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1. 5　基本不等式
掌握基本不等式≤(a，b≥0). 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
【教材梳理】
1. 基本不等式
如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立. 该式叫基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2. 几个重要不等式
重要不等式 使用前提 等号成立条件
a2＋b2≥2ab a，b∈R a＝b
＋≥2 ab>0 a＝b
＋≤－2 ab<0 a＝－b
ab≤ a，b∈R a＝b
≤ a，b∈R a＝b
　　3. 基本不等式求最值
(1)设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2(简记为：积定和最小).
(2)设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2(简记为：和定积最大).
【常用结论】
4. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2 －(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)≤≤≤(a>0，b>0).
即有：正数a，b的调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
5. 三元均值不等式
(1)≥.
(2)≥abc.
以上两个不等式中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立.
6. 二维形式柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1) a，b∈R，(a＋b)2≥4ab. (　　)
(2)a≥0，b≥0，则a2＋b2≥2. (　　)
(3)函数y＝x＋的最小值是2. (　　)
(4)函数y＝cosx＋，x∈的最小值等于4. (　　)
(5)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充分不必要条件. (　　)
解：(1)√；　(2)×；　(3)×；　(4)×；　(5)√.
(教材改编)已知a，b∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是 (　　)
A. a2＋b2 B. 2
C. 2ab D. a＋b
解：因为a，b∈(0，1)，所以a2当a≠b时，由均值不等式可知>，所以a＋b>2，
由上可知，a＋b>2>2ab，a＋b>a2＋b2，
所以四个式子中a＋b最大. 故选D.
(教材习题改编)设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)
A. 3 B. 3－2
C. －1 D. 3－2
解：因为x>0，所以y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立. 故选D.
(教材改编)点(m，n)是一次函数y＝1－x图象上一动点，则2m＋2n的最小值是__________.
解：由题意可知m＋n＝1，
又因为2m>0，2n>0，
所以2m＋2n≥2＝2＝2，当且仅当2m＝2n，即m＝n＝时等号成立.
所以2m＋2n的最小值是2. 故填2.
考点一　利用基本不等式求最值
命题角度1　直接求最值
已知a>0，b>0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为__________.
解法一：因为a>0，b>0，4a＋b＝1，所以1＝4a＋b≥2＝4，当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时，等号成立. 所以≤，ab≤，则ab的最大值为.
解法二：因为4a＋b＝1，所以ab＝·4a·b≤＝，当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，所以ab的最大值为. 故填.
【点拨】 在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等. “一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值.
(2022河北武强中学高三月考)直角边之和为12的直角三角形面积的最大值为 (　　)
A. 16 B. 18
C. 20 D. 不能确定
解：设直角三角形的两直角边为a，b，面积为S，
则a＋b＝12，
S＝ab≤＝18，
当且仅当a＝b＝6时，等号成立. 故选B.
命题角度2　配凑法求最值
　　(1)(2021届长沙雅礼中学高一月考)已知x>2，则函数f(x)＝x＋的最小值为 (　　)
A. 2＋ B. 2＋2
C. 2 D. 2
解：当x>2时，f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝＋2，当且仅当x－2＝，即x＝2＋时取等号，
所以f(x)的最小值为2＋. 故选A.
(2)已知a>0，b>0，则＋的最小值为__________.
解：当a>0，b>0时，＋＝＋－1≥2－1＝3，当且仅当＝，即a＝b时等号成立. 故填3.
【点拨】常见的配凑有配系数、常数项、平方等. 遇到分式，关键在于配出互倒的结构，再用基本不等式求解.
(1)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为 (　　)
A. 0　 　 　　B. 1　　
C. 3　　 　　D. 5
解：因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立. 故选B.
(2)(2020年辽宁六校高一月考)若0A. 1 B.
C. D.
解：因为0(3)函数y＝(x>1)的最小值为__________.
解：当x>1时，y＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立. 故填2＋2.
命题角度3　常数代换求最值
(1)(2020届山东滨州高三9月期初考试)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab，则2a＋b的最小值为__________.
解：因为a＞0，b＞0，由2a＋b＝ab ＋＝1，故2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋4＝8. 当且仅当＝，即b＝2a＝4时等号成立.
