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1. 3 等式性质与不等式性质 学案（Word版含答案）

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  1. 二一教育资源

1. 3 等式性质与不等式性质 学案（Word版含答案）

2022-07-21 09:18 高考专区 290.03K [数学学案]

资源简介

1. 3　等式性质与不等式性质
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.
【教材梳理】
1. 基本事实
(1)a＞b a－b＞0.
(2)a＝b a－b＝0.
(3)a＜b a－b＜0.
2. 等式的基本性质
性质1：如果a＝b，那么b＝a；
性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3. 不等式的基本性质
序号 性质 简称
性质1 a>b b性质2 a>b，b>c a>c 传递性
性质3 a>b a＋c>b＋c 可加性
性质4 a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5 a>b，c>d a＋c>b＋d 相加法则
性质6 a>b>0，c>d>0 ac>bd 相乘法则
性质7 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 乘方法则
【常用结论】
4. 基本性质的推论
(1)开方法则：a>b>0 >(n∈N，n≥2).
(2)倒数法则：a>b，ab>0 <.
(3)异向相减：a>b，cb－d.
(4)异向相除：a>b>0，0.
5. 分数性质
若a>b>0，m>0，则
(1)真分数性质：<；>(b－m>0).
(2)假分数性质：>；<(b－m>0).
其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(浓度变大)；糖水析出糖后，糖水变淡(浓度变小). ”
判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1)若>1，则a>b. (　　)
(2)一个不等式的两边加上或乘以同一个实数，不等号方向不变. (　　)
(3)一个非零实数越大，则其倒数就越大. (　　)
(4)a>b>0，c>d>0 >. (　　)
(5)若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则a>0，b<0，c<0. (　　)
解：(1)×；　(2)×；　(3)×；　(4)√；　(5)×.
(教材改编)已知x∈R，M＝2x2－1，N＝4x－6，则M，N的大小关系是 (　　)
A. M>N B. MC. M＝N D. 不能确定
解：由题意，M－N＝2x2－1－(4x－6)＝2x2－4x＋5＝2(x－1)2＋3>0，因此M>N. 故选A.
(2019全国Ⅱ卷)若a＞b，则 (　　)
A. ln(a－b)＞0 B. 3a＜3b
C. a3－b3＞0 D. |a|＞|b|
解：a＞b a3＞b3，故C正确，易知A，B，D错误. 故选C.
(2021届江苏启东中学期初考试)设a，b，c为实数且a>b，则下列不等式一定成立的是 (　　)
A. a－>b－ B. 2 022a－b<1
C. sina>sinb D. a(c2＋1)>b(c2＋1)
解：由a＝1，b＝－1知A不正确；由a>b得a－b>0，则2 022a－b>1，B不正确；取a＝2π，b＝0知C不正确；c2＋1>0，由不等式性质知D正确. 故选D.
考点一　不等式的基本性质
(1)【多选题】(2021湖北恩施高三开学考试)若a>b>1>c>0，则有 (　　)
A. logca>logcb B. ac>bc
C. a(b＋c)>b(a＋c) D. <
解：对于A，因为y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，所以logca对于B，因为y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，所以ac>bc，故正确；
对于C，因为a(b＋c)－b(a＋c)＝(a－b)c>0，所以a(b＋c)>b(a＋c)，故正确；
对于D，因为－＝，且ac－b2的正负无法确定，故错误. 故选BC.
(2)【多选题】(2021河北衡水中学高三月考)已知 logb2 021>loga2 021>0，则下列结论正确的是 (　　)
A. 0. 2a<0. 2b B. >
C. lnb－b>lna－a D. 若m>0，则<
解：因为logb2 021>loga2 021>0，即>>0，因为ln2 021>0，故lna>lnb>0，故a>b>1.
对于A，0. 2a<0. 2b，A正确；
对于B，－＝<0，则<，B错误；
对于C，构造函数f(x)＝lnx－x，其中x>1，
则f′(x)＝－1＝<0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
因为a>b>1，故f(a)lna－a，C正确；
对于D，因为m>0，
则－＝＝>0，所以>，D错误. 故选AC.
【点拨】 利用不等式性质进行命题的判断时，判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断(判断成立时)或反例说明(判断不成立时)，在实际考查中，多与一些常见函数单调性结合考查.
(1)【多选题】(2021山东质量测评月考)若a>b>0，且ab＝1，则 (　　)
A. a>b＋1 B. <
C. > D. log2(a＋b)>1
解：由题意知，a>1>b>0，a＝，
对于A，a－b－1＝－b－1＝＝，无法确定与0的大小关系，A错误；
