资源简介

1. 2　常用逻辑用语
1. 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.
2. 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.
3. 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
4. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.
5. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
6. 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
【教材梳理】
1. 充分条件、必要条件与充要条件
如果p q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件
p是q的充分不必要条件 记作p q且qp
p是q的必要不充分条件 记作pq且q p
p是q的充分必要条件(简称充要条件) 记作p q
p是q的既不充分又不必要条件 记作pq且qp
　　2. 全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示. 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
3. 全称量词命题和存在量词命题的否定
(1)全称量词命题的否定
全称量词命题 否定 结论
x∈M，p(x) x∈M， p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
(2)存在量词命题的否定
存在量词命题 否定 结论
x∈M，p(x) x∈M， p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
【常用结论】
4. 充分、必要条件的传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件.
5. 以下说法等价：p q；p是q的充分条件；q是p的必要条件；p的一个必要条件是q；q的一个充分条件是p.
6. 关键量词的否定
(1)常用全称量词的否定
每一个 所有的 一个也没有 任意
存在一个 有的 至少有一个 存在
(2)常用存在量词的否定
至少有n个 至多有一个 存在
至多有n－1个 至少有两个 任意
(3)一些常见判断词的否定
是 一定是 都是 大于 小于 不大于
不是 不一定是 不都是 小于或等于 大于或等于 大于
7. 充分、必要条件与集合间的关系：集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则：
(1)若A B，则p是q的充分条件；
(2)若A?B，则p是q的充分不必要条件；
(3)若B A，则p是q的必要条件；
(4)若B?A，则p是q的必要不充分条件；
(5)若A＝B，则p是q的充要条件；
(6)若A B且B A，则p是q的既不充分又不必要条件.
判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件. (　　)
(2)若p q，则p是q的充分不必要条件. (　　)
(3)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立. (　　)
(4)“长方形的对角线相等”是存在量词命题. (　　)
(5)命题“所有素数都是奇数”的否定是“所有素数都不是奇数”. (　　)
解：(1)√；　(2)×；　(3)√；　(4)×；　(5)×.
(教材改编)已知命题p： n∈N，n2≥2n＋5，则p为 (　　)
A. n∈N，n2≥2n＋5
B. n∈N，n2≤2n＋5
C. n∈N，n2<2n＋5
D. n∈N，n2<2n＋5
解：由存在量词命题的否定可知，p为： n∈N，n2<2n＋5. 故选C.
(教材改编)若a∈R，则“a3>1”是“a2>1”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解：解不等式a3>1可得a>1，解不等式a2>1可得a<－1或a>1，
因为{a|a>1}{a|a<－1或a>1}，
因此“a3>1”是“a2>1”的充分不必要条件. 故选A.
(教材改编)复数z的共轭复数为z，则“z为纯虚数”是“z＋z＝0”的 (　　)
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
解：由z为纯虚数，设z＝bi，b∈R，可得z＝－bi，则z＋z＝bi－bi＝0；
当z＝0时，可得z＝0，则z＋z＝0＋0＝0，但此时z不是纯虚数，
所以“z为纯虚数”是“z＋z＝0”的充分不必要条件.
故选B.
考点一　充分、必要条件的判定
(1)(2021上海师范大学第二附属中学)若z为复数，则“z2<0”是“z为纯虚数”的 (　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分又不必要条件
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
当z2＝a2－b2＋2abi<0时，即
如果b＝0，a2<0恒不成立；
如果a＝0，b2>0，此时z＝bi，z为纯虚数；
如果a＝0且b＝0，则z＝0，z2＝0与z2<0不符.
综上知，a＝0，z为纯虚数，
所以“z2<0”是“z为纯虚数”的充分条件.
当z为纯虚数，即z＝bi(b∈R，b≠0)时，z2＝－b2<0，
所以“z2<0”是“z为纯虚数”的必要条件.
综上所述，“z2<0”是“z为纯虚数”的充要条件.
故选C.
(2)(2020北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的 (　　)
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
解：①当存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ时，
若k为偶数，则sinα＝sin(kπ＋β)＝sinβ；
若k为奇数，则sinα＝sin(kπ－β)＝sin[(k－1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sinβ；
②当sinα＝sinβ时，α＝β＋2mπ或α＋β＝π＋2mπ，m∈Z，即α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2m)或α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2m＋1)，即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ.
