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第九章 第7讲　离散型随机变量的数字特征
1．(2022·福州模拟)若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X 0 1
P
则X的均值E(X)等于(　　)
A．2　　 B.2或　　
C.　　 D.1
2．随机变量X的分布列如表所示，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝(　　)
X 0 2 a
P p
A.2 B.3
C.4 D.5
3．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于(　　)
A．m B.2m(1－m)
C．m(m－1) D.m(1－m)
4．(2022·福州模拟)口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　)
A. B.
C.2 D.
5．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的均值是(　　)
A. B.
C. D.
6．(2020·高考全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
7．某日A，B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝________．
8．在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E(ξ)＝________，方差D(ξ)的最大值为________．
9．已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
(1)求E(X)；
(2)若Y＝2X－3，求E(Y)．
10．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：
日需求量x(个) 20 30 40 50
天数 5 10 10 5
(1)从这30天中任取2天，求2天的日需求量均为40个的概率；
(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝.现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．
11．设0X 0 a 1
P
则当a在(0，1)内增大时，(　　)
A．D(X)增大 B.D(X)减小
C．D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大
12．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．
13．(多选)甲盒中装有3个红球、1个黄球，乙盒中装有1个红球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出i(i＝1，2，3)个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中红球个数的数学期望为Ei(X)，Ei(Y)，则下列结论正确的是(　　)
A．E1(X)>E1(Y) B.E2(X)＝E2(Y)
C．E1(X)＋E1(Y)＝4 D.E2(X)14．(2021·新高考卷Ⅱ)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．
(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)＞1时，p＜1；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
参考答案
1解析：选C.由题意知，
解得a＝1，所以E(X)＝0×＋1×＝.故选C.
2解析：选C.因为＋p＋＝1，所以p＝，
所以E(X)＝0×＋2×＋a×＝1＋，
所以1＋＝2，即a＝3，
D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1.
所以D(2X－3)＝4D(X)＝4，故选C.
3解析：选D.随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1
P 1－m m
所以E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.
所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
4解析：选D.由题意可知取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝eq \f(1,C)＝，P(X＝3)＝eq \f(C,C)＝，所以E(X)＝2×＋3×＝.
5解析：选B.试验次数ξ的可能取值为ξ＝1，2，3，
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
6解析：选B.对于A，当p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4时，随机变量X1的分布列为
X1 1 2 3 4
P 0.1 0.4 0.4 0.1
E(X1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D(X1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65，所以＝.
对于B，当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，随机变量X2的分布列为
X2 1 2 3 4
P 0.4 0.1 0.1 0.4
E(X2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D(X2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85，
所以＝.
对于C，当p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3时，随机变量X3的分布列为
X3 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.3 0.2
E(X3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D(X3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05，
所以＝.
对于D，当p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2时，随机变量X4的分布列为
X4 1 2 3 4
P 0.3 0.2 0.2 0.3
E(X4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D(X4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45，
所以＝.所以B中的标准差最大．
7解析：设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)，则P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
答案：0.4
8解析：记事件A发生的次数ξ可能的值为0，1，则ξ的分布列为
ξ 0 1
P 1－p p
数学期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1·p＝p，
方差D(ξ)＝(0－p)2·(1－p)＋(1－p)2·p＝p(1－p)≤(当且仅当p＝时等号成立)．
故数学期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为.
答案：p　
9解：(1)由随机变量分布列的性质，得
＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(2)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得
E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.
方法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：
Y －7 －5 －3 －1 1
P
所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
10解：(1)从这30天中任取2天，样本点总数n＝C，
2天的日需求量均为40个包含的样本点个数m＝C，
所以2天的日需求量均为40个的概率P＝eq \f(C,C)＝.
(2)设该糕点房制作45个蛋糕时对应的利润为Y，
P(Y＝－20)＝，P(Y＝60)＝，P(Y＝140)＝，P(Y＝180)＝，
所以Y的分布列为
Y －20 60 140 180
P
E(Y)＝－20×＋60×＋140×＋180×＝.