对于B，因为a>1>b>0，所以a2＋1>b2＋1，即<，B正确；
对于C，因为f(x)＝为减函数，所以f(b)>f(a)，即<，C错误；
对于D，因为a>1>b>0，所以a＋b>2，log2(a＋b)>log22＝1，D正确. 故选BD.
(2)【多选题】(2021三亚华侨学校高三期中)设a＝log26，b＝log3，则下列结论正确的有 (　　)
A. ab<0 B. －＝1
C. a＋b<0 D. ＋>
解：已知a>0，b<0，所以A正确；
－＝log62－log3＝log62＋log63＝1，B正确；
＋＝log62＋log3＝log6<0，即<0，
因为ab<0，所以a＋b>0，C错误；
因为＋>＝，所以＋>，D正确. 故选ABD.
考点二　利用不等式性质求代数式的取值范围
(1)【多选题】(教材习题改编)设x，y为实数，满足－1≤x≤2，0＜y≤1，则下列说法正确的是 (　　)
A. x＋y的取值范围是(－1，3]
B. x－y的取值范围是[－2，2)
C. xy的取值范围是[－1，2]
D. 的取值范围是[1，＋∞)
解：由于－1≤x≤2，0＜y≤1，所以－1(2)已知－1解法一：设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)
＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
则
所以2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，
而－2<－(x＋y)<，5<(x－y)<，
所以3<2x－3y<8，即2x－3y∈(3，8).
解法二：令则
且－1所以2x－3y＝2·－3·＝－＋b，
因为－1所以－2<－<，5所以3<－＋b<8，即2x－3y∈(3，8).
故填(3，8).
【点拨】 由a(1)(2020山东泰安模拟)已知点M(x0，y0)在直线3x＋y＋2＝0上，且满足x0>y0－1，则的取值范围为
(　　)
A.
B. (－∞，－3)∪
C.
D. (－∞，－3]∪
解：由题意3x0＋y0＋2＝0，y0＝－3x0－2，因为x0>y0－1，所以x0>－3x0－2－1，解得x0>－，
＝＝－3－，因为x0>－，所以<－或>0，所以－3－<－3或－3－>－，所以∈(－∞，－3)∪.
另解：数形结合. 故选B.
(2)已知－<α<β<，则一定不属于(　　)
A. (－π，π) B.
C. (－π，0) D. (0，π)
解：因为－<α<β<，所以－－<α－β<0，即－π<α－β<0，－<<0，所以一定不属于(0，π). 故选D.
(3)若－1≤lg≤2，1≤lg(xy)≤4，则lg的取值范围是__________.
解：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lg≤2，
得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，
则lg＝2lgx－lgy＝(lgx＋lgy)＋(lgx－lgy)，所以－1≤lg≤5. 故填[－1，5].
考点三　作差或作商比较大小
(1)若x∈R，m＝2x2＋1，n＝x2＋2x，p＝－x－3，则 (　　)
A. n≥m>p B. n>m>p
C. m≥p≥n D. m≥n>p
解：m－n＝(2x2＋1)－(x2＋2x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以m≥n，
n－p＝x2＋2x－(－x－3)＝x2＋3x＋3＝＋>0，所以n>p，故m≥n>p. 故选D.
(2)若实数m，n，p满足m＝4e，n＝5e，p＝，则
(　　)
A. pC. m解：由题意得＝＝e－<1，所以m又＝＝e>e2>1，所以m>p，
所以p【点拨】 作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④给出结论.
(1)(2021河南信阳高二期末)＋3与＋的大小关系是 (　　)
A. ＋3<＋ B. ＋3>＋
C. ＋3＝＋ D. 不确定
解：因＋3>0，＋>0，
则(＋3)2－(＋)2＝(16＋6)－(16＋4)＝2(3－2)＝2(－)>0，
所以＋3>＋. 故选B.
(2)(2021湘豫名校联盟4月联考)已知a＝0. 40. 3，b＝0. 30. 3，c＝0. 30. 4，则 (　　)
A. a>c>b B. a>b>c
C. c>a>b D. b>c>a
解：＝0. 3－0. 1>1，所以0. 30. 3>0. 30. 4，即b>c>0，而＝＝>1，即a>b，
所以a>b>c.
另解：用指数函数、幂函数单调性比较. 故选B.
【巩固强化】
1. 若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是
(　　)
A. < B. a2>b2
C. > D. a|c|>b|c|
解：当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但>，a2因>0，a>b，由不等式性质得>，C正确；
当c＝0时，a|c|>b|c|不成立，排除D. 故选C.
2. (2021届湖北荆州中学月考)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中不恒成立的是 (　　)
A. a－c
C. > D. ac2解：当b>a>0时，因为y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以a－c，故B正确；因为－＝>0，所以>，故C正确；当c＝0时，ac23. 已知aA. a2C. ac解法一：因为a0，因为a解法二：(赋值法)依据条件不妨取a＝－2，b＝0，c＝2，可排除A，B，D. 故选C.
4. 【多选题】(2021浙江瑞安中学高一期中)设x，y为实数，满足1≤x≤4，0(　　)
