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第九章 第8讲　二项分布与正态分布
1．(2022·昆明诊断)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
2．(2021·新高考卷Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　)
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等
3．(2022·辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)一个袋中有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则(　　)
A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
4．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝(　　)
A．0.6 B.0.4
C.0.3 D.0.2
5．(多选)某市组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝·e－ (x∈R)，则下列命题中正确的是(　　)
A．该市这次考试中数学的平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
6．(2022·江苏省联考)若随机变量X～B，且E(X)∈N*，写出一个符合条件的n＝________．
7．(2022·广东揭阳摸底)抛出4颗骰子(每颗骰子的六个面分别有1～6共六个不同的点数)，恰有3颗向上的点数不小于5的概率为________．
8．一试验田某种作物一株生长的果实个数X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量Y，且Y服从二项分布，则Y的方差为________．
9．(2020·高考北京卷节选)某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率．
10．(2022·湖北省鄂东南省级示范高中联考)小C和小D两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有6个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有1个红球，2个黄球，3个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为2个，小C同学在甲盒子中取球，小D同学在乙盒子中取球．
(1)若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；
(2)若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次．记球颜色相同的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
11.
如图，在网格状小地图中，一机器人从A(0，0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是，向右的概率是，则6秒后到达B(4，2)点的概率为(　　)
A. B.
C. D.
12．在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第(　　)
A．1 500名 B.1 700名
C．4 500名 D.8 000名
13．(2022·江西模拟)甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为(　　)
A. B.
C. D.
14．(2022·广东省湛江市高三测试)某学校有100人参加暑期社会实践，实践结束时的综合能力测试成绩X近似服从正态分布N(110，σ2)，若P(100≤X≤110)＝0.35，则综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为________．
15．某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒，此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是(　　)
A．肖恩 B.尤瑟纳尔
C．酒吧伙计 D.酒吧老板
16．袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球．
(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X，求X的分布列及E(X)；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列及E(Y)．
参考答案
1解析：选D.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝，所以3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C·＝.
2解析：选D.对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误．故选D.
3解析：选B.ξ1的可能取值为0，1，2，ξ1～B，E(ξ1)＝2×＝，D(ξ1)＝2××＝；
ξ2的可能取值为0，1，P(ξ2＝0)＝×＝，P(ξ2＝1)＝×＋×＝，所以E(ξ2)＝0×＋1×＝，D(ξ2)＝×＋×＝.
所以E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)．故选B.
4解析：选A.由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.
又正态曲线关于x＝2对称，则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.
5解析：选ACD.由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数为100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．
6解析：因为随机变量X～B，所以E(X)＝n∈N*，
所以一个符合条件的n＝3(答案不唯一)．
答案：3(答案不唯一)
7解析：每颗骰子向上的点数不小于5的概率为＝，
设抛出的4颗骰子中，向上的点数不小于5的颗数为X，则X～B，则恰有3颗向上的点数不小于5的概率为C＝.
答案：
8解析：因为X～N(90，σ2)，且P(X＜70)＝0.2，
所以P(X＞110)＝0.2，
所以P(90≤X≤110)＝0.5－0.2＝0.3，
所以Y～B(10，0.3)，
Y的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.
答案：2.1
9解：(1)该校男生支持方案一的概率为＝，
该校女生支持方案一的概率为＝.
(2)3人中恰有2人支持方案一分两种情况，①仅有两个男生支持方案一，②仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一．
所以3人中恰有2人支持方案一概率为C×＋C×××＝.
10解：(1)×＋×＋×＝.
(2)由题意可知X～B，X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝×＝；P(X＝1)＝C×＝；
P(X＝2)＝C×＝；P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝1.
11解析：选D.根据题意可知，机器人每秒运动一次，
则6秒共运动6次，
若其从A(0，0)点出发，6秒后到达B(4，2)，
则需要向右走4步，向上走2步，
故其6秒后到达B的概率为C·＝＝.
12解析：选A.由题意得μ＝98，σ＝10，则P(X>108)＝[1－P(88≤X≤108)]＝[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(1－0.682 7)＝0.158 65，而0.158 65×9 455≈1 500，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1 500名．故选A.
13解析：选C.在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局分两种情况：
①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为P1＝×××＝；
②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为P2＝×××＝，
所以所求事件的概率为P1＋P2＝.
14解析：因为X近似服从正态分布N(110，σ2)，P(100≤X≤110)＝0.35，
所以P(110≤X≤120)＝P(100≤X≤110)＝0.35，
由正态分布的对称性可知：
P(X>120)＝0.5－P(110≤X≤120)＝0.5－0.35＝0.15，
所以综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为0.15×100＝15.
答案：15
15解析：选B.由题意，肖恩每局获胜的概率为＝，尤瑟纳尔每局获胜的概率为＝，先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，于是得：
P(X＝4)＝C()4＋C()4＝，P(X＝5)＝C()4×＋C()4×＝，
P(X＝6)＝C()4×()2＋C()4×()2＝，P(X＝7)＝C()3×()3＝，
显然有<<<，即P(X＝4)所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔．
故选B.
16解：(1)由题意，X的可能取值为0，1，2，
其中每次抽取到黑球的概率均为，
所以2次取球可以看成2次的独立重复试验，则X～B(2，)，
可得P(X＝0)＝C×＝，P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C×＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝2×＝(或E(X)＝0×＋1×＋2×＝)．
(2)由题意知Y的可能取值为0，1，2，
可得P(Y＝0)＝eq \f(C,C)＝，
P(Y＝1)＝eq \f(CC,C)＝，
P(Y＝2)＝eq \f(C,C)＝，
所以随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2
P
E(Y)＝2×＝(或E(Y)＝0×＋1×＋2×＝．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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