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2.1　整式
第3课时　多项式
【知识梳理】
1．多项式的有关概念：
(1)多项式：几个________________叫做多项式；
(2)多项式的项：多项式中的每一个________叫做多项式的项，有几项就是几项式；
(3)常数项：多项式中的____________叫做常数项；
(4)多项式的次数：多项式里____________的次数叫做这个多项式的次数．
2．整式：________与________统称整式．
【习题精选】
一、选择题
1.多项式2x5＋4xy3－5x2－1的次数和常数项分别是( )
A.5,－1 B.5,1 C.10,－1 D.4,－1
2.下列关于多项式5mn2－2m2nv－1的说法中,正确的是( )
A.它的最高次项系数是2 B.它的项数为2
C.它是三次多项式 D.它的最高次项是－2m2nv
3.下列说法错误的是(　　)
A.m是单项式也是整式 B.(m－n)是多项式也是整式
C．整式一定是单项式 D．整式不一定是多项式
4.下列各式中,不是整式的是( )
A.6ab B. C.a＋1 D.0
5.在代数式x2＋5,－1,x2－3x＋2,π,,x2＋中,整式有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
6.下列式子：2a2b，3xy－2y2， ，4，－m，，.其中是多项式的有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7.一条河的水流速度是2.5km/h,某船在静水中的速度是vkm/h,则该船在这条河中逆流行驶的速度是( )
A.(v＋2.5)km/h B.(v－2.5)km/h C.(v＋5)km/h D.(v－5)km/h
8.如果整式xn-1－5x＋2是关于x的二次三项式,那么n等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
9.写出一个多项式,使其满足如下三个条件:①只含有一种字母;②常数项是－5;③为二次三项式.下列选项中符合条件的是( )
A.2xy－3y－5 B.2y3－3y－5 C.2x2－3x＋5 D.2x－3x2－5
10.【2021·自贡】已知x2－3x－12＝0，则整式－3x2＋9x＋5的值是(　　)
A．31 B．－31 C．41 D．－41
11.【2021·随州】根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为(　　)
A．100 B．121 C．144 D．169
12.【2021·贺州】如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性(如x必然存在)，互异性(如x≠1，x≠2)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变)．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N.已知集合A＝{1，0，a}，集合B＝，若A＝B，则b－a的值是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
二、填空题
13.多项式3x2y－7x4y2－xy3＋27是　　次　　项式,最高次项的系数是　　.
14.下列各式:①－mn;②m;③;④;⑤2m＋1;⑥;⑦x2＋2x＋.其中整式有　 　.(只填序号)
15.若(a－b)x|a|-|b|+5＋3x3－1是关于x的五次三项式,则＝　　.
16.若多项式(m＋4)x3＋xn-2－5x－6是关于x的二次三项式,则m＋n－|x－2|的最大值为　　.
17.为了美化校园,学校决定修建一块绿地,绿地是长为a米、宽为b米的一个长方形(a＞b),且中央修建了一个直径为d(d＜b)米的圆形喷泉,则需要铺设的绿地面积是 　米2.
18.如图,在一块长为a、宽为2b的长方形铁皮中,以2b为直径分别剪掉两个半圆.用含a,b的式子表示出剩下铁皮的面积为　 　.(结果保留π)
19.某商品的原价是每件x元,在销售时每件加价20元,再降价15%,则现在每件商品的售价是
　 　元.
20.【2020·黔西南州】如图是一个运算程序示意图．若开始输入x的值为625，则第2 020次输出的结果为____．
三、解答题
21.已知多项式－x2ym+1＋xy2－2x3＋8是六次四项式,单项式－xay5-m的次数与该多项式的次数相同,求m,a的值.
22.如图所示,在长和宽分别是a,b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形,折叠后,做成一个无盖的盒子.(单位:cm)
(1)用a,b,x表示纸片剩余部分的面积;
(2)用a,b,x表示盒子的体积;
(3)当a＝10 cm,b＝8 cm且剪去的每一个小正方形的边长为2 cm时,求剪去的每一个小正方形的面积及所做成盒子的体积.
23.已知关于x的多项式3x4－(m＋5)x3＋(n－1)x2－5x＋3不含x3项和x2项，求m＋2n的值．
24.已知关于字母x,y的二次三项式,除常数项－2外,其余各项的系数都是1.
