资源简介

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1. 1　集合
1. 通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.
2. 针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
3. 在具体情境中，了解全集与空集的含义.
4. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
5. 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.
6. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.
7. 能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
【教材梳理】
1. 元素与集合
(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及其记法：
数集 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集
符号 N N*或(N＋) Z Q R C
2. 集合间的基本关系
文字语言 符号语言 记法
子集 集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素 x∈A x∈B A B(或B A)
真子集 集合A是集合B的子集，但B中存在元素不属于A A B，且 x0∈B，x0 A AB(或BA)
相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 A B，且B A A＝B
空集 不含任何元素的集合 x，x ， A， B(B≠ )
3. 集合的基本运算
文字语言 符号语言 图形语言 记法
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且x A} UA
4. 集合运算性质
(1)并集运算性质：A∪B A；A∪B B；A∪A＝A；A∪ ＝A；A∪B＝B∪A.
(2)交集运算性质：A∩B A；A∩B B；A∩A＝A；A∩ ＝ ；A∩B＝B∩A.
(3)补集运算性质： U( UA)＝A； UU＝ ； U ＝U；A∩( UA)＝ ；A∪( UA)＝U.
(4)重要等价关系：A∩B＝A A B A∪B＝B；A∩B＝A∪B A＝B.
【常用结论】
5. 子集的传递性：A B，B C，则A C.
6. 子集个数：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
7. 元素个数：记含有限个元素的集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).
8. 德摩根定律：又称反演律，即 U(A∪B)＝( UA)∩ ( UB)， U(A∩B)＝( UA)∪( UB).
9. 五个关系式：A B，A∩B＝A，A∪B＝B， UB UA以及A∩( UB)＝ 是两两等价的.
判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
(1)任何一个集合都至少有两个子集. (　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}. (　　)
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1. (　　)
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B) (A∪B)恒成立. (　　)
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C. (　　)
解：(1)×；　(2)×；　(3)×；　(4)√；　(5)×.
(教材练习改编)已知全集U＝{a，b，c，d}，集合M＝{a，c}，则 UM＝ (　　)
A. B. {a，c}
C. {b，d} D. {a，b，c，d}
解： UM＝{b，d}. 故选C.
(教材练习改编)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|2x>4}，则 (　　)
A. A∩B＝{x|x<0} B. A∪B＝R
C. A∪B＝{x|x>1} D. A∩B＝
解：A＝{x|x<1}，B＝{x|2x>4}＝{x|x>2}，
故A∩B＝ ，A∪B＝{x|x<1或x>2}，
故A，B，C都错误，D正确. 故选D.
(教材习题改编)已知集合A＝{x∈Z|3A. B. {5}
C. {4，5，7} D. {5，7，8}
解：由题得A＝{4，5，6，7}，A∩B＝{5，7}，
所以5，7∈B，4，6 B，
所以{4，5，7}一定不是B的子集. 故选C.
考点一　集合的含义与表示
(1)(2020全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为 (　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
解：由题意，A∩B中的元素满足且x，y∈N*，由x＋y＝8≥2x，得x≤4，所以满足x＋y＝8的元素有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，故A∩B中元素的个数为4. 故选C.
(2)【多选题】若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则实数a可能等于 (　　)
A. B.
C. 0 D. 1
解：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.
当a＝0时，x＝，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，所以a的取值为0或. 故选BC.
【点拨】 用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要知道{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的. 弄清代表元素的含义后，再依据元素特征构造关系式解决问题. 题(2)集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论.
(1)(2020西安市长安区第五中学月考)已知集合A＝，则集合A中的元素个数为
(　　)
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解：因为A＝，所以|2－x|≤3，且x≠2，所以－1≤x<2或2(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为 (　　)
A. 3 B. 2
C. 0或3 D. 0或2或3
解：由题意，知2∈A，可得当m＝2时，m2－3m＋2＝0，不满足集合元素的互异性，舍去；当m2－3m＋2＝2，解得m＝3或m＝0.
①当m＝0时，不满足元素的互异性，舍去；
②当m＝3时，此时集合A＝{0，2，3}，符合题意.
故选A.
