资源简介

第一讲 不等式
【知识点一】两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)
(2)作商法 (a∈R，b>0)
【知识点二】不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b b传递性 a>b，b>c a>c
可加性 a>b a＋c>b＋c
可乘性 ac>bc 注意c的符号
ac同向可加性 a＋c>b＋d
同向同正可乘性 ac>bd
可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数
可开方性 a>b>0 >(n∈N，n≥2) a，b同为正数
【知识点三】一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．
【知识点四】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1< x【知识点五】分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
【知识点六】基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
【知识点七】几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
【知识点八】利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值.(简记：和定积最大)
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．
题型一 不等式的性质
例1 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若aB．若ab>0，bc－ad>0，则－<0
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D．若a>b，c>d>0，则>
答案　C
解析　若00，bc－ad>0，则>0，即－>0，故选项B错误；若a>b，c>d，则－d>－c，所以a－d>b－c，故选项C正确；若c>d>0，则>>0，若a>b>0，则>，故选项D错误．
思维升华 判断不等式的常用方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．
1．已知a>b>c，则++的值（ ）
A．为正数 B．为非正数
C．为非负数 D．不确定
2．(多选)设，，则（ ）
A． B．
C． D．
3.(多选)已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 一元二次不等式
例2 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B等于(　　)
A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}
答案　D
解析　∵A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－1∴A∩B＝{1,3}．
(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．
答案　{x|x≥3或x≤2}
解析　由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，
所以解得
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
(3)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得当a＝1时，解集为 ；
当0综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.
例3 对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
答案　D
解析　当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；
当a－2≠0，即a≠2时，
则有
解得－2综上，实数a的取值范围是(－2,2]．
思维升华 1.对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
3.对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．
对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；
对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．
1．设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_________．
5．若不等式的解集是，
（1）求的值；
（2）求不等式的解集.
题型三 基本不等式
例4 (1)已知0答案　
解析　x(3－2x)＝·2x(3－2x)≤·2＝，
当且仅当2x＝3－2x，
即x＝时取等号．
(2)已知x>，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________．
答案　5
解析　∵x>，∴4x－5>0，
∴f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5.
当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号．
(3)若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　)
A．3＋2 B．3＋
C．2＋2 D．3
答案　A
解析　因为2m＋n＝1，
则＋＝·(2m＋n)＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当n＝m，即m＝，n＝－1时等号成立，
所以＋的最小值为3＋2，故选A.
例5 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
答案　6
解析　方法一　(换元消元法)
由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二　(代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
1．已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（ ）
A．25 B．50 C．20 D．
2．已知，，则的（ ）
A．最大值是 B．最大值是
C．最小值是 D．最小值是
3．已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则下列式子一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则的取值范围_______
6．若，则的最小值为_____．
7．已知方程的解为、.
（1）求、的值.
（2）求的最小值.
8．求下列函数的最值
（1）求函数的最小值.
（2）若正数，满足，求的最小值.
作业
1．若为实数，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，若不等式的解为，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
3．不等式的解为（ ）
A． B．或 C． D．或
4．的最大值为（ ）
A． B．13 C． D．
5．已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，给出下列命题：
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C． D．
10．已知实数．满足且，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．若不等式对于任意都成立，则实数的取值范围是__________.
12．已知正数，满足，则的最大值为______．
13．一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________
14．若a>0，b>0，且
（1）求的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b=5？并说明理由.
15．（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数 的最小值为？第一讲 不等式
【知识点一】两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)
(2)作商法 (a∈R，b>0)
【知识点二】不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b b传递性 a>b，b>c a>c
可加性 a>b a＋c>b＋c
可乘性 ac>bc 注意c的符号
ac同向可加性 a＋c>b＋d
同向同正可乘性 ac>bd
可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数
可开方性 a>b>0 >(n∈N，n≥2) a，b同为正数
【知识点三】一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．
【知识点四】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1< x【知识点五】分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
【知识点六】基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
【知识点七】几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
【知识点八】利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值.(简记：和定积最大)
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．
题型一 不等式的性质
例1 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若aB．若ab>0，bc－ad>0，则－<0
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D．若a>b，c>d>0，则>
答案　C
解析　若00，bc－ad>0，则>0，即－>0，故选项B错误；若a>b，c>d，则－d>－c，所以a－d>b－c，故选项C正确；若c>d>0，则>>0，若a>b>0，则>，故选项D错误．
思维升华 判断不等式的常用方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．
1．已知a>b>c，则++的值（ ）
A．为正数 B．为非正数
C．为非负数 D．不确定
【答案】A
【分析】
利用不等式的性质判断即可
【详解】
因为a>b>c，所以ab>0，bc>0，ac>bc>0，所以>0， >0， <，
所以+>0，所以++>0，
所以++的值为正数.
