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专题12 二次函数与一元二次方程
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 求抛物线与x轴的交点坐标
1．抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
3．抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（　　）
A．有两个交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
4．抛物线y＝mx2﹣8x﹣8和x轴有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m≥﹣2 C．m≥﹣2且m≠0 D．m＞﹣2且m≠0
5．已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（ ）
A．5 B． C．5或1 D．或
考查题型二 求抛物线与y轴的交点坐标
6．抛物线y＝x2+2的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
7．如图，二次函数的图像交轴于，两点，交轴于，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数y=﹣x2+（3+k）x+2k﹣1的图象与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的范围是（ ）
A．k=3 B．k＜3 C．k＞3 D．以上都不对
考查题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值
9．如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1.
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错
C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
10．已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（　　）
A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5
12．如图，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（实线部分），则新图象与直线的交点个数有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考查题型四 抛物线与x轴的交点问题
13．函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）
A．0 B．0或2 C．0或2或﹣2 D．2或﹣2
14．已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
15．已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞ B．k≥且k≠0 C．k＜ D．k＞且k≠0
16．已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　　)
A． B．
C． D．
17．已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
考查题型五 根据二次函数图像确定方程根的情况
18．抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
19．若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（ ）．
A．， B．， C．， D．，
20．已知函数，其几对对应值如表，判断方程为常数）的根的个数（　　）
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 -0.01 0.02 0.04
A．0 B．1 C．2 D．1或2
21．二次函数y＝x2+bx﹣t的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解，则t的取值范围是（　　）
A．﹣4≤t＜5 B．﹣4≤t＜﹣3 C．t≥﹣4 D．﹣3＜t＜5
考查题型六 求x轴与抛物线的截线长
22．已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
23．如图，抛物线与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（ ）
A．3 B． 3 C． 4 D． 5
24．抛物线在轴上截得的线段长度是（ ）
A． B．2 C． D．
25．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．
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专题12 二次函数与一元二次方程
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 求抛物线与x轴的交点坐标
1．抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【详解】
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为，
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选C．
2．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
【详解】
抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-=-1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜-4或x＞2时，y＜0．
故选A．
3．抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（　　）
A．有两个交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
【详解】
∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴当y＝0时，x＝2或x＝3，
即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），
故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，
故选A．
4．抛物线y＝mx2﹣8x﹣8和x轴有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m≥﹣2 C．m≥﹣2且m≠0 D．m＞﹣2且m≠0
【详解】
解：∵抛物线和轴有交点，
,
解得：且．
故选．
5．已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（ ）
A．5 B． C．5或1 D．或
【详解】
解：比较抛物线与抛物线，
发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，
∵与轴的一个交点是，与轴有两个交点，，
∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=1，
当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=5，
故选：C．
考查题型二 求抛物线与y轴的交点坐标
6．抛物线y＝x2+2的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
【详解】
当x＝0时，y＝x2+2＝2，
∴抛物线y＝x2+2的图象与y轴的交点坐标是（0，2）．
故选D．
7．如图，二次函数的图像交轴于，两点，交轴于，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：在中，当时，、；
当时，；
即、、
故的面积为：；
故选C．
8．二次函数y=﹣x2+（3+k）x+2k﹣1的图象与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的范围是（ ）
A．k=3 B．k＜3 C．k＞3 D．以上都不对
【详解】
由题意二次函数y=﹣x2+（3+k）x+2k﹣1图象全部在（0，5）的上方，可知2k﹣1＞5，根据以上条件从而求出m的取值范围．
解：∵次函数y=﹣x2+（3+k）x+2k﹣1的图象与y轴的交点位于（0，5）上方，
∴2k﹣1＞5，
解得：k＞3．
故选C．
考查题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值
9．如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1.
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错
C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【详解】
当b＝5时，令x（4－x）＝5，整理得：x2－4x＋5＝0，△＝（－4）2－4×5＝－6＜0，因此点P的个数为0，甲的说法正确；
当b＝4时，令x（4－x）＝4，整理得：x2－4x＋4＝0，△＝（－4）2－4×4＝0，因此点P有1个，乙的说法正确；
当b＝3时，令x（4－x）＝3，整理得：x2－4x＋3＝0，△＝（－4）2－4×3＝4＞0，因此点P有2个，丙的说法不正确；
故选：C．
10．已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【详解】
解：如图：
利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个.故选：D.
