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1.1.2 空间向量的数量积运算
一．知识梳理
(1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝____.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)＝________；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).
两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b _______
②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________. 特别地，a·a＝____或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______
④|a·b|≤|a|·|b|
二每日一练
一、单选题
1．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：
①；②；③；④.
其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则，且是l⊥α的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若均为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．不能确定
5．如图，面，为矩形，连接 ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
6．设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（ ）
A．7 B． C．23 D．11
7．已知非零向量不平行，且，则与之间的关系是（ ）
A．垂直 B．同向共线
C．反向共线 D．以上都可能
8．在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=，各棱长均为1.则下列命题中正确的是（ ）
A．不是空间的一个基底 B．
C． D．BD⊥平面ACC1A1
10．若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是正方体，以下正确命题有（ ）
A．；
B．；
C．向量与向量的夹角为；
D．正方体的体积为.
12．(多选)设是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若平面向量为单位向量，， 空间向量满足，，，则对任意的实数，的最小值为___________．
14．已知，，，则________．
15．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E1，F1两点分别在A1B1，C1D1上，且
E1B1＝A1B1，D1F1＝D1C1，求BE1与DF1所成角的余弦值．
16．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，则___________.
四、解答题
17．如图，在平行四边形中，，，，沿着它的对角线将折起，使与成角，求此时，之间的距离．
18．三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设.
（1）试用表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长.
19．如图所示，在平行六面体中，AB＝AD＝A＝1，∠AD＝∠AB＝∠BAD＝60°，求：
（1）A的长；
（2）B的长.
20．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6．求PC的长．
21．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值．
22．如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心．
试卷第1页，总3页
参考答案
|λ||a|；(λμ)a；λa＋λb；λ1a＋λ2a；；a·b＝0；|a|·|b|；－|a|·|b|；|a|2
1．B对于①，，①正确；对于②，向量不能作比值，即错误，②错误；对于③，设、的夹角为，则，③错误；对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确.
2．B若l⊥平面α，则，，所以，；反之，若，则，，并不能保证l⊥平面α．
3．A解：，所以与的夹角为，　所以与共线，反之不成立，因为当与共线反向时，．所以“”是“与共线”的充分不必要条件，
4．B如图所示，由三角形中位线的性质可,.
所以四边形EFGH是平行四边形，因为，
所以 .
5．A由面，为矩形，
A：面，则，而与不一定垂直，不一定有面，故不一定与垂直，所以与数量积不一定为0，符合题意；
B：由A知，又且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意；
C：由上易知，又 且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意；
D：由上知，而，所以，即与数量积为0，不合题意；
6．B解：因为为空间的一个标准正交基底，所以，所以
．
7．A因为，所以与垂直．
8．B．
9．ACD对于A，由，所以向量共面，所以不是空间的一个基底，故A正确；所以，故B错误；
对于C，
，
所以，故C正确；
对于D，连接交于点O，连接,由题意可得四边形为菱形，，所以，，由可得BD⊥平面ACC1A1，故D正确.
10．ABD由向量加法的平行四边形法则，只有，即时，都有，A不成立；由数量积的运算律有，，与不一定相等，B不成立；向量数乘法则，C一定成立；只有共线且时，才存在，使得，D这成立．
11．ABA：两两垂直，且，所以，正确；
B：由，所以，正确；C：由正方体性质知：面，而面，即，即向量与向量的夹角为，错误；
D：由图知：，正方体的体积不为，错误；
12．BD解析：因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D运算正确．
13．
即，当且仅当取等号即的最小值为
14．22因为，
所以,，故．
15．设，，则，且．由题意知，
，
所以,所以BE1与DF1所成角的余弦值为．
16．设，则且两两夹角为
所以 ，
所以
17．或因为，所以，．
因为与成角，所以或．
因为，所以，
所以．
当时，，即；
当时，，．
综上，可知，之间的距离为或．
18．（1）；（2）.
（1）由题图知，而，，，
（2）由题设条件知，，
∴，由（1）知，
19．（1）；（2）.
（1
＝1＋1＋1＋2×1×1×＋2×1×1×＋2×1×1×＝6.
∴A＝＝.
（2）)
＝1＋1＋1＋2×1×1×(－)＋2×1×1×＋2×1×1×(－)＝2.∴＝.
20．7解：因为，所以
，所以．故PC的长为7．
21．
∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为
22．证明见解析∵，∴，，，平面，∴．由题意可知，平面，
∴，，，∴，
∴．同理可证，．∴是的垂心．

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