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数学期望与决策问题
应用一　利用数学期望选择最优方案
(2022·深圳市九校联考)某工厂欲购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取工厂80元，对于提供的软件服务每次10元；
方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．
(1)设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；
(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．
【解】　(1)由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为y＝10x＋80，x∈N.
方案二中的日收费y与x的函数关系式为y＝
(2)设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为
X 210 220 230 240 250
P 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2
所以E(X)＝210×0.1＋220×0.4＋230×0.1＋240×0.2＋250×0.2＝230(元)．
设方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为
Y 200 220 240
P 0.6 0.2 0.2
E(Y)＝200×0.6＋220×0.2＋240×0.2＝212(元)．因为230>212，所以从节约成本的角度考虑，选择方案二．
对一些已知多种方案的实际决策问题，可以求出各种方案对应的随机变量的数学期望，比较大小，进行决策．
应用二　利用数学期望解决开放性问题
(2022·北京市第二十中学考前预测)单板滑雪U型场地技巧赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在某赛季单板滑雪U型场地技巧比赛中的成绩(单位：分)，如下表：
分站 甲的三次滑行成绩 乙的三次滑行成绩
第1次 第2次 第3次 第1次 第2次 第3次
第1站 80.20 86.20 84.03 80.11 88.40 0
第2站 92.80 82.13 86.31 79.32 81.22 88.60
第3站 79.10 0 87.50 89.10 75.36 87.10
第4站 84.02 89.50 86.71 75.13 88.20 81.01
第5站 80.02 79.36 86.00 85.40 87.04 87.70
假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立．
(1)从上表5站中随机选取1站，求在该站甲的成绩高于乙的成绩的概率；
(2)从上表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；
(3)假如从甲、乙二人中推荐一人参加冬奥会单板滑雪U型场地技巧赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加？并说明理由．
【解】　(1)设“该站甲的成绩高于乙的成绩”为事件A.
甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为86.20，92.80，87.50，89.50，86.00；
乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为88.40，88.60，89.10，88.20，87.70.
其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩，所以P(A)＝.
(2)结合(1)知X的所有可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝eq \f(C,C)＝，P(X＝1)＝eq \f(CC,C)＝＝，P(X＝2)＝eq \f(C,C)＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)答案言之有理即可，示例如下．
答案一：推荐乙．理由如下．
用频率估计概率，从5站的成绩可以看出，任意1站甲的成绩高于乙的成绩的概率为，乙的成绩高于甲的成绩的概率为.
因为>，所以乙的成绩高于甲的成绩的可能性大，所以推荐乙参加．
答案二：推荐乙．理由如下：
用“ξ＝1”表示任意1站甲的成绩高于乙的成绩，用“ξ＝0”表示任意1站甲的成绩低于乙的成绩，
则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝0)＝，
E(ξ)＝1× ＋0×＝，D(ξ)＝×＋×＝.
用“η＝1”表示任意1站乙的成绩高于甲的成绩，用“η＝0”表示任意1站乙的成绩低于甲的成绩，
则P(η＝1)＝，P(η＝0)＝，
E(η)＝1×＋0×＝，D(η)＝×＋×＝.
因为E(ξ)答案三：推荐乙．理由如下．
甲5站的平均成绩为甲＝×(86.20＋92.80＋87.50＋89.50＋86.00)＝88.40；
乙5站的平均成绩为乙＝×(88.40＋88.60＋89.10＋88.20＋87.70)＝88.40.
甲5站成绩的方差为s＝×[(86.20－88.40)2＋(92.80－88.40)2＋(87.50－88.40)2＋(89.50－88.40)2＋(86.00－88.40)2]＝6.396，
乙5站成绩的方差为s＝×[(88.40－88.40)2＋(88.60－88.40)2＋(89.10－88.40)2＋(88.20－88.40)2＋(87.70－88.40)2]＝0.212.
甲＝乙，说明甲、乙二人水平相当，s>s，表明乙的发挥比甲的更稳定，所以预测乙的成绩会更好，所以推荐乙参加．
答案四：推荐甲．理由如下．
甲5站的平均成绩为甲＝88.40，
乙5站的平均成绩为乙＝88.40，
甲、乙5站的平均成绩虽然相同，但是甲成绩的最大值为92.80，乙成绩的最大值为89.10，
甲成绩的最大值高于乙成绩的最大值，所以甲的成绩会比乙的更好，所以推荐甲参加．
(1)利用概率统计知识进行决策，从不同的角度出发按照不同的要求可以作出不同的决策，可能出现结论不同的答案，这是允许的，只要给出合理的理由即可；
(2)作出决策的几种出发点：
①某种情况下的期望值较好；②某种情况较稳定；③某种情况优于其他情况的概率较大．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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