(1)请写出一个符合要求的多项式;
(2)若x,y满足|x＋2|＋(y－1)2＝0,求(1)中多项式的值.
25.【2022·泉州第五中学月考】已知关于x的整式(k2－9)x3＋(k－3)x2－k.
(1)若该整式是二次式，求k2＋2k＋1的值；
(2)若该整式是二项式，求k的值．
26.已知(m＋1)x3－(n－2)x2＋(2m＋5n)x－6是关于x的多项式.
(1)当m,n满足什么条件时,该多项式是关于x的二次多项式
(2)当m,n满足什么条件时,该多项式是关于x的三次二项式
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参考答案
【知识梳理】
1．多项式的有关概念：
(1)多项式：几个__单项式的和__叫做多项式；
(2)多项式的项：多项式中的每一个__单项式__叫做多项式的项，有几项就是几项式；
(3)常数项：多项式中的__不含字母的项__叫做常数项；
(4)多项式的次数：多项式里__次数最高项__的次数叫做这个多项式的次数．
2．整式：__单项式__与__多项式__统称整式．
【习题精选】
一、选择题
1.多项式2x5＋4xy3－5x2－1的次数和常数项分别是( A )
A.5,－1 B.5,1 C.10,－1 D.4,－1
2.下列关于多项式5mn2－2m2nv－1的说法中,正确的是( D )
A.它的最高次项系数是2 B.它的项数为2
C.它是三次多项式 D.它的最高次项是－2m2nv
3.下列说法错误的是(　C　)
A.m是单项式也是整式 B.(m－n)是多项式也是整式
C．整式一定是单项式 D．整式不一定是多项式
4.下列各式中,不是整式的是( B )
A.6ab B. C.a＋1 D.0
5.在代数式x2＋5,－1,x2－3x＋2,π,,x2＋中,整式有( B )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
6.下列式子：2a2b，3xy－2y2， ，4，－m，，.其中是多项式的有(　B　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【点拨】3xy－2y2，，是多项式．
7.一条河的水流速度是2.5km/h,某船在静水中的速度是vkm/h,则该船在这条河中逆流行驶的速度是( B )
A.(v＋2.5)km/h B.(v－2.5)km/h C.(v＋5)km/h D.(v－5)km/h
8.如果整式xn-1－5x＋2是关于x的二次三项式,那么n等于( A )
A.3 B.4 C.5 D.6
9.写出一个多项式,使其满足如下三个条件:①只含有一种字母;②常数项是－5;③为二次三项式.下列选项中符合条件的是( D )
A.2xy－3y－5 B.2y3－3y－5 C.2x2－3x＋5 D.2x－3x2－5
10.【2021·自贡】已知x2－3x－12＝0，则整式－3x2＋9x＋5的值是(　B　)
A．31 B．－31 C．41 D．－41
【点拨】由x2－3x－12＝0得x2－3x＝12.
原式＝－3(x2－3x)＋5＝－3×12＋5＝－36＋5＝－31.
11.【2021·随州】根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为(　B　)
A．100 B．121 C．144 D．169
【点拨】通过观察可得规律：p＝n2，q＝(n＋1)2－1(n为正整数)．因为q＝143，所以(n＋1)2－1＝143，则n＝11.所以p＝n2＝112＝121.
12.【2021·贺州】如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性(如x必然存在)，互异性(如x≠1，x≠2)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变)．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N.已知集合A＝{1，0，a}，集合B＝，若A＝B，则b－a的值是(　C　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
【点拨】因为A＝B，a≠0，≠0，
所以＝0，＝1，|a|＝a或＝0，＝a，|a|＝1.
所以b＝0，a＝1(舍去)或b＝0，a＝－1
(a＝1不合题意，舍去)．
所以b－a＝0－(－1)＝1.
二、填空题
13.多项式3x2y－7x4y2－xy3＋27是　六　次　四　项式,最高次项的系数是　－7　.
14.下列各式:①－mn;②m;③;④;⑤2m＋1;⑥;⑦x2＋2x＋.其中整式有　①②③⑤⑥⑦　.(只填序号)
15.若(a－b)x|a|-|b|+5＋3x3－1是关于x的五次三项式,则＝　1　.