11．二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（　　）
A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5
【详解】
解：根据题意，得
x2+2x﹣7＝8，
即x2+2x﹣15＝0，
解得x＝3或﹣5，
故选D．
12．如图，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（实线部分），则新图象与直线的交点个数有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【详解】
解：如图，∵抛物线=(x-1)2+7，故顶点为(1，7)
∵将抛物线y=-x2+x+6图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，
∴新图象的顶点坐标为(1，-7)，
∴直线y=-7经过新图象的顶点并另有两个交点，
故新图象与直线y=-7的交点个数是3个，
故选B．
考查题型四 抛物线与x轴的交点问题
13．函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）
A．0 B．0或2 C．0或2或﹣2 D．2或﹣2
【详解】
解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点，
当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2，
由上可得，m的值为0或2或﹣2，
故选：C．
14．已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【详解】
，
抛物线与轴没有公共点，
，解得，
抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，
而当时，随的增大而减小，
，
实数的取值范围是，
故选D．
15．已知二次函数y＝kx2-7x-7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（　　）
A．k＞ B．k≥且k≠0 C．k＜ D．k＞且k≠0
【详解】
∵二次函数的图象与x轴无交点，
∴
即
解得
故选C．
16．已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　　)
A． B．
C． D．
【详解】
解：∵二次函数y=（k-2）2x2+（2k+1）x+1与x轴有交点，
∴△=（2k+1）2-4（k-2）2≥0，解得，
∵（k-2）2≠0，
∴k≠2，
∴k的取值范围为:且．
故选：C．
17．已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【详解】
解：∵直线过一、二、三象限，
∴．
由题意得：，
即，
∵△，
∴此方程有两个不相等的实数解．
∴直线与抛物线的交点个数为2个．
故选：C．
考查题型五 根据二次函数图像确定方程根的情况
18．抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【详解】
∵的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，
∵方程在的范围内有实数根，
当时，，
当时，，
函数在时有最小值2，
∴，
故选A．
19．若二次函数的图象的对称轴是经过点且平行于轴的直线，则关于的方程的解为（ ）．
A．， B．， C．， D．，
【详解】
∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则 = =2，
解得：b= 4，
∴x2+bx=5即为x2 4x 5=0，
则(x 5)(x+1)=0，
解得：x1=5，x2= 1.
故选D.
20．已知函数，其几对对应值如表，判断方程为常数）的根的个数（　　）
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 -0.01 0.02 0.04
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【详解】
解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示：
即图象与x轴交点个数为2个，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
故选C．
21．二次函数y＝x2+bx﹣t的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解，则t的取值范围是（　　）
A．﹣4≤t＜5 B．﹣4≤t＜﹣3 C．t≥﹣4 D．﹣3＜t＜5
【详解】
解：∵抛物线的对称轴x＝＝2，
∴b＝﹣4，
则方程x2+bx﹣t＝0，即x2﹣4x﹣t＝0的解相当于y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，
∵方程x2+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解，
∴当x＝﹣1时，y＝1+4＝5，
当x＝3时，y＝9﹣12＝﹣3，
又∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴当﹣4≤t＜5时，在﹣1＜x＜3的范围内有解．
∴t的取值范围是﹣4≤t＜5，
故选A．
考查题型六 求x轴与抛物线的截线长
22．已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1，0)，则线段AB的长为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】
将点A(1，0)代入y＝x2﹣4x+m，
得到m＝3，
所以y＝x2﹣4x+3，与x轴交于两点，
设A(x1，y1)，b(x2，y2)
∴x2﹣4x+3＝0有两个不等的实数根，
∴x1+x2＝4，x1 x2＝3，
∴AB＝|x1﹣x2|＝ ＝2；
故选B．
23．如图，抛物线与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（ ）
A．3 B． 3 C． 4 D． 5
【详解】
设方程0=-x2-4x+c的两个根为x1和x2，
∴x1+x2=4，x1 x2=-c，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=16+4c，
∵AB的长度即两个根的差的绝对值，即：，
又∵AB=2
∴=2，
解得，k=-3.
故选B．
24．抛物线在轴上截得的线段长度是（ ）
A． B．2 C． D．
【详解】
由解得，，
，
故选：A．
25．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．
【详解】
解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，
当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0，
设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x1，x2，
则x1+x2＝6，x1x2＝，
∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴（x1﹣x2）2＝16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴36﹣4×＝16，
解得，a＝，
故选：D．
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