A. 1C. 0解：对于A，0＋1对于B，－2≤－y<0，则－1≤x－y<4，故B错误；
对于C，0×1对于D，由题知≥，则≥1×＝，故D错误. 故选AC.
5. 【多选题】(2021重庆沙坪坝南开中学高三期末)若a，b为非零实数，且a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A. > B. >
C. a－>b－ D. >
解：令a＝1，b＝－1，则＝－1＝，故A错误；
a－＝0＝b－，故C错误；
－＝，因为a>b，所以a－b>0，所以>，故B正确；
因为a>b，所以a－b>0，
设幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且>，所以>，故D正确. 故选BD.
6. 已知a>0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P与Q的大小关系为 (　　)
A. P>Q B. PC. P≥Q D. P≤Q
解：P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga. 当a>1时，a3＋1>a2＋1，所以>1，则loga>0；当00.
综上可知，当a>0且a≠1时，P－Q>0，即P>Q. 故选A.
7. 能够说明“设a，b是任意非零实数. 若>1，则b>a”是假命题的一组整数a，b的值依次为__________.
解：要使“设a，b是任意非零实数. 若>1，则b>a”是假命题，只需满足b8. (2021河北正定中学高三月考)若实数α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为__________.
解：设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，解得λ＝－1，μ＝2. 所以α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β).
又－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，所以－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，所以1≤α＋3β≤7. 故填[1，7].
【综合运用】
9. (2021赣州市赣县第三中学高一月考)若a－b＞0，则下列不等式一定成立的是 (　　)
A. a2＞b2 B. tana＞tanb
C. lg(a－b)＞0 D. 2a＞2b
解：当a＝2，b＝－3时，满足a－b＞0，但a2＜b2，故A不正确；
当a＝，b＝时，tan＝＞tan＝－，此时tana＜tanb，故B不正确；
当a＝3，b＝2时，满足a－b＞0，但此时lg(a－b)＝0，故C不正确；
因为函数y＝2x在R上单调递增，当a＞b时，一定有2a＞2b成立，故D正确. 故选D.
10. 若实数m，n满足m>n>0，则 (　　)
A. －＜－
B. －＜
C. memD. m2＜mn
解法一：由题意，＜ －＞－，A错误；
－＜，两边均大于0，平方得m＋n－2＜m－n n＜ ＜ m＞n＞0，B正确；
易知f(x)＝xex在(0，＋∞)单调递增，f(m)>f(n)，C错误；
因为m＞n＞0，所以m·m＞mn，即m2＞mn，D错误.
解法二：取m＝2，n＝1，代入各选项验证A，C，D不成立，只有B项成立(－1<). 故选B.
11. (2021江西七校第二次联考)已知a＝0. 8－0. 4，b＝log53，c＝log85，则 (　　)
A. aC. c解：＝＝<＝<1，即b12. 【多选题】(2021重庆八中模拟)已知0A. a＋c>2 B. cba>bca
C. clogab解：由题意得lga＝－lgc＝lg，所以ac＝1，且c>1，02，A正确；
因为＝＝1－a>1，即cba>bca，B正确；
令a＝，c＝2，b＝1，则clogab＝0>blogac，cea＝2>e，C，D错误. 故选AB.
13. (2021广东高三月考)如图，直线x＝m(m>1)依次与曲线y＝logax，y＝logbx及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段AC的中点，则 (　　)
A. 12a－1
C. 12a
解：根据题意，A，B，C三点的坐标分别为A(m，logam)，B(m，logbm)，C(m，0)(m>1)，又B是线段AC的中点，即AB＝BC，所以logam－logbm＝logbm－0，
所以logam＝2logbm＝，所以logab＝2，故b＝a2，又由图知，a，b∈(1，＋∞)，b－(2a－1)＝a2－2a＋1＝(a－1)2>0，所以b>2a－1，A错误，B正确；因为当a>2时，a2>2a，b>2a，当1【拓广探索】
14. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
①男学生人数多于女学生人数；
②女学生人数多于教师人数；
③教师人数的两倍多于男学生人数.
(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为______；
(2)该小组人数的最小值为__________.
解：设男学生人数、女学生人数、教师人数分别为a，b，c，则2c>a>b>c，a，b，c∈N*.
(1)若c＝4，则2c＝8，所以8>a>b>4，当a＝7时，b＝6或5；当a＝6时，b＝5. 所以bmax＝6.
(2)因为2c>a>b>c，a，b，c∈N*，所以c与2c之间至少有两个整数，所以2c－c≥3，所以c≥3，所以cmin＝3. 当c＝3时，有6>a>b>3，此时a＝5，b＝4，所以该小组人数的最小值为a＋b＋c＝12.
故填(1)6；(2)12.

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