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第五讲 圆
知识要点
在自招考试中，对于拓展Ⅱ教材中的知识点必须掌握．处理圆中比例线段的问题，通常用到圆幂定理．圆幂定理是初中几何中最重要的定理之一．相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理．
相交弦定理：圆的弦相交于圆内的一点，各弦被这点内分（分点在线段内）成的两条线段长的乘积相等．即如图5-1所示，有．
切割线定理：圆的弦延长相交于圆外一点，各弦被这点外分（分点在线段的延长线上）成的两线段长的乘积相等，并且等于这点到圆的切线长的平方．即如图5-2所示，有．
例题精讲
1. 如图5-3，是的切线．从的中点作割线，分别交于点、，连结、，分别交于点、．求证：．
2. 如图5-4，四边形内接于以为直径的半圆，且，、的延长线相交于点．，，已知，求的长
3. 已知为等腰底边的中点，以点为圆心作半圆与两腰相切于点、 ，过半圆上任一点作半圆的切线，分别交、于点、，求的值．
4. 如图5-7，正中与平行的中位线和的外接圆弧交于，和交于点，求．
5. 如图5-9，过的顶点、分别作其外接圆的切线、交于点，连结 分别交的边及其外接圆于点、．求证：．
6. 如图5-10，的弦，垂足为，以为一边作正方形，点在上．若的半径等于10，弦的弦心距为5，求正方形的边长．
7. 如图5-12，甲、乙两名滑冰运动员分别在圆形滑冰场的点、处，，，且，乙以的速度从点沿着圆形滑冰场边顺时针方向滑行，在乙离开点的同时，甲以的速度也从点沿着一条直线滑行，这条直线能使甲、乙在给定的速度下最早相遇．则最早相遇的时间在（ ）内．
A． B． C． D．
8. 如图5-14，与外切于点，、的半径分别为2、1，为的切线，为的直径，分别交、于点、．求的值．
9. 如图5-16，已知是以为直径的半圆上一点，于点，半圆、分别以、为直径，、均与半圆内切，亦与相切，并分别与半圆、相外切．若、的面积之和为，则的值为多少？
习题巩固
10. 已知四边形内接于直径为3的圆，对角线和的交点是，是直径，，且，求四边形的周长．
11. 如图，已知圆的直径上有两定点、和圆心等距离，是圆周上任意一点，连结、分别延长交圆于点、，求证：是定．
12. 如图，在以为圆心的两个同心圆中，、是大圆上任意两点，过、作小圆的割线和．求证：．
13. 如图，已知的弦、相交于点，，，，切于点，与的延长线交于点，，求的长．
14. 在中，已知，，，为内角平分线，以为弦作一圆与相切，且与、分别交于点、，求的．
15. 如图所示，若，，与交于点，且，，求．
16. 两个角的边交于点、、、．已知，这两个角的平分线互相垂直，证明：点、、、四点共圆．
17. 如图所示，如果凸五边形中，且．求证：．
18. 如图所示，在锐角中，，垂足为点；，垂足为点；，垂足为点．若点为的外心，求证：．
19. 如图所示，的外接圆半径为，，垂足为点；，垂足为点；，垂足为点．求证：．
20. 如图，在筝形中，，，的平分线交于点．已知、、、四点共圆．则的度数是多少？
21. 如图，已知与相离，自点向作切线、（、为切点）分别交于点、；自点向作切线、（、为切点）分别交于点、．假定、两点在连心线的同侧．求证：．
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22. 如图所示，在梯形中，，，，，且 ，求的长．
23. 如图，切于点，点是的中点，弦，的延长线交于点，于点，连结，是的中点．已知，．求的长．
参考答案
1. 因为是的切线，是的切线，是的割线，所以．
又因为为的中点，所以，所以，即．
又因为，所以∽．所以．
因为，则，所以，所以．
2. 注意到，所以∽，
因此只需求出与半径之间的关系．
因为，所以所对的圆心角等于所对的圆周角，即．
利用平行线分线段成比例以及圆幂定理可以联立解得与半径之比．
如图5-5，连结、．设半径为．
因为的，所以，所以．
设，则．所以．
由切割线定理有：，即．
所以，所以．所以．
因为，，所以∽．
所以．
又因为，所以．
3. 如图5-6，连结、、、、．
由切线的性质得，，，
且由切线长定理得，，
所以，，，
所以．
因为，所以，所以∽．
所以，即，
所以．