另解：因为a＞0，b＞0，所以ab＝2a＋b≥2，解得ab≥8，当且仅当2a＝b时等号成立. 故填8.
(2)已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足f(2a)＋f(b－4)＝0，则＋的最小值是
(　　)
A. B.
C. 2 D. 4
解：因为f(2a)＋f(b－4)＝0，所以f(2a)＝－f(b－4)，因为奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，
所以f(2a)＝－f(b－4)＝f(4－b)，
所以2a＝4－b，即2a＋b＝4，
所以2(a＋1)＋b＝6，
所以＋＝[2(a＋1)＋b]
＝
≥＝(4＋4)＝，
当且仅当＝，即a＝，b＝3时取等号，
所以＋的最小值是. 故选B.
【点拨】 在求最值中，如果两个代数式中一个是整式ax＋by，另一个是分式＋，则常凑出可以使用基本不等式的形式：＋，多数情况下，让两个代数式相乘.
(1)若直线l：ax－by＋2＝0(a>0，b>0)过点(－1，2)，当＋取最小值时直线l的斜率为 (　　)
A. 2 B.
C. D. 2
解：因为直线l过点(－1，2)，所以－a－2b＋2＝0，即＝1，所以＋＝×＝(4＋＋)≥＝4，当且仅当＝，即a＝2b时取等号. 此时直线l的斜率＝2. 故选A.
(2)(2021届苏州高三期初调研)设a>0，b>0，且2a＋b＝1，则＋ (　　)
A. 有最小值为4 B. 有最小值为2＋1
C. 有最小值为 D. 无最小值
解：易知＋＝＋＝1＋＋≥1＋2，当且仅当a＋b＝a且2a＋b＝1，即a＝－1，b＝3－2时等号成立. 故选B.
命题角度4　换元法求最值
(2020届辽宁黑山中学高三模拟)已知实数x，y满足x2－xy＋y2＝1，则x＋y的最大值为 (　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解：原式可化为(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3，令t＝x＋y，得t2＋1≥t2，解得－2≤t≤2，所以x＋y的最大值为2，当且仅当x＝y＝1时等号成立. 故选B.
【点拨】 已知条件中含x2＋y2，xy，x＋y混合结构的常可通过换元法用基本不等式求最值，一般“求谁设谁”，再建立不等式求解.
设x，y均为正实数，且xy＝8＋x＋y，则xy的最小值为__________.
解：因为x，y均为正实数，所以xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，令t＝，得t2－2t－8≥0，解得t≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16. 故填16.
命题角度5　消元法求最值
(2020江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是__________.
解：因为5x2y2＋y4＝1，所以y≠0且x2＝，所以x2＋y2＝＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号. 所以x2＋y2的最小值为. 故填.
【点拨】 消元法即根据条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值问题求解. 若被消去的元带有范围，则这个范围常由主元确定.
已知x>0，y>0，满足x2＋2xy＝1，则2x＋y的最小值为__________.
解：由条件得y＝－，则2x＋y＝＋≥. 当且仅当x＝y＝时取等号. 故填.
命题角度6　多次运用基本不等式求最值
(2021天津卷)已知a>0，b>0，则＋＋b的最小值为__________.
解：＋＋b≥2＋b＝＋b≥2，当且仅当＝且b＝，即a＝b＝时取等号. 故填2.
【点拨】 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，为了达到求最值的目的，需多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号的条件应是相同的.
若a，b∈R，ab>0，则的最小值为__________.
解：因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4. 故填4.
考点二　利用基本不等式求参数
已知a>0，b>0，且ab＝1，不等式＋＋≥4恒成立，则正实数m的取值范围是 (　　)
A. [2，＋∞) B. [4，＋∞)
C. [6，＋∞) D. [8，＋∞)
解：由题意得＋＋＝＋≥2＝，当且仅当a＋b＝时取等号.
因此≥4，m≥8，结合ab＝1，可知a＋b≥2.
因此正实数m的取值范围是[8，＋∞).
故选D.
【点拨】 基本不等式的综合应用，主要体现在恒成立问题中的求参数范围及与其他知识的交汇.