考点二　集合间的基本关系
(1)(2021河南南阳市南阳中学高一月考)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值的个数为 (　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解：因为A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3，5}，且A∩B＝B，所以B A.
当B＝ 时，则a＝0，此时B A成立；
当B≠ 时，则a≠0，此时B＝{x|ax－1＝0}＝，则有＝3或＝5，解得a＝或a＝，
所以实数a的取值是0或或，
故实数a的值的个数为3. 故选C.
(2)已知a∈R，b∈R，若集合＝{a2，a＋b，0}，则a2 021＋b2 021的值为 (　　)
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解：因为＝{a2，a＋b，0}，
所以解得或
当a＝1时，不满足集合元素的互异性，
故a＝－1，b＝0，a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋02 021＝－1.
故选B.
【点拨】 ①判断集合关系主要有两种方法：一是化简集合，二是列举或数形结合. ②已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，须关注子集是否为空集. 一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性，当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到.
(1)已知集合A＝{－1，a}，B＝{－1，0，a2－a}，且A∪B＝B，则a＝ (　　)
A. 1 B. 0
C. 2 D. 0或2
解：由A∪B＝B，知A B，
当a＝0时，a2－a＝0，B中出现重复元素，故不满足题意；
当a＝a2－a时，a＝0(舍)或a＝2，此时A＝{－1，2}，B＝{－1，0，2}，满足题意.
综上所述，a＝2. 故选C.
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1A. (－∞，2] B. (2，4]
C. [2，4] D. (－∞，4]
解：当B＝ 时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；
当B≠ 时，若B A，如图所示，
则解得2综上，有m≤4. 故选D.
(3)【多选题】已知集合M＝，集合N＝，则 (　　)
A. M∩N≠ B. M N
C. N?M D. M∪N＝N
解：对集合M，有x＝＋＝，k∈Z，对集合N，有x＝－＝，k∈Z，由＝知集合M中的任意一个元素都在集合N中，而当N中元素取时，集合M中不存在该元素，故M∩N≠ 且M N，M∪N＝N. 故选ABD.
考点三　集合的基本运算
命题角度1　交、并、补运算
　　(1)已知集合A＝{x|(x＋2)(x－3)＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩( RB)＝ (　　)
A. [－2，1) B. [1，3]
C. (－∞，－2) D. (－2，1)
解：因为A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，
所以 RB＝{x|x＜1}，A∩( RB)＝(－2，1).
故选D.
(2)(2021重庆实验外国语学校高三开学考试)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，集合B＝{x||x|<2}，则A∩B的子集个数为 (　　)
A. 4 B. 5 C. 7 D. 15
解：因为集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|－2【点拨】 集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩(Venn)图等进行运算，还要注意延伸知识的考查.
(1)记全集U＝R，集合A＝{x||x|≥4}，集合B＝{x|ln(x－1)2≥0}，则( UA)∩B＝ (　　)
A. (2，4] B. (1，4]
C. (－4，0] D. (－4，0]∪[2，4)
解：由|x|≥4得x≤－4或x≥4，则 UA＝(－4，4)，由ln(x－1)2≥0得(x－1)2≥1，解得x≥2或x≤0，则B＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，所以( UA)∩B＝(－4，0]∪[2，4). 故选D.
(2)(2021宜昌英杰学校高三月考)已知集合M＝{x|y＝ln(2－x2)}，N＝，则M∩N＝(　　)
A. {1} B. {－1，0}
C. {－1，0，1} D.
解：由2－x2>0得－命题角度2　由集合的运算求参数
(2021山东师范大学附中模拟)已知集合M＝，N＝{x|xA. (0，1] B. [0，1]
C. (1，2] D. [1，2]
解：由题意得M＝{x∈Z|1≤x<3}＝{1，2}，
由M∩N有且仅有1个元素，可知M∩N＝{1}，可得a∈(1，2]. 故选C.
【点拨】集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍.