因为该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值E(X)＝，<，
所以此建议不该被采纳．
11解析：选D.随机变量X的期望E(X)＝0×＋a·＋1×＝，D(X)＝×＋×＋×＝(a2－a＋1)＝＋，
当a∈时，D(X)单调递减，当x∈时，D(X)单调递增，故选D.
12解：(1)设部件1需要调整为事件A，部件2需要调整为事件B，部件3需要调整为事件C，
由题意可知，P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3.
部件1，2中至少有1个需要调整的概率为
1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.9×0.8＝0.28.
(2)由题意可知X的取值为0，1，2，3.
且P(X＝0)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504，
P(X＝1)＝P(A)[1－P(B)][1－P(C)]＋[1－P(A)]·P(B)[1－P(C)]＋[1－P(A)][1－P(B)]P(C)
＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3
＝0.398，
P(X＝2)＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋P(A)[1－P(B)]·P(C)＋[1－P(A)]P(B)P(C)
＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3
＝0.092.
P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.504 0.398 0.092 0.006
其数学期望E(X)＝0.504×0＋0.398×1＋0.092×2＋0.006×3＝0.6.
13解析：选ABC.X表示交换后甲盒子中的红球数，Y表示交换后乙盒子中的红球数，
当i＝1时，则P(X＝2)＝P(Y＝2)＝eq \f(CC,CC)＝，
P(X＝4)＝P(Y＝0)＝eq \f(CC,CC)＝，
P(X＝3)＝P(Y＝1)＝eq \f(CC,CC)×2＝，
所以E1(X)＝2×＋3×＋4×＝，
E1(Y)＝2×＋0×＋1×＝，故A正确，C正确；
当i＝2时，P(X＝1)＝P(Y＝3)＝eq \f(CC,CC)＝，
P(X＝2)＝P(Y＝2)＝eq \f(CC,C)×eq \f(C,C)×2＝，
P(X＝3)＝P(Y＝1)＝eq \f(CC,C)×eq \f(CC,C)＝，
所以E2(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
E2(Y)＝3×＋2×＋1×＝2，故B正确；
当i＝3时，P(X＝0)＝P(Y＝4)＝eq \f(CC,CC)＝，
P(X＝1)＝P(Y＝3)＝eq \f(C,C)×eq \f(CC,C)×2＝，
P(X＝2)＝P(Y＝2)＝eq \f(CC,C)×eq \f(CC,C)＝，
所以E3(X)＝0×＋1×＋2×＝，
所以E2(X)>E3(X)，故D错误．故选ABC.
14解：(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
(2)设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0，
因为p3＋p2＋p1＋p0＝1，故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0，
若E(X)≤1，则p1＋2p2＋3p3≤1，故p2＋2p3≤p0.
f′(x)＝3p3x2＋2p2x－(p2＋p0＋p3)，
因为f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)＜0，f′(1)＝p2＋2p3－p0≤0，
故f′(x)有两个不同零点x1，x2，且x1＜0＜1≤x2，
且x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)＞0；x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0；
故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上为增函数，在(x1，x2)上为减函数，
若x2＝1，因为f(x)在(x2，＋∞)为增函数且f(1)＝0，
而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(x1，x2)上为减函数，故f(x)＞f(x2)＝f(1)＝0，
故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，
若x2＞1，因为f(1)＝0且在(0，x2)上为减函数，故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，
综上，若E(X)≤1，则p＝1.
若E(X)＞1，则p1＋2p2＋3p3＞1，故p2＋2p3＞p0.
此时f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)＜0，f′(1)＝p2＋2p3－p0＞0，
故f′(x)有两个不同零点x3，x4，且x3＜0＜x4＜1，
且x∈(－∞，x3)∪(x4，＋∞)时，f′(x)＞0；x∈(x3，x4)时，f′(x)＜0；
故f(x)在(－∞，x3)，(x4，＋∞)上为增函数，在(x3，x4)上为减函数，
而f(1)＝0，故f(x4)＜0，
又f(0)＝p0＞0，故f(x)在(0，x4)存在一个零点p，且p＜1.
所以p为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，此时p＜1，
故当E(X)＞1时，p＜1.
(3)意义：若每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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