(2022淮北市树人高级中学高三月考)若关于x的不等式＋≥4对任意x>2恒成立，则正实数a的取值集合为 (　　)
A. [1，4] B. (0，4)
C. (0，4] D. (1，4]
解：由题意可得＋≥4－对任意x>2恒成立，由a>0，x－2>0，
可得＋≥2＝，
当且仅当＝，即x＝2＋时取等号，
则4－≤，解得0考点三　利用基本不等式解决实际问题
(2021江苏南京市第二十九中学高一月考)某建筑队在一块矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求定点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上.
(1)若长AM＝30 m，宽AN＝20 m，求长AB和宽AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？
(2)若矩形AMPN的面积为600 m2，问学生公寓ABCD的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由.
解：(1)设AB＝x m，AD＝y m，则CD＝x m，BC＝y m，可得＝，＝，则＋＝1，
则xy＝600××≤600×＝150，
当且仅当＝，即x＝15，y＝10时取等号，
则长AB＝15 m，宽AD＝10 m时，矩形学生公寓ABCD面积最大，最大值为150 m2.
(2)由(1)可得＋＝1，则1≥2，
即xy≤，
又AM·AN＝600，则xy≤150，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，
则学生公寓ABCD的面积有最大值150 m2.
【点拨】 应用题重在审题，准确理解题意，问题就解决了一小半. 随着新高考对应用的加强，考生应强化信息提取能力训练.
(2021河北张家口高一期末)为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化. 如图所示，两块完全相同的长方形
(图中空白部分)种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400 m2.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多9 m，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2 m，求整个绿化面积的最小值.
解：(1)设草坪的宽为x m，长为y m，由面积均为400 m2，得y＝.
因为矩形草坪的长比宽至少大9 m，所以≥x＋9，所以x2＋9x－400≤0，解得－25≤x≤16，
又x>0，所以0所以草坪宽的最大值为16 m.
(2)记整个的绿化面积为S m2，由题意可得
S＝(2x＋6)(y＋4)＝(2x＋6)＝824＋8≥824＋160(m2)，
当且仅当x＝10时，等号成立.
所以整个绿化面积的最小值为(824＋160)m2.
【巩固强化】
1. (2021河北武强中学高三月考)已知x>1，y＝x＋，则y的最小值是 (　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解：因为x>1，所以x－1>0，
所以y＝x＋＝x－1＋＋1≥3，当且仅当x＝2时等号成立. 故选C.
2. (2021内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二月考)如果实数x，y满足x＋y＝4，则x2＋y2＋2的最小值是 (　　)
A. 4　　　　　 B. 6
C. 8　　　　 　D. 10
解：因为≥()2＝4(当且仅当x＝y＝2时取等号)，所以x2＋y2≥8，即x2＋y2＋2≥10. 故选D.
3. 【多选题】(2021湖南怀化市高二月考)当x>0时，下列函数最小值为2的是 (　　)
A. y＝x(2－x) B. y＝
C. y＝＋ D. y＝x2＋－1
解：对于A，函数y＝x(2－x)＝－x2＋2x，在(0，＋∞)上无最小值，不正确；对于B，由x>0，可得y＝＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，正确；对于C，令t＝>，y＝＋＝t＋>，不正确；对于D，函数y＝x2＋－1＝x2＋1＋－2≥2－2＝2，当且仅当x2＋1＝2，即x＝1时取等号，正确. 故选BD.
4. (2021全国乙卷)下列函数最小值为4的是(　　)
A. y＝x2＋2x＋4 B. y＝|sinx|＋
C. y＝2x＋22－x D. y＝lnx＋
解：y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，A错误；
y＝2x＋22－x≥2＝4，当且仅当x＝2－x即x＝1时取等号，C正确；
B不满足“三相等”，D不满足“一正”，均错误. 故选C.
5. (2021浙江省富阳中学高三开学考试)已知正实数a，b满足＋＝6，则(a＋1)(b＋9)的最小值是 (　　)
A. 8 B. 16
C. 32 D. 36
解：因为正实数a，b满足＋＝6，
所以6＝＋≥2，即≥1，当且仅当＝，即a＝，b＝3时取等号.
因为＋＝6，所以b＋9a＝6ab，
所以(a＋1)(b＋9)＝9a＋b＋ab＋9＝7ab＋9≥7＋9＝16. 故(a＋1)(b＋9)的最小值是16. 故选B.