所以，“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的充分必要条件. 故选C.
【点拨】 充要条件的三种判断方法：①定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p q及q p的真假；第三步，下结论. ②集合法：见本节“常用结论”. ③等价转化法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题.
(1)(2021浙江嘉兴高三期中)已知平面内两定点A，B及动点P，则“|PA|＋|PB|是定值”是“点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆”的 (　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
解：|PA|＋|PB|是定值有两种情况，|PA|＋|PB|＝|AB|，则动点P的轨迹为线段AB，或|PA|＋|PB|>|AB|，则动点P的轨迹为以A，B为焦点的椭圆. 则前者是后者的必要不充分条件. 故选B.
(2)f′(x)是函数f(x)的导函数，则“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的 (　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解：由极值定义知后者可得前者，但反之不一定，如f(x)＝x3，在x0＝0时f′(x0)＝0，但附近两侧导数值不变号. 故选B.
考点二　充分、必要条件的综合应用
(2021安徽省舒城中学)函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是 (　　)
A. ab＝1 B. a＋b＝0
C. a＝b D. a2＋b2＝0
解：因为f(－x)＝－f(x)，
即－x|－x＋a|＋b＝－x|x＋a|＋b，因为x不恒为0，所以|－x＋a|＝|x＋a|，由x的任意性可得a＝0，又f(0)＝0，可得b＝0，所以a＝0且b＝0，等价于a2＋b2＝0，因此，函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是a2＋b2＝0. 故选D.
【点拨】 ①求解充要条件的应用问题常根据相应集合之间的关系列出关于参数的方程(组)或不等式(组)求解；②求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验.
设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________.
解：由p得：考点三　全称量词命题与存在量词命题
命题角度1　全称、存在量词命题的否定
(1)(2020届山东新高考模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则p为 (　　)
A. 所有正方形都不是平行四边形
B. 有的平行四边形不是正方形
C. 有的正方形不是平行四边形
D. 不是正方形的四边形不是平行四边形
解：由全称量词命题的否定为存在量词命题可知，C正确. 故选C.
(2)已知f(x)＝sinx－tanx，命题p： x0∈，f(x0)<0，则 (　　)
A. p是假命题，p： x∈，f(x)≥0
B. p是假命题，p： x0∈，f(x0)≥0
C. p是真命题，p： x∈，f(x)≥0
D. p是真命题，p： x0∈，f(x0)≥0
解：x∈时，sinx＞0，0＜cosx＜1，则＞1，＞sinx，故sinx【点拨】 ①否定全称(存在)量词命题，一是改变量词，二是否定结论，没有量词的要结合命题的含义加上量词. ②否定全称量词命题，常举一反例即可，但否定存在量词命题，往往要进行严格证明，因为其否定是全称量词命题.
(1)命题“ n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是 (　　)
A. n∈N*，f(n) N*且f(n)＞n
B. n∈N*，f(n) N*或f(n)＞n
C. n0∈N*，f(n0) N*且f(n0)＞n0
D. n0∈N*，f(n0) N*或f(n0)＞n0
解：原命题的否定形式是“ n0∈N*，f(n0) N*或f(n0)＞n0”. 故选D.
(2)(2021湖南省邵东市第三中学)命题p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则命题p的否定且判断命题真假正确的为 (　　)
A. 命题p的否定： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根，真命题
B. 命题p的否定： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根，假命题
C. 命题p的否定： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，真命题
D. 命题p的否定： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，假命题
解：由题意，命题p的否定是： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根，
由于Δ＝a2＋4>0恒成立，故对任意a，方程都有实根，故命题p的否定为假命题.
故选B.
命题角度2　依据命题真假求参数取值范围
(2021陕西省高新学校期末)若命题“存在x0∈R，x－2ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是
(　　)
A. (－∞，－3)∪(3，＋∞)
B. (－3，3)
C. (－∞，－3]∪[3，＋∞)
D. [－3，3]
解：命题“存在x0∈R，x－2ax0＋9<0”为假命题，等价于“ x∈R，都有x2－2ax＋9≥0”，所以(2a)2－4×9≤0 －3≤a≤3. 故选D.
