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第2章
2.2
充分条件、必要条件、充要条件
学习目标
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义与意义.
2.结合具体命题掌握充分条件、必要条件、充要条件的判定和证明.
3.理解性质定理与必要条件的关系，理解判定定理与充分条件的关系，理解数学定义与充要条件的关系.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
一、充分条件和必要条件　
1.推出的含义
一般地，当命题“若p，则q”为真命题时，我们就说“由p可以推出q成立”，记作“pq”，读作“p推出q”；如果命题“若p，则q”为假命题，就说“由p不能推出q成立”，记作“p q”，读作“p不能推出q”.
【说明】对p，q推出关系的举例理解：对于p：x＝1，q：x2-1＝0，显然p可以推出q，记为pq；而q不能推出p，记为q p.
【概念理解】对pq的理解
（1）“若p，则q”形式的命题为真命题.（2）由条件p可以得到结论q.（3）p是q的充分条件.
（4）只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的.（5）q是p的必要条件.
（6）为得到结论q，只要具备条件p就可以推出.
注意：“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即pq，只是说法不同.
2.充分条件与必要条件
一般地，如果“p?q”，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件.
【概念剖析】（1）对充分条件的理解：
①所谓充分，就是条件是充分的，条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的，即“有之必成立，无之未必不成立”.
②充分条件不是唯一的，如“x>2”“x>3”都是“x>0”的充分条件.
（2）对必要条件的理解：
①所谓必要，就是条件是必须要有的，必不可少的，缺其不可，即“有之未必成立，无之必不成立”.
②必要条件不是唯一的，如“x>0”“x>5”等都是“x>9”的必要条件.
【知识拓展】充分条件与必要条件的两个特征
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p?q”，则“q?p”.
②传递性：若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件，
即“p?q且q?r”，则“p?r”（或“p?q且q?r”，则“p?r”）.
示例　指出下列所给的p，q中，p是q的什么条件.
（1）p：x-2＝0；q：（x-2）（x-3）＝0.（2）p：两个三角形相似；q：两个三角形全等.
（3）p：m<-2；q：方程x2-x-m＝0无实根.（4）p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等.
【解】（1）∵ x-2＝0?（x-2）（x-3）＝0，而（x-2）（x-3）＝0x-2＝0，
∴ p是q的充分条件，但不是q的必要条件.
（2）∵ 两个三角形相似两个三角形全等，而两个三角形全等两个三角形相似，
∴ p是q的必要条件，但不是q的充分条件.
（3）∵ m<-2方程x2-x-m＝0无实根，而方程x2-x-m＝0无实根m<-2，
∴ p是q的充分条件，但不是q的必要条件.
（4）∵ 四边形是矩形四边形的对角线相等，而四边形的对角线相等四边形是矩形，
∴ p是q的充分条件，但不是q的必要条件.
二、充要条件
如果p?q，且q?p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p.
为了方便起见，如果p是q的充要条件，就记作p?q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”.
【提示】p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等.例如“|x-2|≤3”是“-1≤x≤5”的充要条件，因为由|x-2|≤3可得-1≤x≤5.
【概念理解】
（1）p是q的充要条件意味着“若p成立，则q一定成立；若p不成立，则q一定不成立”.
（2）① p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
② p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
（3）传递性：若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件，即“p?q且q?r”，则“p?r”.
【示例】下列所给出的p，q中，p是q的充要条件的是　　　　（填序号）.
① p：c＝0，q：函数f（x）＝ax2+bx+c的图象过原点；② p：x>0，y>0，q：xy>0；③ p：a>b，q：a+c>b+c.
【解析】在①③中，pq，所以①③中p是q的充要条件.
在②中，pq，q p，所以②中p不是q的充要条件.
①③
【方法归纳】若pq，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，qp，则p是q的必要不充分条件；
若pq，q p，则p是q的充要条件；若pq，q p，则p是q的既不充分也不必要条件.
三、判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系
（1）性质定理具有“必要性”
一般地，数学的每一条性质定理都给出了对应数学结论成立的一个必要条件.
如：全等三角形的对应角相等（若两个三角形是全等三角形，则这两个三角形的对应角相等）.
（2）判定定理具有“充分性”
一般地，数学的每一条判定定理都给出了对应数学结论成立的一个充分条件.
如：两组对角相等的四边形是平行四边形（若四边形是平行四边形，则四边形的两组对角相等）.
（3）数学定义具有“充分必要性”
一个数学对象的定义实质上是给出了这个对象的一个充要条件.
如：三条边相等的三角形是等边三角形（三角形的三条边相等?三角形是等边三角形）.
四、从集合的角度看充分条件、必要条件
如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表.
记法 A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）} 关系 AB B?A A＝B AB且BA
图示
结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
【巧记】对具体的数集，以条件集合为基础，小充分，大必要.
【示例】已知p：x≤-1或x≥3，q：x>5，则p是q的（　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由{x|x>5}是{x|x≤-1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件.
【点拨】小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围，即小大，大小.
B
典例剖析
一、充分条件、必要条件、充要条件的判断
1.利用定义进行判断
例 1 设a，b∈R，则“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可.