6. 【多选题】(2021渤海大学附属高级中学高三月考)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是 (　　)
A. ab≤1 B. ＋≥2
C. a2＋b2≤2 D. ＋≥2
解：对于A，因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以a＋b＝2≥2，则≤1，即ab≤1，故A正确；
对于B，(＋)2＝a＋b＋2≤2(a＋b)＝4，故＋≤2，故B错误；
对于C，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥4－2＝2，故C错误；
对于D，＋＝(a＋b)＝1＋(＋)≥1＋×2＝2，故D正确. 故选AD.
7. 函数f(x)＝＋的最小值为__________.
解：因为(3－2x)＋2x＝3，所以f(x)＝＋＝[(3－2x)＋2x]＝[5＋＋]≥×9＝3，当且仅当＝，即x＝1时，取最小值为3. 故填3.
8. (2021罗平县第二中学模拟)已知直线ax＋by＝1(a>0，b>0)平分圆C：x2＋y2－2x－2y－1＝0的面积，则＋的最小值为__________.
解：把圆C的方程化为标准方程(x－1)2＋(y－1)2＝3，圆心为(1，1).
因为直线ax＋by＝1(a>0，b>0)平分圆C的面积，
所以直线经过圆心，即a＋b＝1(a>0，b>0)，
所以＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号.
即＋的最小值为4. 故填4.
【综合运用】
9. (2021荆州中学高三月考)函数f(x)＝x2＋2lnx－bx＋a(b＞0，a∈R)在点(b，f(b))处的切线斜率的最小值是
(　　)
A. 2 B.
C. 2 D. 1
解：f′(x)＝2x＋－b(x>0)，
所以在点(b，f(b))处的切线斜率是f′(b)＝2b＋－b＝b＋，
因为b＞0，所以f′(b)＝b＋≥2，当且仅当b＝，即b＝时等号成立. 故选C.
10. 【多选题】已知数列{an}是正项等比数列，且＋＝，则a7的值可能是 (　　)
A. B.
C. D.
解：因为数列{an}是正项等比数列，
所以＝＋≥2＝2eq \r(\f(6,a))，
可得a7≥2，当且仅当＝时取等号，
结合选项可知B，D符合题意. 故选BD.
11. 【多选题】(2020全国新高考Ⅰ卷Ⅱ卷)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则 (　　)
A. a2＋b2≥ B. 2a－b＞
C. log2a＋log2b≥－2 D. ＋≤
解：a2＋b2≥＝，A正确；由题意知，0＜a＜1，则1＜a＋1＜2，则a＋1＞b，a－b＞－1，2a－b＞2－1＝，B正确；log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2＝－2，C错；＋≤＝，D正确. 故选ABD.
12. (2021贵州师大附中高一月考)已知函数f(x)＝ex，若对任意x∈R恒有f(2x)≥mf(x)－1成立，则实数m的取值范围是 (　　)
A. B. (－∞，2)
C. (－∞，2] D.
解：由题意，e2x≥mex－1，即ex＋≥m对任意x∈R恒成立，
设t＝ex∈(0，＋∞)，则t＋≥m在(0，＋∞)上恒成立，t＋≥2，当且仅当t＝1，即x＝0时取等号. 故选C.
13. 某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元.
(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？
(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室. 问该商人选择哪种方案更合理，说明理由.
解：(1)设n年获取纯利润为y万元.
n年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n年付出的装修费之和为n×1＋×2＝n2，又投资81万元，n年共收入租金30n万元，
所以利润y＝30n－n2－81(n∈N*).
令y>0，即30n－n2－81>0，所以n2－30n＋81<0，解得3(2)方案①：年平均利润t＝＝30－－n＝30－≤30－2＝12(当且仅当＝n，即n＝9时取等号)，
所以年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元).
方案②：纯利润总和y＝30n－n2－81＝－(n－15)2＋144(n∈N*)，
当n＝15时，纯利润总和最大，为144万元，
所以纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，
两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以应选择方案①.
【拓广探索】
14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积是 (　　)
A. B.
C. D.
解：在△ABC中，由余弦定理可得，cosC＝＝＝≥×2＝，当且仅当3c＝，即c＝时取等号.
因为C∈(0，π)，所以0所以当C取最大值时，△ABC的面积S＝×1××sin＝. 故选B.

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