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人教A版（2019）必修第一册 第三章 函数的概念与性质
一、单选题
1．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．， B．，1 C．， D．1，
4．已知函数，则的值是（　 　）
A． B． C． D．
5．下列函数中，在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
6．设函数若，则a等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则x的取值范围为（ ）
A． B． C．(0，2) D．R
9．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．函数对任意，都有的图形关于对称，且 则（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
11．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
12．如果函数y=f（x）在区间I上是减函数，而函数在区间I上是增函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓减函数”，区间I叫做“缓减区间”．可以证明函数的单调增区间为，；单调减区间为，．若函数是区间I上“缓减函数”，则下列区间中为函数I的“缓减函数区间”的是（ ）
A．（﹣∞，2] B． C． D．
二、填空题
13．已知，函数若，则___________.
14．已知二次函数的图象为开口向上且对称轴是的抛物线，则，，的大小关系是________.
15．设函数则不等式的解集为________．
16．给出以下四个命题:
①若函数的定义域为，则函数的定义域为；
②函数的单调递减区间是；
③已知集合，则映射中满足的映射共有3个；
④若,且,．
其中正确的命题有______．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题
17．若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
18．已知f(x)=(x∈R，x≠-2)，g(x)=x2+1(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(3))的值；
(3)作出f(x)，g(x)的图象，并求函数的值域.
19．已知直角三角形的周长为，试用解析式将该直角三角形的面积S表示成关于其一条直角边长x的函数.
20．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1．
(1)求f（x）的解析式；
(2)当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值．
21．函数对任意，，总有，当时，，且．
（1）证明是奇函数；
（2）证明在上是单调递增函数；
（3）若，求实数的取值范围．
参考答案：
1．D
先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围
【详解】
解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
2．D
先用待定系数法求出幂函数解析式，然后直接求出即可.
【详解】
解：设幂函数，代入点，
得，解得，
所以，
则，
故选：D．
本题考查利用待定系数法求幂函数解析式，是基础题．
3．D
根据反比例函数的单调性即可解得最值.
【详解】
易知函数在区间是单调递减函数，
因此当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为.
故选.
本题考查函数单调性的应用，对于反比例函数当时为减函数，当时为增函数，是基础题.
4．A
直接代入求值即可.
【详解】
因为，所以.
故选：A.
本题主要考查分段函数的求值问题，属基础题.
5．D
根据函数单调性的性质可判断每个选项中函数在的单调性.
【详解】
对于A，当时，单调递增，故A错误；
对于B，，故在和上单调递增，故B错误；
对于C，在上单调递增，故C错误；
对于D，在上单调递减，故D正确
故选：D.
本题主要考查对函数单调性的判断，根据基本初等函数的复合函数单调性进行判断即可，属于基础题.
6．D
先求出，进而可得，然后根据分段函数的分段标准进行讨论，从而建立方程，求出a的值即可.
【详解】
，∴，
∴，即①或②，
解①得，解②得，∴.
故选：D.
本题考查分段函数的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
7．D
令可得，求得后代入解析式中即可求得结果.
【详解】
设，则且
，
故选：D
8．B
讨论底的范围，由配方法可求得，再由指数函数单调性，可解不等式.
【详解】
恒成立，
根据指数函数单调性，单调递增，
，解得，即的取值范围是
故选：B.
利用单调性解不等式，单调递增，若，则.
9．B
通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..
【详解】
详解：为奇函数，排除A,
，故排除D.
，
当时，，所以在单调递增，所以排除C；
故选：B.
10．B
根据题意得到函数周期为12，函数为奇函数，据此得到，计算得到答案.
【详解】
函数周期为，，
的图形关于对称，故关于对称，.
故.
故选：B.
11．A
，由结合函数的递减区间可得结果.
【详解】
，
由得，又，
所以函数的单调递减区间为.
