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第7讲　离散型随机变量的数字特征
考向预测 核心素养
离散型随机变量的均值和方差是高考的热点，一般以解答题形式出现，中高难度. 数据分析、数学抽象
一、知识梳理
1．离散型随机变量的均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示．
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．
(2)均值的性质
设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.
①E(X＋b)＝E(X)＋b．
②E(aX)＝aE(X)．
③E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
2．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义
①D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝
（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
②公式：D(X)＝xpi－(E(X))2.
(2)两个特殊分布的均值与方差
分布 期望 方差
两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)
超几何分布 E(X)＝ D(X)＝E(X)·
(3)方差的性质
①离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即D(X＋b)＝D(X)．而离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍，即D(aX)＝a2D(X)．
一般地，可以证明下面的结论成立：
D(aX＋b)＝a2D(X)．
②随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第三册P66练习T1改编)已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)
A. B.4
C.－1 D.1
2．(人A选择性必修第三册P69例5改编)设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为(　　)
A．2 B.3
C.4 D.5
3．(人A选择性必修第三册P67问题2改编)有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　)
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
4．(人A选择性必修第三册P67练习T2改编)抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为________．
参考答案
1解析：选A.E(X)＝－＋＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
2答案：C
3答案：B
4答案：0，1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　　)
(2)随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．(　　)
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　)
(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球20次的得分X的均值是0.7.(　　)
二、易错纠偏
1．(不会使用特征数字致误)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
2．(公式记忆、使用易错)已知离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则其方差D(X)＝________．
3．(超几何分布的数字特征易错)已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝________，方差D(X)＝________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、易错纠偏
1解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，
所以E(Y)答案：乙
2答案：2.44
3解析：方法一：随机变量X的取值为0，1，2，则
P(X＝0)＝eq \f(C,C)＝，P(X＝1)eq \f(CC,C)＝，
P(X＝2)＝eq \f(C,C)＝.
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝×＋×＋×＝.
方法二：由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝2，则由超几何分布的均值公式和方差公式知E(X)＝＝＝，D(X)＝E(X)·＝×＝.
答案：　
考点一　数字特征的计算(自主练透)
复习指导：理解离散型随机变量的数字特征的意义并会根据公式进行计算．
1．设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的数学期望为E(X)＝3，则a－b＝(　　)
A.　　　 B.0　　　
C.－　　　 D.
2．随机变量X的可能取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝________．
3．已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 2
P x y z
若E(ξ)＝，D(ξ)＝1，则x，y，z的值分别为________．
参考答案
1解析：选A.由题意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，
又X的数学期望E(X)＝3，
则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，
即30a＋10b＝3，所以a＝，b＝0，
所以a－b＝.
2解析：设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，
由题意得
解得p＝，q＝，
所以D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.
答案：
3解析：由题意得
解得
答案：，，
(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，活用均值与方差的性质．
(2)注意均值、方差与函数、导数、不等式的综合应用．
考点二　离散型随机变量的数字特征的应用(多维探究)
复习指导：能从实际问题中抽象出离散型随机变量，计算并应用随机变量的数字特征．
角度1　离散型随机变量数字特征的计算
为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ)．
【解】　(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为P3＝×＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)由题意得，ξ所有可能的取值为0，40，80，120，160.
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
P
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
角度2　均值与方差在决策中的应用
有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如表：
ξ 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
η 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂哪个厂的材料稳定性好．
【解】　E(ξ)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(η)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
D(ξ)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(η)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
由于E(ξ)＝E(η)，D(ξ)利用均值、方差进行决策的方法
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两个随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小，进而进行决策．
|跟踪训练|
(2022·重庆考前模拟)某人某天的工作是：驾车从A地出发，到B，C两地办事，最后返回A地．A，B，C三地之间各路段的正常行驶所需时间及当天降水概率如下表．
路段 正常行驶所需时间/时 上午降水概率 下午降水概率
A—B 2 0.3 0.6
B—C 2 0.2 0.7
C—A 3 0.3 0.9
若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时．现有如下两个方案．
方案甲：上午从A地出发到B地办事，然后到达C地，下午在C地办事后返回A地．
方案乙：上午从A地出发到C地办事，下午从C地出发到达B地，办事后返回A地．
(1)若此人8点从A地出发，在各地办事及午餐的累计时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A地的概率．
(2)甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回A地？
解：(1)由题意可知，若各路段均不会遇到降水，则返回A地的时间为17点．因此18点或18点之前能返回A地的充要条件是降水的路段数不超过1.记事件M1，M2，M3分别表示在上午A—B路段降水、上午B—C路段降水、下午C—A路段降水，则所求概率P＝P(1M23)＋P(M123)＋P(1M23)＋P(12M3)＝0.7×0.8×0.1＋0.3×0.8×0.1＋0.7×0.2×0.1＋0.7×0.8×0.9＝0.598.
(2)设任意一个路段行驶时间为X时，降水概率为p，正常行驶所需时间为x时，则X的分布列为
X x x＋1
P 1－p p
所以E(X)＝x(1－p)＋(x＋1)p＝x＋p，故各路段行驶时间期望如下表．
路段 正常行驶所需时间/时 上午 下午
降水概率 行驶时间期望/时 降水概率 行驶时间期望/时
A—B 2 0.3 2.3 0.6 2.6
B—C 2 0.2 2.2 0.7 2.7
C—A 3 0.3 3.3 0.9 3.9
设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为Y时，Z时，则E(Y)＝2.3＋2.2＋3.9＝8.4，E(Z)＝3.3＋2.7＋2.6＝8.6.因为8.4<8.6，所以采用甲方案更有利于办事之后能更早返回A地．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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