【点拨】 已知命题真假求参数范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)求解，另外注意转换，如本例，将存在量词命题为假命题转换为全称量词命题为真命题，从而转化为一元二次不等式恒成立问题.
已知“命题p： x0∈R，ax＋2x0＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是 (　　)
A. [0，1) B. (－∞，1)
C. [1，＋∞) D. (－∞，1]
解法一：当a＝0时，2x＋1＜0，可得x＜－，此时命题p为真；当a≠0时，要使命题p为真，只要Δ＝4－4a＞0，即a＜1且a≠0即可. 综上可知，a＜1.
解法二：命题p的否定是“ x∈R，ax2＋2x＋1≥0”. 当a＝0时，显然命题p为假；当a≠0时，命题p为真的充要条件是a＞0且Δ＝4－4a≤0，即a≥1. 故p为真时，a的取值范围为A＝[1，＋∞)，故p为真时，a的取值范围为 RA＝(－∞，1). 故选B.
学科素养·基于数学知识的逻辑推理
(2021年新高考八省模拟演练)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根；
乙：x＝3是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2；
丁：该方程两根异号.
如果只有一个假命题，则该命题是 (　　)
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
解：因为1×3>0，1＋3≠2，又四个命题三真一假，故甲、乙必有一个是假，由甲为假易知，符合题意，由乙为假推出矛盾. 故选A.
【点拨】 此题是基于数学知识背景下的逻辑推理问题，实际考查中，也可能基于数学文化，生活生产等，体现对逻辑推理素养及批判性思维能力的考查. 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养. 主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比，一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.
数学老师给出一个定义在R上的函数f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：
甲：在(－∞，0]上函数单调递减；
乙：在[0，＋∞)上函数单调递增；
丙：函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；
丁：f(0)不是函数的最小值.
老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是__________，写出一个符合要求的函数f(x)＝__________.
解：假设甲，乙两个同学回答正确，因为在[0，＋∞)上函数单调递增，所以丙说“函数f(x)的图象关于直线x＝1对称”错误. 此时f(0)是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，这与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾，所以只有乙回答错误. 函数f(x)在(－∞，0]单调递减，关于x＝1对称，则f(x)＝|x－1|，或f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3等. 故填乙；|x－1|(答案不唯一).
【巩固强化】
1. 命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(　　)
A. 对任意x∈R，都有x2<0
B. 不存在x∈R，都有x2<0
C. 存在x0 R，使得x<0
D. 存在x0∈R，使得x<0
解：命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为：存在x0∈R，使得x<0. 故选D.
2. (2021绵阳南山中学实验学校)“x2>y2”是“x>y”的
(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解：令x＝－2，y＝1知充分性不成立；
令x＝1，y＝－2知必要性不成立. 故选D.
3. (2020－2021学年长春外校高一月考)已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p为 (　　)
A. 某班至多有一个男生爱踢足球
B. 某班至少有一个男生不爱踢足球
C. 某班所有的男生都不爱踢足球
D. 某班所有的女生都爱踢足球
解：命题p是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，结合选项知，B正确. 故选B.
4. (2021浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的 (　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
解：充分性不成立，若a⊥c且b⊥c，则a·c＝b·c＝0，但a与b不一定相等，故a·c＝b·c不能推出a＝b；
必要性成立，由a＝b，可得a－b＝0，则(a－b)·c＝0，即a·c＝b·c，所以a＝b可以推出a·c＝b·c.
综上所述，“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件. 故选B.
5. 【多选题】(2021届福建厦门一中高三10月考)2x>1的充分不必要条件是 (　　)
A. x<0 B. x>0
C. 01
解：由2x>1，得2x>20，即x>0.
对于A，是既不充分又不必要条件；对于B，是充要条件；由00，反之不能推出，故C正确；由x>1 x>0，反之不能推出，故D正确. 故选CD.
6. 【多选题】下列命题中为假命题的是 (　　)
A. x∈Z，x4≥1
B. x0∈Q，x＝3
C. x∈R，x2－x－1>0
D. x0∈N，|x0|≤0
解：对于A，取x＝0，可知04<1，即A错误；
对于B，由x＝3，可得x0＝±，显然±不是有理数，即B错误；
对于C，因为在一元二次不等式x2－x－1>0中，Δ＝2＋4>0，所以该不等式存在解，不是恒成立，比如取x＝0时，不等式不成立，即C错误；
对于D，当x0＝0时，|x0|≤0成立，即D正确.