4. 如图5-8，设、分别为、中点，两端延长，交圆于点，，易见．设，．
则由相交弦定理有，解得．
由，知，
，，
于是．
5. 因为、是的切线，所以∽，∽．
故，．
又，则，即．
由于∽，∽，
从而，，．
两式相乘得．
所以，．
6. 如图5-11，作于点，交于点，作于点，连结、．
易知，，．
不妨设正方形的边长为，则．
由相交弦定理得，即， ①
又． ②
将式②代入式①并化简整理得
．
因为，取，所以，正方形的边长为．
7. 答案：C
如图5-13，射线、分别交于点、．
在上依次取点、．、分别交于点、，过点分别作弦、的垂线，垂足分别为、．
设交于点．则．
故． ①
由相交弦定理知．
则
．
显然，，．
故． ②
①＋②得．
由点、的任意性得．
设甲、乙最早相遇的时间为．此时，乙的位置为点．设的中点为．
由，得．则乙至少滑行了．
又，故乙在时间时已滑过了点．则
．
于是，．因此，乙至少滑行了．
由，知乙在时间时已滑过了点．
又，故甲沿直线滑到弧上任一点（除点外）所用时间小于．
从而，．所以，答案为．
8. 如图5-15，连结，则过点．连结并延长交于点．
因为，且为中点，所以，为的重心．
又过点，则，且为的中点．
由，知．即．
又四边形为圆内接四边形，则．
故∽
．
由，有．令．则．
又，故．
解得．
所以，，．
则．
9. 如图5-17，设、、、、的半径分别为、、、、，与切于点，过点作于点，连结、、．
易知，四边形是矩形，则．
故．
在和中，，
即．
故．
同理，．
由题设知．则．
故．
习题巩固
10. 如图，连结并延长交于点，则为中点，，
易证∽，则，
故，．
又．故，．
而，即．所以．
又，即，所以．
而，，，所以．
又，所以．
故四边形的周长为．
11. 连结，本题中、是定点，由相交弦定理是定值，是定值，
又因为、在一个三角形内，满足一定的数量关系，故取、为变参量．
设，，圆半径为（常量），（常量）．
根据相交弦定理得．
所以．
同理可证．
在中，是上中线，且，
所以定值．
12. 设大圆半径为，小圆半径为，由圆幂定理得．
13. 因为弦、交于点，所以由相交弦定理得．
因为，，，所以．
因为为切线，由切割线定理得：
．
因为，所以，（舍去），
所以．
14. 如图，连结．
由，得．则∽．
易知，．
又，因此，．
15. 以为圆心，以为半径作圆，则该圆过、，且在圆上．
延长交圆于另一点．
由相交弦定理知．
16. 依题意，，，是的外心，
所以，
因为，所以，．
又与是对顶角，
因此，是的外角．
所以．
于是，
所以、、、四点共圆．
17. 如图，连结．
因为（已知），所以、、、四点共圆，
故，又有、、、四点共圆．
于是．
在与中，因为（已知），（已证），
且三角形内角和为，所以．
说明 其实，当证得、、、也四点共圆之后，推得：．
18. 如图，延长交于点，连结．
由“双垂直模型”可知，
而由、、、四点共圆可知，
由、、、四点共圆可知，从而，故得证．
19. 由“双垂直模型”可知，而由、、、四点共圆可知，从而．
由∽可知（注意到是、、、的直径即可），
从而．
20. 如图，连结交于点．
设、交于点，作点关于的对称点．
易知在线段上．连结、．
由 、、、四点共圆知．
由
，
知，则．
又，则、、、四点共圆．
由，知．
所以，．
从而，，即．
因此，．
21. 证法一：如图，连结、、、、．
因为切于点，切于点，所以．
于是，、、、四点共圆．
因此，，．
在等腰与中，易知．
所以，、、、四点共圆．
于是，．从而，．
同理，．故．
证法二：如图，过、分别向连心线引垂线，垂足分别为、，连结、．
由，
得∽．
同理，∽．
由，，知，所以，，
同理，．故．
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22. 如图，作点关于的对称点，连结、、．设与交于点．
由，知点、到的距离相等．则．
设，．
由，得．
故、、、四点共圆．
由，得．
故．
又∽．
故．
由角平分线的性质得．
又因为，
所以，，．
于是，由，解得．故．
23. 如图，延长、交于点．易知是半圆．连结，则是的直径．
由，≌．
又，则．
由得．
于是，．
由切割线定理得．
由勾股定理得．
易知∽．所以，．
于是，，即．

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