故选：．
12．C
根据题意，分析函数和的单调区间，结合“缓减函数”的定义分析可得答案.
【详解】
由题意可知，对于，是二次函数，
其对称轴为，在区间上为减函数，
对于，
在区间和上为减函数，
在和为增函数，
若函数是区间上“缓减函数”，
则在区间上是减函数，
函数在区间上是增函数，
区间为或 ，
故选.
本题主要考查二次函数，对号函数的单调性，同时考查学生对新题型的理解，考查学生的观察，分析能力.是中档题.
13．2
由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】
，故，
故答案为：2.
14．
由题意结合二次函数对称性可得，再利用二次函数的单调性即可得解.
【详解】
二次函数的图象开口向上且对称轴是，
函数在上单调递增，且，
又，，
.
故答案为：.
本题考查了二次函数图象与性质的应用，关键是对条件的合理转化，属于基础题.
15．
根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集.
【详解】
由函数解析式知在R上单调递增，且，
则，
由单调性知，解得
故答案为：
关键点点睛：找到函数单调性，将函数值大小比较转化为自变量大小比较即可.
16．③④
根据抽象函数定义域的求法,可判断①;
根据反比例函数的图象和性质,可判断②;
根据映射的定义,可判断③; 根据已知得到,进而可判断④．
【详解】
①若函数的定义域为, 由得:, 所以函数的定义域为; 故①错误;
②函数的单调递减区间是和,故②错误;
③对于集合，映射中满足的映射共有：
，，,共3个, 故③正确;
④若,则, 又, 所以,
; 故④正确.
故填：③④.
本题考查复合函数的定义域，反比例函数的单调性，映射的定义，抽象函数的求值问题，属于中档题.
17．（1）；（2）或.
（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出，即可得出解析式；
（2）根据函数单调性，将不等式化为，求解，即可得出结果.
【详解】
（1）因为是幂函数，所以，解得或，
又是增函数，即，，则；
（2）因为为增函数，所以由可得，解得或
的取值范围是或.
18．(1)，5；(2)；(3)图见解析，f(x)的值域为(-∞，0)∪(0，+∞)，g(x)的值域为[1，+∞).
(1)将2代入f(x)，g(x)计算即得；
(2)先求出g(3)，再将所求得的值代入f(x)计算得解；
(3)用描点法作出f(x)，g(x)的图象，根据图象求出它们的值域.
【详解】
(1)f(2)==，g(2)=22+1=5；
(2)g(3)=32+1=10，f(g(3))=f(10)==；
(3)函数f(x)的图象如图：
函数g(x)的图象如图：
观察图象得f(x)的值域为(-∞，0)∪(0，+∞)，g(x)的值域为[1，+∞).
19．
设一条直角边长x，设另一条直角边的边长为，则，再利用勾股定理进行化简，即可得到答案；
【详解】
一条直角边长x，设另一条直角边的边长为，则，
由勾股定理得：，
，两边平方得：，
，将代入并化简得：，
故答案为： .
本题考查勾股定理、函数关系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
20．(1)
(2)，的最小值为
（1）由已知偶函数定义结合已知区间上函数解析式即可求解；
（2）由已知函数，结合对称轴与已知区间的位置关系，分类讨论可求．
(1)
若，则，则，
为偶函数，则，
故.
(2)
当时，，开口向上，对称轴，
当时，，函数最小值为；
当时，，函数最小值大于.
故，.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
（1）先用赋值法求出，令，即可根据定义证明是奇函数；
（2）利用定义法证明是上的增函数；
（3）先把转化为，利用单调性解不等式即可．
【详解】
（1）令，则，解得，
令，则，即，即，
易知的定义域为，关于原点对称，所以函数是奇函数；
（2）任取，，且，则，
因为当时，，所以，
则，即，所以函数是上的增函数；
（3）由，得，，又由是奇函数得.
由，得，因为函数是上的增函数，
所以，解得，故实数的取值范围为．

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