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第二讲 方程
知识要点
一、代数方程分类：
①整式方程；②分式方程；③无理方程.
二、解方程的基本思想：
①化分式方程为整式方程；
②化高次方程为一次或二次方程；
③化多元为一元；
④化无理方程为有理方程.
总之，最后转化为一元一次方程或一元二次方程.
三、解方程的基本方法：
①解整式方程：一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等），降次（换元降次、因式分解降次、辅助式降次等）等方法.
②解分式方程：一般采用去分母，换元法，重组法，两边夹等方法.
③解无理方程：一般采用两边平方，根式的定义、性质、换元，几何构造，构造三角函数.
四、二次方程中的韦达定理：
我们一般在初二的时候学习韦达定理，利用韦达定理可以解决很多根与系数方面的问题，韦达定理（根与系数的关系）
若一元二次方程的两根为、，则，.
各位同学，还记得推导过程吗？
证法一：（求根公式推导）
一元二次方程的求根公式是
.
则，.
证法二：（待定系数法）
若一元二次方程的两根为、，那么方程可以表示为系数一一对应，就可以得到，.
例题精讲
已知关于的方程有无穷多个解，那么、值应分别为__________.
方程的实数解的个数是__________.
求方程全部相异实根.
解方程组
设、为方程的两个实根，求的最大值与最小值.
若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值.
关于的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值.
关于的方程的四根成等差数列，求方程的解.
若
那么，的值为__________.
设、、分别为的三边，求证：关于的二次方程无实根.
解无理方程：.
习题巩固
方程的正整数解共有多少对？
解方程组：
求所有正实数，使得方程仅有整数根.
是否存在质数、，使得关于的一元二次方程有有理数根？
求所有有理数，使得方程的所有根为整数.
设方程的根、也是方程的根，试求整数、的值.
设与为方程的两个实根，与为方程的两个实根.求证：
.
设、、是方程的三个根，求的值.
已知为质数，使二次方程的两根都是整数，求出所有可能的的值.
已知方程有两个整数根，求的值.
已知关于的二次方程至少有一个整数根，求负整数的值.
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若方程有4个非零实数根，且它们的数轴上对应的4个点等距离排列，求的值.
解方程组
参考答案
例题精讲
因为关于的方程，即有无穷多个解.
所以可得
当时，原方程化为，解得（舍去），所以方程无解；
当时，原方程化为，解得，所以；
当时，原方程化为，解得为任意实数，所以；
当时，原方程化为，解得（舍去），所以方程无解.
综上所述，原方程的解为；那么实数解的个数是无数个.
设，则原方程化为
，
则 ，
即 ，
即 ，
可得 或.
因此有 ，
或 .
则 或.
因此 或，
可得 或或.
所以，原方程的根为，，，，.
原方程组化为
令，则
，得
由分别减去、、得
，得
由分别除以、、得
所以，解得.
所以原方程组的解为
因为关于的一元二次方程有两个实根，所以
，
可得.
由韦达定理，得，所以
.
当时，；
当时，.
原方程变形、因式分解为
，
.
即，.
由为正整数得1，2，3，5，11；由为正整数得2，3，4，7.
所以2，3使得、同时为正整数，但当时，，与题目不符，所以只有为所求.
一元二次方程的整数解的典型难题，由根为整数无法得知实数是否为整数，解题的基本思路是消去实数，得到关于整数解、的典型方程.
由可知，
，
故，.（由题意可知，且）
因为，，于是有，，两式相减可得，，则.故，从而可知，
或或或
又且，故
或或
故，，.
注：得出，后，直接有，；，，，由于上述两个等式是同时成立的，故这样的只能取，.此法不严密，如果是整数，此法可用，如果不是，就不能用.
首先我们推导一下四次方程的韦达定理.
设4个根分别为：、、、，则有，展开：
，
，
，
根据韦达定理（根与系数的关系）有：为项的系数；
为项的系数；
为项的系数；
为常数项.