故选ABC.
7. 【多选题】(2021湖南省邵东市第三中学高一月考)下列各项中p是q的充分不必要条件的是 (　　)
A. p：x＝1；q：x2＝1
B. p：a＝b；q：a＋c＝b＋c
C. p：四边形为菱形；q：四边形的对角线垂直
D. p：a>b；q：ac>bc
解：对于A，当x＝1时，可得x2＝1，即充分性成立；反之，当x2＝1，可得x＝±1，所以必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件，所以A正确；
对于B，当a＝b时，可得a＋c＝b＋c，即充分性成立；反之，当a＋c＝b＋c时，可得a＝b，所以必要性成立，所以p是q的充要条件，所以B不正确；
对于C，由四边形为菱形，可得四边形的对角线垂直，即充分性成立；反之，当四边形的对角线垂直，四边形不一定是菱形，所以必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件，所以C正确；
对于D，当a>b，且c<0时，可得acbc，且c>0时，可得a>b；当c<0时，可得a8. 已知集合M＝{x|1解：a＝2时亦有M N. 故填充分不必要.
【综合运用】
9. (2020届湖北武汉市部分学校高三起点质监)已知α，β是两个不重合的平面，直线a α，p：a∥β，q：α∥β，则p是q的 (　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解：一个面上有两相交直线都和另一个面平行，则这两个面平行，所以p：a∥β不能推出q：α∥β. 两个平面平行，其中一个面上的任何一条直线都和另一个平面平行，所以q：α∥β可以推出p：a∥β，所以p是q的必要不充分条件. 故选B.
10. “0(　　)
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
解：方程＋＝1表示椭圆，即解得011. 已知函数f(x)＝x＋，则“x>4”是“f(x)>5”的(　　)
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
解：当x<0时，f(x)<0，故不存在f(x)>5的情况；
当x>0时，f(x)＝x＋>5，整理得x2－5x＋4>0，解得04.
所以“x>4”是“f(x)>5”的充分不必要条件. 故选B.
12. 【多选题】(2021河北沧州市一中高三开学考试)下列命题中的真命题是 (　　)
A. x∈R，ex－1>0
B. x∈N，x2>0
C. x，y∈Z，使得x＋y＝4
D. x∈R，使得tanx＝
解：对于A，因为x－1∈R，根据指数函数的值域为(0，＋∞)，即y＝ex－1>0，故A正确；
对于B，当x＝0时，x2＝0，故B错误；
对于C，当x＝0，y＝4时，x＋y＝4，故C正确；
对于D，因为y＝tanx的值域为(－∞，＋∞)，故 x∈R，使得tanx＝2，故D正确. 故选ACD.
13. 若命题“存在x∈R，使得ax2＋2x＋a≤0”为假命题，“ x≥2，x－a≥0恒成立”是真命题，求实数a的取值范围.
解：命题“ x∈R，使得ax2＋2x＋a≤0”是假命题，则命题“ x∈R，使得ax2＋2x＋a＞0”是真命题，所以
①a＝0，x＞0不恒成立；
② a＞1.
又x≥2且x≥a恒成立，故a≤2.
所以实数a的取值范围是(1，2].
【拓广探索】
14. 【多选题】(2021山东五莲中学模拟)对 x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，十八世纪，y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是 (　　)
A. x∈R，[x]≤x
B. x∈R，x＝[x]＋1
C. x，y∈R，[x]＋[y]≤[x＋y]
D. 函数y＝x－[x](x∈R)的值域为[0，1)
解：对于A，B，当x∈Z时，x＝[x]，当x Z时，设k对于C，由上可知，[x]≤x<[x]＋1，设x＝[x]＋{x}，则0≤{x}<1，
若0≤{x}＋{y}<1，则[x＋y]＝[x]＋[y]，
若1≤{x}＋{y}<2，则[x＋y]＝[x]＋[y]＋1.
综上， x，y∈R，[x]＋[y]≤[x＋y]，C正确；
对于D，因为[x]≤x<[x]＋1，则0≤x－[x]<1，所以函数y＝x－[x](x∈R)的值域为[0，1)，D正确. 故选ACD.

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