【解】若a＝0，b＝1，满足a若（a-b）a2<0，则a故“aB
【方法总结】利用定义判断充要关系的步骤
①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系.
2.利用集合法判断充要关系
例 2 设a∈R，则“a>2”是“a2>4”的（　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【方法技巧】利用集合法时，首先要写出集合A＝{x|p（x）}及B＝{x|q（x）}，然后利用集合之间的包含关系加以判断.用集合法判断时，可以结合Venn图、数轴等解题.
A
【分析】先化简并把两个范围写成数集，再根据集合之间的关系判断.
【解】 若a2>4，则a>2或a<-2.
设A＝（2，+∞），B＝（-∞，-2）∪（2，+∞）.
因为AB，所以“a>2”是“a2>4”的充分不必要条件.
3.传递法
例 3 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件.那么：
（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？
【解】根据题意画图，如图所示.
（1）因为q?s，s?r?q，所以s是q的充要条件.
（2）因为r?q，q?s?r，所以r是q的充要条件.
（3）因为q?s?r?p，pq，所以p是q的必要不充分条件.
【方法技巧】若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断.
4.利用特殊值法判断
例 4 [多选题]已知a，b，c是实数，下列结论正确的有（　）
A.“a2>b2”是“a>b”的充分条件 B.“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C.“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件 D.“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件
【方法技巧】对于选择题或填空题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件（结论）不能推出结论（条件），但是这种方法不适用于证明题.
【解析】对于A，当a＝-5，b＝1时，满足a2>b2，但是a对于B，当a＝1，b＝-2时，满足a>b，但是a2对于C，由ac2>bc2得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故C正确.
对于D，当a＝-5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是a当a＝1，b＝-2时，满足a>b，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故D正确.
故选CD.
CD
二、由充分条件、必要条件、充要条件求参数
例 5 已知p：关于x的方程x2-（3m-2）x+2m2-m-3＝0有两个大于1的实数根.
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围.
（2）若q：3-a【解】（1）由x2-（3m-2）x+2m2-m-3＝0，得［x-（m+1）］［x-（2m-3）］＝0，所以x＝m+1或x＝2m-3.
因为p为真命题，所以解得m>2.故m的取值范围为{m|m>2}.
（2）存在.设集合A＝{m|m>2}，集合B＝{m|3-a当B＝?时，3-a≥3+a，解得a≤0；
当B≠?时， 解得0综上，存在实数a满足条件，a的取值范围为{a|a≤1}.
【方法技巧】根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围的步骤
（1）记集合M＝{x|p（x）}，N＝{x|q（x）}.
（2）根据题中条件将问题转化为集合之间的关系：
若p是q的充分不必要条件，则M?N；若p是q的必要不充分条件，则N?M；若p是q的充要条件，则M＝N.
（3）根据集合间的关系列关于参数的不等式（组）.
（4）解不等式（组）即可得参数的取值范围.
三、充要条件的探求与证明
1充要条件的探求
例 6 若集合A＝{x|x>-2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
（1）“A∪B＝R”的一个充要条件；（2）“A∪B＝R”的一个必要不充分条件；
（3）“A∪B＝R”的一个充分不必要条件.
【方法总结】探求充要条件的两种方法
（1）探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论（设为B），再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明.
（2）将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件.
【解】集合A＝{x|x>-2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，
（1）若A∪B＝R，则b≥-2，故“A∪B＝R”的一个充要条件是“b≥-2”.
（2）由（1）知A∪B＝R的一个充要条件是b≥-2，所以“A∪B＝R”的一个必要不充分条件可以是“b≥-3”.
（3）由（1）知A∪B＝R的一个充要条件是b≥-2，所以“A∪B＝R”的一个充分不必要条件可以是“b≥-1”.
2.充要条件的证明
例 7 已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：“<”的充要条件是“xy>0”.
【证明】（方法1）充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
必要性：由<，得-<0，即<0.
因为x>y，所以y-x<0，所以xy>0.所以“<”的充要条件是“xy>0”.
（方法2）<-<0<0.
由条件x>y?y-x<0，故由<0xy>0.所以0，即“<”的充要条件是“xy>0”.
【方法归纳】充要条件的证明思路
（1）根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明.一般地，证明“p成立的充要条件为q”：
①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提，推出p；
②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提，推出q.
解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求.
（2）在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性（），也可以直接证明充要性.
1. “a>2，b>2”是“a+b>4，ab>4”的（　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2. 若集合A＝{2，4}，B＝{1，m2}，则“A∩B＝{4}”是“m＝2”的（　）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 使a>0，b>0成立的一个必要不充分条件是（　）
a+b>0 B. a-b>0 C. ab>1 D. >1
4. 设集合A＝{x|x>-1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x?B”成立的一个充要条件是（　）
A. -1-1 D. -1D
随堂小测
B
A
A
5. ［多选题］对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中是真命题的有（　）
A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C.“a<5”是“a<3”的必要条件 D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
6. 王安石在《游褒禅山记》中写到“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是“到达奇伟、瑰怪，非常之观”的　　　 　条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
7. 已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的　 　　　条件.
CD
必要不充分
充分不必要
谢 谢！

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