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第8讲　二项分布与正态分布
考向预测 核心素养
二项分布与正态分布是高考的热点，三种题型均有可能出现，中高难度. 数据分析、数学建模
一、知识梳理
1．伯努利试验与二项分布
(1)伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布 ，记作X～B(n，p)．
[提醒]　(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
(2)超几何分布与二项分布的关系
若将超几何分布的概率模型改成：若有N件产品，其中M件是次品，有放回地任意抽取n件，则其中恰有的次品件数X是服从二项分布的．
(3)二项分布的均值、方差
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．正态分布
(1)定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处达到峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(3)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第三册P77 练习T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　　)
A．0.33　　 B.0.66　　
C.0.5　　 D.0.45
2．(人A选择性必修第三册P87习题7.5T1改编)某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X～N(80，25)，如果规定大于85分为A等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是________．
3．(人A选择性必修第三册P71习题7.3T4改编)在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为________．　
4．(人A选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X参考答案
1解析：选A.设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X，则X～B(5，0.9)，
所以P(X＝4)＝C×0.94×0.1≈0.33.
2解析：P(X>85)＝[1－P(75≤X≤85)]＝＝0.158 65.
答案：0.158 65
3解析：由题意知Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～B，则E(Y)＝3×＝2.
答案：2
4解析：因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(　　)
(2)设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝.(　　)
(3)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0≤X≤2)＝0.4．(　　)
(4)正态曲线关于y轴对称．(　　)
二、易错纠偏
1．(二项分布建模易错)在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则(　　)
A．X～B(100，0.05) B.X～B(10，0.05)
C．X～B(100，0.95) D.X～B(10，0.95)
2．(正态曲线特征易错)已知三个随机变量的正态密度函数fi(x)＝(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则(　　)
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3
D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
3．(正态分布的概率易错)设随机变量X～N(2，σ2)，P(0参考答案
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
二、易错纠偏
1解析：选B.有放回抽取，每次取到次品的概率都是0.05，相当于10重伯努利试验，所以X～B(10，0.05)．
2解析：选D.因为正态密度函数f2(x)和f3(x)的图象关于同一条直线对称，所以μ2＝μ3.又f2(x)的图象的对称轴在f1(x)的图象的对称轴的右边，所以μ1<μ2＝μ3.因为σ越大，曲线越“矮胖”．σ越小，曲线越“瘦高”，由图象，可知正态密度函数f1(x)和f2(x)的图象一样“瘦高”，f3(x)的图象明显“矮胖”，所以σ1＝σ2<σ3.故选D.
3解析：P(X<0)＝P(X<2)－P(0≤X<2)
＝0.5－0.15＝0.35.
答案：0.35
考点一　二项分布(多维探究)
复习指导：理解n重伯努利试验模型，会用二项分布解决一些概率问题．
角度1　n重伯努利试验
(1)(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是(　　)
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
(2)某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型(如图)，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，其中2个成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上(即牛的图案在最上面)，2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
【解析】　(1)A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是独立重复试验；B是相互独立事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环” 的概率不一定相同，因此不是独立重复试验；D中在相同的条件下，甲射击10次，是独立重复试验．故选ABC.
(2)因为1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是，所以2人各抛一次，恰好出现一次牛的图案朝上的概率为P＝C××＝，故选C.
【答案】　(1)ABC　(2)C
角度2　二项分布
新高考改革中，明确高考考试科目由语文、数学、英语3科，及考生在政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择的3科组成，不分文理科．假设6个自主选择的科目中每科被选择的可能性相等，每位学生选择每个科目互不影响，甲、乙、丙为某中学高一年级的3名学生．
(1)求这3名学生都选择物理的概率；
(2)设X为这3名学生中选择物理的人数，求X的分布列，并求E(X)．
【解】　(1)设“这3名学生都选择物理”为事件A，
依题意得每位学生选择物理的概率都为，
故P(A)＝＝，
即这3名学生都选择物理的概率为.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3，
由题意知X～B，
P(X＝0)＝C＝，
P(X＝1)＝C＝，
P(X＝2)＝C＝，
P(X＝3)＝C＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝.
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
[提醒]　在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
|跟踪训练|
(2022·四川自贡三诊)在一次产品质量抽查中发现，某箱5件产品中有2件次品．
(1)从该箱产品依次不放回地随机抽取2件产品，求抽到次品的概率；
(2)若进行3次(1)中的独立重复试验，设抽到的2件产品中含次品的次数为X，求X的分布列和期望．
解：(1)记“从该箱产品中依次不放回地随机抽取2件产品，抽到次品”为事件A，则P(A)＝eq \f(A－A,A)＝0.7.
