资源简介

(共27张PPT)
课程：数学
《圆周角》
人教版
九年级上册 第4课时
第 24 章 圆
教学目标
1
2
3
知识与技能
了解圆周角与圆心角的关系，掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征，能运用圆周角的性质解决问题。
过程与方法
经历直观操作、合作交流、动画演示与推理论证等的有机结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展演绎推理能力，体会分类讨论、类比探究和转化化归等数学思想和方法对解决问题的重要性。
情感态度和价值观
会运用圆周角定理及推论进行简单的证明和计算，并在学习中通过不断的反思，进行知识的建构与
整合，渗透优化意识，提高学习能力，体验成功的快乐。
目录
CONTENTS
01
新课导入
New class introduction
02
探究新知
Explore new knowledge
03
课堂练习
class exercise
04
课堂小结
Class summary
01
PART ONE
新课导入
New class introduction
新课导入
1、复习提问:
(2)圆心角，弧，弦，弦心
距关系定理是什么？
(1)什么是圆心角？
02
PART TWO
探究新知
Explore new knowledge
探究新知
∠ACB与 ∠AOB 有何异同点？
你知道∠ACB这一类的角名字吗？
顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角。
圆周角的概念 ：
B
A
C
O
探究新知
判断下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由．
归纳：
一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；
②两边都和圆相交.
探究新知
问题：同弧所对圆周角的度数与相应的圆心角度数有什么关系？
探究一：
探究新知
(1)当圆心在圆周角的一边上时,
探究一：
证明:(圆心在圆周角上)
结论：在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
C
O
B
A
探究新知
2.当圆心在圆周角内部时
提示:能否转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
∴ ∠ABC = ∠AOC.
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
●O
A
B
C
D
结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
探究新知
3.当圆心在圆周角外部时
结论:在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
提示:能否转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
∴ ∠ABC = ∠AOC.
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
●O
D
A
B
C
探究新知
定理
在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
B
A
C
O
探究新知
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，等于它所对的圆心角的一半。
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
即∠BAC= ∠BOC
探究新知
问题3 在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？
C
A'
B
B'
A
C'
如图，∠ABC=30°，∠A′B′C′=30°，但是
︵
︵
CA
A′C′
＞
探究新知
　　在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等吗？为什么？
A′
B
B′
A
C
C′
O
探究新知
结论
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等
PART THREE
课堂练习
class exercise
03
课堂练习
1.如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
A
B
O
C
D
40°
500
探究新知
A
C
B
D
O
2.如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
∵　CD 平分 ACB，
∴　 ACD= BCD，
∴　 AOD= BOD ．
∴　AD=BD．
在 Rt△ABD 中，
　 AD2+BD2=AB2 ，
∴　AD=BD=　　　　
=　　（cm）．
探究新知
3.已知：△ABC的三个顶点在⊙O上,
∠BAC=50°,∠ABC=47°,求∠AOB．
解：有题意知：∠A、∠B、∠C是圆周角，
∠AOB是圆心角．　
又∵∠BAC=50°，∠ABC=47°　∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B)
=180°-(50°＋47°)
=83°
∴ ∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°.
B
A
C
O
探究新知
4.如图,已知△ABC内接于☉O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交☉O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连接AD.
(1)求证:∠DAC=∠DBA;
(2)求证:P是线段AF的中点;
(3)连接CD,若CD=3,BD=4,求☉O的半径和DE的长.
探究新知
分析:(1)利用角平分线的性质得出∠CBD=∠DBA,进而得出∠DAC=∠DBA,再利用互余的性质得出∠DAC=∠ADE,进而得出∠DAC=∠DBA;
(2)利用圆周角定理的推论得出∠ADB=90°,进而求出∠PDF=∠PFD,则PD=PF,求出PA=PF,即可得出答案;
(3)利用勾股定理得出AB的长,再利用三角形面积求出DE即可.
探究新知
(1)证明:∵BD平分∠CBA,
∴∠CBD=∠DBA,
∵∠DAC与∠CBD都是 所对的圆周角,
∴∠DAC=∠CBD,∴∠DAC=∠DBA;
∵AB是☉O的直径,DE⊥AB,
∴∠ADB=∠AED=90°,∴∠ADE+∠DAE=90°,∠DBA+∠DAE=90°,
∴∠ADE=∠DBA,∴∠DAC=∠ADE,
∴∠DAC=∠DBA.
探究新知
(2)证明:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,
∵DE⊥AB于E,∴∠DEB=90°,
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°,
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP,∴PD=PA.
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°,
∴∠PDF=∠PFD,∴PD=PF,∴PA=PF,
即P是线段AF的中点.
(3)∵∠CBD=∠DBA,∴CD=AD,
∵CD=3,∴AD=3,
∵∠ADB=90°,∴AB=5,故☉O的半径为2.5.
∵DE×AB=AD×BD,
∴5DE=3×4,∴DE=2.4,即DE的长为2.4.
PART FOUR
课堂小结
Class summary
04
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
圆周角
圆周角的定义：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角.
圆周角定理及其推论：
定理:
推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
①同弧或等弧所对的圆周角相等．
②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
圆内接四边形：
圆内接四边形的内角和为360°,并且四边形的对角互补.

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