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第九章 第5讲　事件的相互独立性与条件概率
1．一袋中装有除颜色外完全相同的5个白球，3个黄球，从中有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黄球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与2(　　)
A．是相互独立事件 B.不是相互独立事件
C．是互斥事件 D.是对立事件
2．甲、乙两队进行决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A. B.
C. D.
3．已知某药店只有A，B，C三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买A品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为(　　)
A．0.7 B.0.65
C.0.35 D.0.26
4．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)＝(　　)
A. B.
C. D.
5．在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的，则该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为(　　)
A. B.
C. D.
6．甲、乙、丙三位同学独立地解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，，，则有人能够解决这个问题的概率为________．
7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
8．已知纸箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶为合格品，2瓶为不合格品，现从纸箱中任取一瓶消毒液，每瓶消毒液被取到的可能性相同，不放回地取两次，若用A表示“第一次取到不合格的消毒液”，用B表示“第二次仍取到不合格的消毒液”，则P(B|A)＝________．
9．王女士乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．则
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率是________；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率是________．
10．已知某地居民肝癌的发病率为0.000 4，通过对血清甲胎蛋白进行检验可以检测一个人是否患有肝癌，但这种检测方法可能出错，具体是：患有肝癌但检测显示正常的概率为0.01，未患有肝癌但检测显示有肝癌的概率为0.05，因为目前情况下，肝癌的致死率比较高，肝癌发现得越早，治疗越有效，因此有人主张对该地区的居民进行普查，以尽早发现肝癌患者，这个主张是否合适？
11．某学校派甲、乙两同学组成代表队参加市青少年围棋比赛，已知两人平时比赛获胜的概率分别为和，现已知该代表队有人在第一轮比赛中胜出，则甲同学胜出的概率为(　　)
A. B.
C. D.
12．(多选)一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为X，则X∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，定义事件A＝{X|X∈{1，2，3，4}}，事件B＝{X|X∈{1，5，6，7}}，事件C＝{X|X∈{1，5，6，8}}，则下列判断正确的是(　　)
A．P(A＋B)＝1
B．P(BC)＝
C．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)
D．A，B，C两两相互独立
13．(2022·北京八一学校高三开学考试)设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为________．
14．某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔(假设每辆车最多只获一次赔偿)．设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为________．(结果用最简分数表示)
15．(多选)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有(　　)
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
16．(2020·高考全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
参考答案
1解析：选A.由于采用有放回地摸球，因此A1与2相互独立，所以事件A1与A2是相互独立事件，故选A.
2解析：选A.甲队获得冠军有两种可能：进行一局比赛甲胜或进行两局比赛甲先负后胜，故所求概率为＋×＝.
3解析：选C.由题意，得甲、乙两人买C品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为P＝0.2×0.3＋0.5×0.4＋0.3×0.3＝0.35.
4解析：选C.由已知有P(B)＝＝，P(AB)＝eq \f(A,44)＝，所以P(A|B)＝＝.
5解析：选B.记事件A为“该毕业生赢得甲公司的面试机会”，事件B为“该毕业生赢得乙公司的面试机会”，事件C为“该毕业生赢得丙公司的面试机会”．
由题意可得P(A)＝，P(B)＝P(C)＝.
则事件“该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会”为AB，
由相互独立事件同时成立的概率公式，可得P(AB)＝P(A)P(B)P()＝××＝.
6解析：“没有人能解决这个问题”的概率为××＝，所以“有人能解决这个问题”的概率为1－＝.
答案：
7解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3，4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝1×0.2×0.82＝0.128.
答案：0.128
8解析：由题意可得 n(A)＝CC＝10, n(AB)＝CC＝2，故P(B|A)＝＝＝.
答案：
9解析：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
答案：(1)0.398　(2)0.994
10解：由题意可知，如果患有肝癌，那么检测出来的概率为99%，然而普查的主张是否合适，主要取决于检测结果显示患有肝癌时，实际上患有肝癌的概率，设A表示患有肝癌，B表示检测结果显示患有肝癌，则P(A)＝0.000 4，P(|A)＝0.01，P(B|)＝0.05，从而有P()＝1－P(A)＝1－0.000 4＝0.999 6，P(B|A)＝1－P(|A)＝1－0.01＝0.99.根据贝叶斯公式，检测显示患有肝癌的居民确实患有肝癌的概率为
P(A|B)＝＝
≈0.007 9.这就表明，检测结果显示患有肝癌但实际上患有肝癌的概率还不到0.8%，也就是说，如果进行普查的话，在现有条件下，100个显示患有肝癌的人中，可能只有1个人是真正患有肝癌的，从这个意义上来说，进行普查并不是一个好主意．
11解析：选D.设“甲同学胜出”为事件A，“该代表队有人在第一轮比赛中胜出”为事件B，则所求概率为在事件B发生的条件下事件A发生的概率．
因为P(AB)＝，P(B)＝×＋×＋×＝，
所以P(A|B)＝＝＝.
12解析：选BC.由题意，Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，card(Ω)＝8，card(A)＝card(B)＝card(C)＝4，
所以P(A)＝＝＝，同理，P(B)＝P(C)＝，
由card(A＋B)＝7，则P(A＋B)＝＝，故A错误；由card(B∩C)＝3，则P(BC)＝＝，故B正确；由card(A∩B∩C)＝1，则P(ABC)＝＝，而P(A)P(B)P(C)＝，故C正确；因为P(BC)＝≠P(B)P(C)，P(AC)＝≠P(A)P(C)，P(AB)＝≠P(A)P(B)，所以事件A，B，C不两两相互独立，故D错误．故选BC.
13解析：设B＝{从成品仓库中随机提一台产品是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的产品}，i＝1，2，则B＝A1B∪A2B，因为第一、二车间生产的成品比例为2∶3，所以P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，
又因为第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，
所以P(B|A1)＝1－0.15＝0.85，P(B|A2)＝1－0.12＝0.88，
所以P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)，
＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
答案：0.868
14解析：因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为和，所以这两辆车在一年内不发生此种事故的概率分别为和，故两辆车在一年内都不发生此种事故的概率为×＝.根据对立事件的概率公式，可得一年内该单位在此种保险中获赔的概率为1－＝.
答案：
15解析：选ABD.A.恰有一个白球的概率P＝eq \f(CC,C)＝，故A正确；
B．每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为6××＝，故B正确；
C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝，故C错误；
D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为1－3＝，故D正确．故选ABD.
16解：(1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；
乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝.
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为.
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.
因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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