集合P＝{x∈R||x－1|<1}，Q＝{x∈R||x－a|≤1}，且P∩Q＝ ，则实数a的取值范围为 (　　)
A. {a|a≥3} B. {a|a≤－1}
C. {a|a≤－1或a≥3} D. {a|－1≤a≤3}
解：P＝{x|0考点四　韦恩(Venn)图及其应用
全集U＝R，集合A＝，集合B＝{x|log2(x－1)>2}，图中阴影部分所表示的集合为 (　　)
A. (－∞，0]∪[4，5]
B. (－∞，0)∪(4，5]
C. (－∞，0)∪[4，5]
D. (－∞，4]∪(5，＋∞)
解：因为集合A＝{x|0≤x<4}，B＝{x|x>5}，
由Venn图可知阴影部分对应的集合为 U(A∪B)，又A∪B＝{x|0≤x<4或x>5}，
所以 U(A∪B)＝(－∞，0)∪[4，5]. 故选C.
【点拨】 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所呈现的集合关系进行运算.
(2021江苏高三单元测试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)<0}，B＝{x||x|≤1}，则图中阴影部分表示的集合是 (　　)
A. (－2，1) B. [－1，0]∪[1，2)
C. (－2，－1)∪[0，1] D. [0，1]
解：A＝{x|－2由图知阴影部分为 U(A∩B)∩(A∪B)(或 A∪B(A∩B))，而A∩B＝{x|－1≤x<0}，A∪B＝{x|－2所以 U(A∩B)＝{x|x<－1或x≥0}，
即 U(A∩B)∩(A∪B)＝{x|－2(原创改编)“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》. 某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位. 则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是 (　　)
A. 0. 1 B. 0. 2
C. 0. 3 D. 0. 4
解：如图，阅读过《大学》且阅读过《论语》的人数是160＋60－180＝40，40－20＝20，故由样本估计总体，可得所求为＝0. 1. 故选A.
【点拨】 较复杂集合关系的分析，常借助韦恩(Venn)图完成，既是直观想象素养的体现，又蕴含了数学建模思维.
(2021年新高考八省模拟演练)已知M，N均为R的子集，且 RM N，则M∪( RN)＝ (　　)
A. B. M
C. N D. R
解：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合 RM，矩形区域CDFG表示集合N，满足 RM N，结合图形可得，M∪( RN)＝M. 故选B.
思想方法·分类与整合在集合中的应用
已知集合A＝{x|1＜ax＜2}，B＝{x|－2＜x＜1}，若A B，则实数a的取值范围为__________.
解：①当a＝0时，A＝ ，满足A B.
②当a＞0时，A＝.
因为A B，所以≤1即a≥2.
③当a＜0时，A＝.
因为A B，所以≥－2，≥0，即a≤－1.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{0}∪[2，＋∞). 故填(－∞，－1]∪{0}∪[2，＋∞).
【点拨】 ①本例是由目标的多种可能性引发的分类与整合. 分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现原问题的解决. 对问题实行分类与整合，其分类标准等于增加了一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解成小问题(或基础性问题)，优化了解题思路，降低了问题难度. 简而言之，分类与整合思想就是化整为零，各个击破，再积零为整的数学思想. ②分类与整合的原则：一是不重复，不遗漏；二是标准统一，分类的对象确定，层次分明；三是能不分类的要尽量避免分类或尽量推迟分类.
已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是__________.
解：因为A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，当a＝0时，方程化为2x＝0，A＝{0}，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋a＝0有两相等实根，Δ＝4－4a2＝0，解得a＝±1，此时A＝{－1}或{1}，符合题意.
综上所述，a＝0或a＝±1. 故填0或±1.
【巩固强化】
1. (2021全国新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2A. {2} B. {2，3}
C. {3，4} D. {2，3，4}
解：由题设有A∩B＝{2，3}. 故选B.
2. (2021全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝ (　　)
A. B. S C. T D. Z
解：任取t∈T，则t＝4n＋1＝2×2n＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T S，因此，S∩T＝T. 故选C.
3. 已知集合M＝{a，2a－1，2a2－1}，若1∈M，则M中所有元素之和为 (　　)
A. 3 B. 1
C. －3 D. －1
解：若a＝1，则2a－1＝1，不满足集合元素的互异性；
若2a－1＝1，则a＝1，不满足集合元素的互异性；
故2a2－1＝1，解得a＝1(舍)或a＝－1，
故M＝{－1，－3，1}，所有元素之和为－3. 故选C.