(2)由题意得X服从二项分布，即X～B(3，0.7)．则P(X＝k)＝C0.7k0.33－k(k＝0，1，2，3)，
则X的分布列为．
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×0.7＝2.1.
考点二　正态分布(多维探究)
复习指导：认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
角度1　正态密度函数及正态曲线
(1)设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，
且f(x)＝e－，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　)
A．10与8　 B.10与2　
C.8与10　 D.2与10
(2)(多选)某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是(　　)
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙总体的平均数相同
【解析】　(1)由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.故选B.
(2)不妨设成绩ξ服从正态分布N(μ，σ2)，由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，x＝μ为正态曲线的对称轴，且μ为平均数，由题干所给图象可知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大， 甲、乙、丙总体的平均数相同，故AD正确．
【答案】　(1)B　(2)AD
角度2　正态分布的概率
(1)(2022·福建宁德高三月考)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2A．0.682 6 B.0.341 3
C．0.460 3 D.0.920 7
(2)某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X(单位：辆)均服从正态分布N(600，σ2)．若P(500≤X≤700)＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　(1)因为随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，所以P(X≤2)＝0.158 7，所以P(2(2)根据正态曲线的对称性，每个收费口每天通过的小汽车数超过700辆的概率P(X>700)＝[1－P(500≤X≤700)]＝×(1－0.6)＝，所以这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率P＝1－(1－)3＝，故选C.
【答案】　(1)A　(2)C
角度3　3σ原则
(1)(2022·南京市人民中学月考)某地用随机抽样的方式检查了10 000名成年男子的红细胞数(1012/L)，发现成年男子红细胞数服从正态分布，其中均值为4.78(1012/L)，标准差为0.38(1012/L)，则样本中红细胞数低于4.02(1012/L)的成年男子人数大约为(　　)
(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A．228 B.456
C.1 587 D.4 772
(2)某厂生产的零件外径尺寸为X(单位：cm)且X～N(10，0.04)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为10.5 cm，9.3 cm，则可认为(　　)
A．上午生产情况正常，下午生产情况异常
B．上午生产情况异常，下午生产情况正常
C．上、下午生产情况均正常
D．上、下午生产情况均异常
【解析】　(1)依题意得，μ＝4.78，σ＝0.38，根据附录数据，P(4.02≤X≤5.54)≈0.954 5，
由正态曲线得对称性，P(X<4.02)＝≈，于是样本中红细胞数低于4.02(1012/L)的成年男子人数大约为10 000·≈228.故选A.
(2)因为零件外径尺寸X～N(10，0.04)，μ＝10，σ＝0.2，所以根据3σ原则，外径在10－3×0.2＝9.4(cm)与10＋3×0.2＝10.6(cm)之外时为异常．
从上、下午生产的零件中各随机取一个，测得其外径分别为10.5 cm和9.3 cm，所以可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常．故选A.
【答案】　(1)A　(2)A
服从N(μ，σ2)的随机变量X在某个区
间内取值的概率的求法
(1)利用P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值直接求．
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解．
|跟踪训练|
1．(2022·河南省部分名校高三阶段性测试)已知随机变量X，Y，Z满足X～N(3，σ2)，Y～N(1，σ2)，Z＝Y－1，且P(X>4)＝0.1，则P(Z2<1)的值为(　　)
A．0.1 B.0.2
C.0.8 D.0.9
2．(2022·河南省高二期末测试)某袋装加碘食盐的质量X(单位：克)服从正态分布N(500，4)，某超市在进货前要在厂家随机抽检这种食盐100袋，则质量在[498，504]内的袋数约为(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A．82 B.80
C.84 D.86
参考答案
1解析：选C.由题意得随机变量X和Y所对的正态密度曲线的形状相同，它们的对称轴分别为x＝3和x＝1，因此，P(Y>2)＝P(X>4)＝0.1，而Z＝Y－1，则P(Z>1)＝P(Y－1>1)＝P(Y>2)＝0.1，于是得P(Z2<1)＝P(－12解析：选A.因为X～N(500，4)，则有μ＝500，σ＝2，498＝μ－σ，504＝μ＋2σ，于是得质量X在[498，504]内的概率为P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈＝0.818 6，则有0.818 6×100＝81.86≈82，所以质量在[498，504]内的袋数约为82.故选A.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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