下面我们来解答这道试题.
根据题意，设根为，，，，那么根据推导的韦达定理有：
；（项根与系数的关系）
；（常数项根与系数的关系）
上面两个式子化简，得，即，代入第二个式子得
，
则，即，可知或（舍）.
又，所以，从而，.
故原方程的解为，，，.
注：有兴趣的同学可以尝试求出、.
已知条件的结构特征，可构造一个关于的方程
，
则、、、是关于的方程的根.
将化为整式方程，得
.
由一元次方程的根与系数的关系，得
.
所以.
关于的二次方程的判别式为
.
因为在三角形中两边之和大于第三边，即，，，所以，，.
因为，所以.
所以关于的二次方程无实根.
（法一）设，，原方程化为，因为，又因为
，
所以.
所以、是二次方程的两个根，而，或；
所以或所以或.
经检验，，是原方程的根.
（法二）原方程化为.
设，，所以原方程化为.
因为，所以，
即
，
，
，
，
解得或；经检验，，是原方程的根.
习题巩固
本题利用因式分解比较复杂，不易得出，注意到的最高次数是一次，用来表示，题目迎刃而解.
.
由、均为正整数，可得，5，401，2005.所以方程共有四对正整数解.
得，即
，，或.
（1）当时，，代入②和③，得
由④－⑤得，，解得或.
若，代入④，得，，或.
所以，或，
若，则代入①，得，无实数解.
（2）当时，，代入②和③，得
，
.
由⑥－⑦得，，解得或.
若，代入⑥，得，，或.
所以或
16，18，25
本题虽然形式上是有理数根的问题，但是因为、都是整数，则也为整数，要求方程有有理数根，那么为平方数 ，和例题3、例题4的本质相同.
令，其中是一个非负整数，则.
由于，且与同奇偶，故同为偶数.因此，有如下几种可能情形：
消去，解得，，，，.
对于第1、3种情形，，从而，对于第2、5种情形，，从而（不合题意，舍去），对于第4种情形，是合数（不合题意，舍去）.
又当，时，方程为，它的根为，，它们都是有理数.
综上所述，存在满足题设的质数.
首先对和进行讨论.时.原方程是关于的一次方程，时，原方程是关于的二次方程，由于是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或判别式来做，均不能奏效.可用韦达定理，先把这个有理数消去.
当时，原方程为，所以.
当时，原方程是关于的一元二次方程，设它的两个整数根为、，且，
则消去得或即或所以或1.
综上所述，当，0，1时，方程的所有根都是整数.
因为、是方程的两个根，，所以由韦达定理，得，，，从而
，
因为、是方程的根，所以
因为，所以
由韦达定理，得，，，因为
，
，
又因为与为方程的两个实根，所以，即，所以
，
，
所以
.
因为三次方程没有项，所以它的所有根之和为0，即..故
.
由于为方程的根，故.
对和也有同样的式子，所以
.
故
.
因此.
典型的方程整数解问题，注意充分利用是质数这个条件.
由于这个整系数一元二次方程有整数根，所以
是完全平方数，从而是完全平方数.令，是整数，则.所以，，即或.
若，令，则，由于是质数，故，，此时方程为，，满足条件.
若，令，则，故，此时方程为，，满足条件.
综上所述，所求的质数为3或7.
原方程整理为.
设、为方程的两个整数根，由韦达定理，，所以，为整数.所以、均为整数，所以，所以.
或.
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（法一）令，则原方程为，整理的，则由求根公式和题意得，所以四个非零实数根分别为
，，
，.
由题意它们在数轴上对应的点等距离排列，所以得到，化简得.
（法二）由题意，4个非零实数根在数轴上对应的4个等距点中有两对关于原点对称，则可令
，
即，于是有解得.
原方程组变为
即
可得，
即，
当时，原方程组变为
解得
同理，当时，有

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