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人教A版（2019）必修第一册 5.5 三角恒等变换 同步练习
一、单选题
1．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C．， D．
4．已知，且，则（ ）
A． B． C．7 D．
5．已知函数，且图象的相邻对称轴之间的距离为，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，已知，其中（其中），若为定值，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
12．若，，则等于（ ）．
A． B． C．或 D．或
13．若，，，，则
A． B． C． D．
14．若，则（ ）
A． B． C． D．
15．的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．______.
17．若，，则___________.
18．函数的最小值为___________．
三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）．
20．已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的值域．
（Ⅱ）在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，，且，求面积的最大值．
21．已知，，求的值.
22．已知函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）将图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，然后再向左平移个单位得到，若，，求的值．
参考答案：
1．A
对于化简可得，再由可得的值，从而可求出的值
【详解】
解：，，
，
.
，
.
.
故选：A.
2．B
先将函数转化为，再根据，利用余弦函数的性质求解.
【详解】
函数
因为，
所以，
，
所以函数的值域为，
故选：B
3．C
利用三角恒等变换得到，再计算单调区间得到答案.
【详解】
，
取，，解得，.
故选：C.
4．A
由题意化简得，平方求得，进而求得，联立方程组，求得，得到，结合两角和的正切公式，即可求解.
【详解】
由，可得，
两边平方得，可得，
因为，所以，所以，
所以，所以，
联立方程组，可得，所以，
所以.
故选：A.
5．D
先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值.
【详解】
因为
，
由题意知的最小正周期为，所以，即，
所以，
当时，，
所以，
因此，
所以函数的最小值为．
故选：D.
6．D
根据诱导公式，先得到，再由二倍角公式与诱导公式，即可得出结果.
【详解】
由可得，
所以.
故选：D.
7．A
，化简得，再由为定值，化简得到恒成立，列出方程组，即可求解.
【详解】
由，可得，，
因为，得，
即，
又由
（定值），
即，
即恒成立，
可得，解得，.
故选：A．
方法点拨：解答中把为定值，利用三角函数的基本关系式和题设条件，转化为恒成立，结合多项式相等的条件，列出方程组是解答的关键.
8．D
先由已知求出，而，从而可求得答案
【详解】
因为，
所以，
故选：D.
9．C
先化简函数解析式，由得，求得，利用正弦函数图象的性质可得或 ，求解即可.
【详解】
．
由得，，
∵函数在区间内没有零点，且，
∴或 ，
解得或，
则的取值范围是.
故选：．
10．B
根据正切值求得正弦、余弦值，从而求得二倍角的正弦值.
【详解】
由知，，或，，
则，
故选：B
11．D
由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】
因为，
由正弦定理可得，
则有，
由的内角为锐角，
可得，
，
由余弦定理可得
因此有
故选：D.
方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
12．D
先逆用正弦和差公式，再结合角的范围即可求解.
【详解】
，又，
所以或.
故选：D
13．D
利用同角三角函数的平方关系求得、的值，利用两角差的余弦公式可求得的值.
【详解】
，，则，，
，，
因此，.
故选：D.
本题考查利用两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.
14．A
由二倍角正弦公式和同角关系将转化为含的表达式，由此可得其值.
【详解】
．
故选：A.
15．B
直接利用两角和的余弦公式即可得出答案.
【详解】
解：
.
故选：B.
16．4
把原式的一四项结合，二三项结合，利用以及两角和的正切函数公式，分别化简后，即可求出结果．
【详解】
解：根据
得到，
可得
同理得到，
；
故答案为：4
17．
由余弦的和差角公式得，，进而得
【详解】
解：因为，所以.
因为，所以，
所以，，
所以.
故答案为：
18．.
本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.
【详解】
，
，当时，，
故函数的最小值为．
解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
19．（1）； （2）0.
（1）根据，结合两角和与差的正弦公式化简即可求得答案.
（2）根据两角和与差的正切公式求得，进而代入化简即可得出答案.
【详解】
解：（1）由
．
；
（2）由，
可得，
所以
，
故原式.
本题考查三角函数的化简求值，涉及两角和与差的正弦公式和两角和与差的正切公式的应用，考查化简求值能力.
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）
（Ⅰ）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数在区间，上的值域；
（Ⅱ）先求出，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得面积的最大值．
【详解】
解：（Ⅰ）
，
由，有，所以
函数的值域为．
（Ⅱ）由，有，
为锐角，，．
，由余弦定理得：，
，．
，
当，即为正三角形时，的面积有最大值．
21．
由二倍角的正弦公式得出，利用平方关系以及商数关系化简得出的值.
【详解】
由，且，可得.又由，
得，所以.
本题主要考查了利用二倍角的正弦公式，平方关系，商数关系化简求值，属于基础题.
22．（1）；（2）．
（1）首先可通过转化得出，然后根据正弦函数的性质即可得出结果；
（2）本题首先可通过图像变换得出，然后根据得出、，最后根据两角差的正弦公式即可得出结果.
【详解】
（1），
令，则，
故的单调递减区间为.
（2）横坐标伸长到原来的倍，得到，
然后向左平移个单位，得到，
因为，所以，
因为，所以，，
故
.

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