种)．
答案：350
考点一　排列问题(自主练透)
复习指导：理解排列的概念，解决一些简单的实际问题．
1．(链接常用结论1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)
A．192种　 B.216种　
C.240种　 D.288种
2．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有(　　)
A．250个 B.249个
C.48个 D.24个
3．(2022·浙江宁波模拟)将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是(　　)
A．28 B.24
C.18 D.16
参考答案
1解析：选B.第一类：甲在最左端，有A＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝96(种)排法．所以共有120＋96＝216(种)排法．
2解析：选C.①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个)．由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.
3解析：选C.由限制条件确定不同放法的分类有{1，2，6}(表示3个盒子放球的数量分别为1个，2个，6个)，{1，3，5}，{2，3，4}三种情况，每种情况又有A种不同的放法，所以不同的放法种数为3×A＝18.
对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
考点二　组合问题(自主练透)
复习指导：理解组合的概念，解决一些简单的实际问题．
1．(2020·新高考卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种　 B.90种　
C.60种　 D.30种
2．(2022·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
3．(2022·江苏扬州最后一卷)某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有1名女生的选法有________种．
4．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．则以这些点为顶点，可构成不同的三角形有________个．
参考答案
1解析：选C.首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有CCC＝60(种)．故选C.
2解析：甲、乙中裁一人的方案有CC种，甲、乙都不裁的方案有C种，故不同的裁员方案共有CC＋C＝182(种)．
答案：182
3解析：恰好有1名女生，即2名男生，1名女生．从3名男生中选出2名，有C种法选，从2名女生中选1名，有C种选法．由分步乘法计数原理得，选出的人员中恰好有1名女生的选法有CC＝6(种)．
答案：6
4解析：方法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．
第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48(个)不同的三角形；
第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112(个)不同的三角形；
第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56(个)不同的三角形．
由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．
方法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C＝220(种)取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4(种)．
故这12个点构成三角形的个数为C－C＝216.
答案：216
两类含有附加条件的组合问题的方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，可用间接法求解．
考点三　排列组合的综合问题(多维探究)
复习指导：先选后排法是解答排列组合应用问题的根本方法，需三步完成．
第一步：选元素，即选出符合条件的元素；
第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；
第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算总数．
角度1　相邻相间问题
(链接常用结论3)(1)北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有(　　)
A．12种　　 B.24种　　
C.48种　　 D.96种
(2)(2022·江西临川一中三模)2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有(　　)
A．120种 B.156种
C.188种 D.240种
【解析】　(1)从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有CA＝6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作B，2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以共有12×4＝48(种)不同排法．
(2)不考虑京剧的位置，越剧、粤剧排在一起的排列有A种，把越剧与粤剧看成一个整体“捆绑”起来，与剩余的4个剧种排列，有A种，共有AA种．根据对称性知，京剧排在前三与后三的情况是一样的，所以满足条件的演出顺序有eq \f(AA,2)＝120(种)．
【答案】　(1)C　(2)A
常用的两种求解排列组合问题的两种方法
(1)相邻问题采用“捆绑法”；
(2)不相邻问题采用“插空法”．
角度2　定序问题
(链接常用结论4)某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
【解析】　方法一：添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这七个节目的不同安排方法共有A种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有A种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有eq \f(A,A)＝720(种)．
方法二：将10个节目看作10个元素排列位置．在10个位置中选7个按一定顺序排列，有C种排法，其余3个位置进行全排列，有A种排法，所以共有CA＝720(种)．
【答案】　720
解定序排列问题的方法
定序问题，消序处理，即先不考虑限制，整体进行排列后，再除以定序元素的全排列．
对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种数eq \f(A,A)＝A.
角度3　分组分配问题
(1)(2022·四川名校5月联考)某学校开展“学雷锋践初心，向建党百年献礼”志愿活动．现有6名男同学和4名女同学，分配到4个“学雷锋志愿服务站”参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名，则不同的分配方案种数为(　　)
A．65 B.1 560
C.25 920 D.37 440
(2)假如北京大学给某市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为(　　)
A．30 B.21
C.10 D.15
【解析】　(1)由题意得分配方案可分为两类：
第一类，1组3个男生，其余3组每组1个男生，
不同的分配方案有eq \f(CCCC,A)×A×A＝11 520(种)；
第二类，有2组每组2个男生，其余2组每组1个男生，不同的分配方案有eq \f(CCCC,AA)×A×A＝25 920(种)．
所以不同的分配方案共有11 520＋25 920＝37 440(种)．故选D.
(2)用“隔板法”，在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，
有C＝15种分配方法．故选D.
【答案】　(1)D　(2)D
分组、分配问题的求解策略
(1)对不同元素的分配问题
①对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数；
②对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数；
③对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
|跟踪训练|
1．(2021·全国高考卷乙)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A．60种 B.120种
C.240种 D.480种
2．某城市新修建的一条道路上有11盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有(　　)
A．C B.C
C．C D.以上答案都不对
3．把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
4．有编号为1，2，3，4，5，6的六辆货车排队出发，要求1号车必须在3号车前出发，共有________种出发顺序．
参考答案
1解析：选C.根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法．故满足题意的分配方案共有C·A＝240(种)．
2解析：选C.根据题意，使用插空法分析：原来有11盏路灯，熄灭其中的4盏灯，还有7盏是亮着的，先将亮的7盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，则有6个符合条件的空位，进而在6个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，有C种方法，故选C.
3解析：将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法．于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种)．
答案：36
4解析：编号为1，2，3，4，5，6的六辆货车排队出发，共有A种出发顺序，要求1号车必须在3号车前出发，所以有eq \f(A,A)＝360种出发顺序．
答案：360
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