4. (2020届海南东方市八校高三月考)已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥3}，则图中阴影部分所表示的集合为 (　　)
A. {1，2} B. {4，5}
C. {1，2，3} D. {3，4，5}
解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中的元素，即阴影部分表示的集合为( UB)∩A，
又A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥3}.
因为 UB＝{x|x＜3}，所以( UB)∩A＝{1，2}.
则图中阴影部分表示的集合是{1，2}. 故选A.
5. (2021江西高三期末)已知集合A＝{t|t＝m2，m∈N}，且x∈A，y∈A，则下列结论中正确的是 (　　)
A. x＋y∈A B. x－y∈A
C. xy∈A D. ∈A
解：设x＝m2，y＝n2，m，n∈N，
所以xy＝(mn)2∈N，所以xy∈A. 故选C.
6. 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为 (　　)
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
解法一：集合A＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9个元素.
解法二：A表示由圆x2＋y2＝3内部及边界上所有整数点构成的集合. 如图，则圆内部共有9个满足题意的点. 故选A.
7. 【多选题】已知( RA)∩B＝ ，则下面选项中不成立的是 (　　)
A. A∩B＝A B. A∩B＝B
C. A∪B＝A D. A∪B＝R
解：作Venn图知B A，故A，D不成立. 故选AD.
8. 【多选题】(2021河北邢台高二月考)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1A. ( RA)∪B＝{x|0≤x<3}
B. ( RA)∩B＝{x|1C. A∩{(x，y)|x>3，y>2}＝
D. A∩B是{x|2解：由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}， RA＝{x|0≤x≤2}，所以( RA)∪B＝{x|0≤x<3}，故A正确；( RA)∩B＝{x|13，y>2}＝ ，故C正确；又A∩B＝{x|2【综合运用】
9. (2020全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝ (　　)
A. －4 B. －2
C. 2 D. 4
解：由x2－4≤0，可得A＝，由2x＋a≤0，可得B＝. 因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，故－＝1，解得a＝－2. 故选B.
10. 设集合P＝{m|－1＜m≤0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系成立的是
(　　)
A. PQ B. PQ
C. P＝Q D. P∩Q＝
解：Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，对m分类：①当m＝0时，－4＜0恒成立；②当m＜0时，Δ＝(4m)2－4×m×(－4)＜0，解得－1＜m＜0. 综合①②知－1＜m≤0. 故选C.
11. (2021北京东城区高三月考)某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14，10. 若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是 (　　)
A. 4 B. 5
C. 16 D. 15
解：设仅第一天开车人数为a，仅第二天开车人数为b，两天都开车人数为x，则由图知a＋x＋b＋x＝14＋10，a＋b＋x＝20，两式相减得x＝4，a＋b＝16. 故选C.
12. 已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|1(　　)
A. 　 B.
C. D.
解：由A∩B＝A，得A B. 因为B＝{x|113. 【多选题】(2021雅礼中学高三月考)给出关于满足A B的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是 (　　)
A. 若任取x∈A，则x∈B是必然事件
B. 若任取x A，则x∈B是不可能事件
C. 若任取x∈B，则x∈A是随机事件
D. 若任取x B，则x A是必然事件
解：对于A，由A B知A是B的子集，集合A中的元素全在集合B中，故A正确；
对于B，若x A，则x∈B是有可能的，所以x∈B是可能事件，故B错误；
对于C，任取x∈B，则x不一定是A中的元素，所以x∈A是随机事件，故C正确；
对于D，若x B，则x一定不是A中的元素，所以x A是必然事件，故D正确. 故选ACD.
【拓广探索】
14. 【多选题】(2021江苏高三专题练习)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4. 给出如下四个结论，其中正确的结论是 (　　)
A. 2 021∈[1]
B. －3∈[3]
C. 若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]
D. 若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”
解：对于A，因为2 021＝404×5＋1，所以2 021∈[1]，故A正确；
对于B，因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故B错误；
对于C，若a与b属于同一类，则a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，a－b＝5(n1－n2)∈[0](其中n1，n2∈Z)，故C正确；
对于D，若a－b∈[0]，设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0，1，2，3，4，则a＝5m＋5n＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，所以a与b属于同一类，故D正确. 故选ACD.
D正确. 故选ACD.
PAGE

展开更多......

收起↑