16.若多项式(m＋4)x3＋xn-2－5x－6是关于x的二次三项式,则m＋n－|x－2|的最大值为　0　.
17.为了美化校园,学校决定修建一块绿地,绿地是长为a米、宽为b米的一个长方形(a＞b),且中央修建了一个直径为d(d＜b)米的圆形喷泉,则需要铺设的绿地面积是 　米2.
18.如图,在一块长为a、宽为2b的长方形铁皮中,以2b为直径分别剪掉两个半圆.用含a,b的式子表示出剩下铁皮的面积为　2ab－πb2　.(结果保留π)
19.某商品的原价是每件x元,在销售时每件加价20元,再降价15%,则现在每件商品的售价是　(1－15%)(x＋20)(或0.85x＋17)　元.
20.【2020·黔西南州】如图是一个运算程序示意图．若开始输入x的值为625，则第2 020次输出的结果为____．
【点拨】当x＝625时，x＝125，当x＝125时，x＝25，
当x＝25时，x＝5，当x＝5时，x＝1，
当x＝1时，x＋4＝5，当x＝5时，x＝1，……
以此类推，第2 020次输出的结果为1.
【答案】1
三、解答题
21.已知多项式－x2ym+1＋xy2－2x3＋8是六次四项式,单项式－xay5-m的次数与该多项式的次数相同,求m,a的值.
解:由题意得2＋m＋1＝6,则m＝3.
又因为a＋5－m＝6,所以a＝4.
22.如图所示,在长和宽分别是a,b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形,折叠后,做成一个无盖的盒子.(单位:cm)
(1)用a,b,x表示纸片剩余部分的面积;
(2)用a,b,x表示盒子的体积;
(3)当a＝10 cm,b＝8 cm且剪去的每一个小正方形的边长为2 cm时,求剪去的每一个小正方形的面积及所做成盒子的体积.
解:(1)剩余部分的面积为(ab－4x2)cm2.
(2)盒子的体积为x(a－2x)(b－2x)cm3.
(3)由x＝2,得x2＝4(cm2),
当a＝10,b＝8,x＝2时,x(a－2x)(b－2x)＝48(cm3).
答:剪去的每一个小正方形的面积为4 cm2,所做成盒子的体积为48 cm3.
23.已知关于x的多项式3x4－(m＋5)x3＋(n－1)x2－5x＋3不含x3项和x2项，求m＋2n的值．
解：由题意知－(m＋5)＝0，n－1＝0，
解得m＝－5，n＝1.
所以m＋2n＝－5＋2×1＝－3
24.已知关于字母x,y的二次三项式,除常数项－2外,其余各项的系数都是1.
(1)请写出一个符合要求的多项式;
(2)若x,y满足|x＋2|＋(y－1)2＝0,求(1)中多项式的值.
解:(本题答案不唯一)
(1)xy＋x2－2.
(2)根据题意,得x＝－2,y＝1,
则xy＋x2－2＝－2＋4－2＝0.
25.【2022·泉州第五中学月考】已知关于x的整式(k2－9)x3＋(k－3)x2－k.
(1)若该整式是二次式，求k2＋2k＋1的值；
解：由题意，知k2－9＝0且k－3≠0，
所以k＝－3，此时k2＋2k＋1
＝(－3)2＋2×(－3)＋1
＝4.
(2)若该整式是二项式，求k的值．
解：当k＝0时，原式＝－9x3－3x2，符合题意．
当k2－9＝0时，k＝±3.因为当k＝3时，原式＝－3，不符合题意；当k＝－3时，原式＝－6x2＋3，符合题意．综上，k＝－3或0.
26.已知(m＋1)x3－(n－2)x2＋(2m＋5n)x－6是关于x的多项式.
(1)当m,n满足什么条件时,该多项式是关于x的二次多项式
(2)当m,n满足什么条件时,该多项式是关于x的三次二项式
解:(1)由题意得m＋1＝0且n－2≠0,解得m＝－1,n≠2,
故当m＝－1且n≠2时,该多项式是关于x的二次多项式.
(2)由题意得m＋1≠0,n－2＝0且2m＋5n＝0,
解得m≠－1,n＝2,m＝－5,
故当m＝－5且n＝2时,该多项式是关于x的三次二项式.

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