故选：A
2．(多选)设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
对于A，C举反例可判断，对于B，D利用不等式的性质判断
【详解】
解：对于A，若，则，此时，所以A错误；
对于B，因为，所以，因为，所以，所以B正确；
对于C，若，则，此时，所以C错误；
对于D，因为，所以由不等式的性质可得，所以D正确，
故选：BD
3.(多选)已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
先根据已知条件判断出的取值范围，然后逐项通过等量代换、不等式性质、不等式证明判断出各选项的对错.
【详解】
因为，所以，所以；
A．因为，取等号时满足，故A错误；
B．因为，故B正确；
C．因为，取等号时满足，故C正确；
D．因为，所以要证，只需证，只需证，
即证，即证，即证，
显然成立，且时取等号，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】
方法点睛：本题中D选项的判断除了可以通过分析法证明的方式进行判断，还可以通过三角换元的方法进行分析判断：设，然后分析形如的式子的几何意义去进行求解并判断.
题型二 一元二次不等式
例2 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B等于(　　)
A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}
答案　D
解析　∵A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－1∴A∩B＝{1,3}．
(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．
答案　{x|x≥3或x≤2}
解析　由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，
所以解得
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
(3)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得当a＝1时，解集为 ；
当0综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.
例3 对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
答案　D
解析　当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；
当a－2≠0，即a≠2时，
则有
解得－2综上，实数a的取值范围是(－2,2]．
思维升华 1.对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
3.对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．
对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；
对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．
1．设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据和是方程的两个根，由韦达定理解得和，可得结果.
【详解】
由题意可知方程的根为，
由韦达定理得：，，
解得，所以.
故选：B.
2．已知，恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用换元法，令，则，得到对任意恒成立，再求出的最小值后，解不等式，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
令，
又由恒成立，即对任意恒成立，
当时，即时，，解得，此时无解；
当时，即时，，解得，
综上可得，实数a的取值范围为.
3．若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题得不等式对任意成立，解不等式组即得解.
【详解】
由题得不等式对任意成立，
所以，
即，
解之得或.
故选：A
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是联想到“反客为主”，把“”看作自变量，把“”看作参数，问题迎刃而解.
4．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
利用参变分离法将不等式转化为，令，将不等式恒成立问题转化为成立，求解函数的最大值.
【详解】
因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，令，可知成立，当，函数单调递增，所以，所以.
故答案为：
5．若不等式的解集是，
（1）求的值；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据不等式的解集可得对应的一元二次方程的两根，由韦达定理可解得结果；
（2）代入的值，解一元二次不等式可得结果.
【详解】
（1）依题意可得：=0的两个实数根为和2，
由韦达定理得：，解得：；.
（2）则不等式，可化为.
所以，所以，
所以，
故不等式的解集..
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
题型三 基本不等式
例4 (1)已知0答案　
解析　x(3－2x)＝·2x(3－2x)≤·2＝，
当且仅当2x＝3－2x，
即x＝时取等号．
(2)已知x>，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________．
答案　5
解析　∵x>，∴4x－5>0，
∴f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5.
当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号．
(3)若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　)
A．3＋2 B．3＋
C．2＋2 D．3
答案　A
解析　因为2m＋n＝1，
则＋＝·(2m＋n)＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当n＝m，即m＝，n＝－1时等号成立，
所以＋的最小值为3＋2，故选A.
例5 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
答案　6
解析　方法一　(换元消元法)
由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二　(代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
1．已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是（ ）
A．25 B．50 C．20 D．
【答案】B
【分析】
利用不等式m2+n2≥2mn，可求得结果.
【详解】
由m2+n2≥2mn，得 mn≤=50，
当且仅当m=n=±时等号成立.
所以mn的最大值是.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：利用不等式m2+n2≥2mn求解是关键.
2．已知，，则的（ ）
A．最大值是 B．最大值是
C．最小值是 D．最小值是
【答案】B
【分析】
由题意得，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；
【详解】
因为，所以，
所以，等号成立当且仅当.
故选：B.
3．已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】
，因为，
所以，
因为，所以，
因此，
因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），
故选：A
4．已知，则下列式子一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
根据基本不等式，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】
对于A：因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B：，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，，
所以，故B错误；
对于C：，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，故C错误；
对于D：，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
所以，故D正确，
故选：AD
5．若，则的取值范围_______
【答案】
【分析】
对进行分类讨论，结合基本不等式求得的取值范围.
【详解】
当或时，，
当时，，
当时，，
综上所述 ，的取值范围是.
故答案为：
6．若，则的最小值为_____．
【答案】2
【分析】
化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由，则，
当且仅当时取“”，即的最小值为2．
故答案为：2.
7．已知方程的解为、.
（1）求、的值.
（2）求的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）利用一元二次方程根与系数的关系求、；
（2）利用基本不等式求最小值.
【详解】
（1）由韦达定理可得，解得，；
（2）由（1）知，，
所以，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，的最小值为.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．求下列函数的最值
（1）求函数的最小值.
（2）若正数，满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）5.
【分析】
（1）化为，再根据基本不等式可求出结果；
（2）化为，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】
（1），当且仅当即时等号成立，
故函数的最小值为.
（2）由得，
则，
当且仅当,即，时等号成立，
故的最小值为5.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

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