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第五章
5.2
导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
5.2.2 导数的四则运算法则
学习目标
1.能根据导数定义求函数，的导数.
2.会使用导数公式表.
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.
核心素养：数学运算、逻辑推理
新知学习
由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的.在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的.由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题.
根据导数的定义，求函数的导数，就是求出当时，无限趋近的那个定值.
1.函数的导数
若（如下图）表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.
2.函数的导数
若（如下图）表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.
3.函数的导数
表示函数的图象（如下图）上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，越来越小，减少得越来越慢；当，随着的增加，增加得越来越快.若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为
4.函数 的导数
表示函数的图象（如下图）上点处切线的斜率为，这说明随着的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
5.函数的导数
探究：画出函数的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点
处的切线方程.
函数的图象如图所示，
函数的导数为＝-.
结合函数的图象可以发现：
当时，函数值的增加，减少得越来越快；
当，函数值的增加，减少得越来越慢.
曲线在点（1，1）处的切线的斜率就是导函数在处的函数值，即切线的斜率为，
故曲线在点（1，1）处的切线方程为
6.函数 的导数
说明：前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数，这些函数都是幂函数的形式，在以后求导数时，可直接应用上述常见函数的导数，不必再用定义去求导.
一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表，这些公式可以直接使用.
基本初等函数的导数公式
1.若为常数），则
2.若
3.若
4.若
5.若；
特别地，若
6.若则 ；
特别地，若，则.
对于基本初等函数的导数公式要注意以下四点：
（1）对基本初等函数的导数公式的理解：不要求根据导数定义推导，以上基本初等函数的导数公式，只要求熟记并能够利用它们求简单函数的导数.
（2）对数函数、指数函数的导数公式中，公式＝，很好记忆，但公式＝的记忆比较难，特别是的位置易记错.
（3）三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的变换.可用口诀记忆：正弦求导数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符号变.
（4）利用导数公式求导时，一定要看清原函数的形式.只有当函数符合上述形式时，才能用导数公式表求导.
典例剖析
例 1　求下列函数的导数：
（1）；（2）
（2）.
例 2　假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价（单位：元）与时间t（单位：年）
之间的关系为，其中为时的物价.假定某种商品的 ，
那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
所以
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
思考：如果某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
当时，=，
故当时，
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.40元/年的速度上涨.
在例2中，当时，.这时，求关于的导数可以看成求函数 与乘积的导数.
一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢？
设，因为
所以
而
所以
同样地，对于上述函数
探究: 设，它们与有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？



一般地，对于两个函数的和（或差）的导数，我们有如下法则：
说明：（1）导数和（差）的求导法则用文字语言可叙述为两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差）.
（2）导数和（差）求导法则可推广到任意有限个函数的和（差）的导数，即
典例剖析
例 3　求下列函数的导数：
解：（1）
（2）
思考: 设它们是否相等？商的导数是否等于它们导数的商呢？
通过计算可知
因此
事实上，对于两个函数的乘积（或商）的导数，我们有如下法则：
由函数的乘积的导数法则可以得出
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
说明：（1）函数乘积的求导法则用文字语言叙述为两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数.简记为“轮流求导乘之和”.
（2）函数的积的导数可推广到有限个函数的乘积的导数，即
（3）函数商的求导法则用文字语言叙述为两个函数的商的导数，等于分子函数的导数乘上分母函数，减去分子函数乘上分母函数的导数，所得差除以分母函数的平方.
（4）函数积商求导法则的特殊化公式：； .（其中为常数）
（5）以上法则在两个（或多个）函数均有导数（可导）的情况下才能使用.
典例剖析
例4　求下列函数的导数：
（1） （2）.
解：（1）
＝
＝
例5　日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.
已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为＝（）.
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90%； （2）98%.
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
（1）因为＝52.84，所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
（2）因为＝1 321，所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1 321元/吨.
函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，.它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.
随堂小测
1.下列导数式子正确的是 （ ）
D
4.已知函数的导函数为，则=_________.
D
3.已知函数的导函数为，且满足则 （ ）
A.e B. C. D.
C
5.已知曲线在点处的切线方程是.
（1）求的值；
（2）如果曲线的某一切线与直线x垂直，求切点坐标与切线的方程.
解：（1）的导数为
由题意可得解得
（2）∵ 切线与直线垂直，∴ 切线的斜率
设切点的坐标为，由（1）可知
则＝
由，
∴ 切线方程为
即
课堂小结
基本初等函数的导数公式
1.若为常数），则
2.若
3.若
4.若
5.若；
特别地，若
6.若则 ；
特别地，若，则.
导数的四则运算法则
谢 谢！
第五章
5.2
导数的运算
5.2.3 简单复合函数的导数
学习目标
能求简单的复合函数（限于形如的导数.
核心素养：数学运算
新知学习
思考：如何求函数的导数呢？
函数不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.
若设，则可以看成是由和1经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量表示为自变量的函数.
如果把的关系记作的关系记作，那么这个“复合”过程可表示为
一般地，对于两个函数，如果通过中间变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数的复合函数，记作
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的.例如，函数复合而成.又如，函数由复合而成.
对于复合函数概念的理解要注意以下三点：
（1）不是任意两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当的定义域与的值域的交集非空时，才能复合成复合函数.
（2）对于复合而成的函数称为中间变量.看一个复合函数分解成的两个函数是否正确，关键看这两个函数在消去中间变量后是否能复合成原函数.
（3）“分解”是研究复合函数问题的常用解决方法.
如何求复合函数的导数呢？
我们先来研究的导数.
一个合理的猜想是，函数的导数一定与函数的导数有关.
下面我们就来研究这种关系.
以 表示的导数， 表示的导数， 表示的导数.
一方面，
＝（）′＝（）′
＝2［（）′·+·（）′］
＝2［］
＝2（）
＝.
另一方面，.
可以发现，.
一般地，对于由函数 复合而成的函数，它的导数与函数的导数间的关系为
.
即的导数等于的导数与的导数的乘积.
对于复合函数的求导法则要注意以下三点：
（1）也可表示为；
（2）我们把复合函数的这种求导法则称为“链式法则”；
（3）法则可以推广到两个以上的中间变量，例如
典例剖析
例6　求下列函数的导数：
（1）； （2）； （3）
解：（1）函数可以看作函数的复合函数.
根据复合函数的求导法则，有
（2）函数可以看作函数的复合函数.
根据复合函数的求导法则，有
.
（3）函数可以看作函数的复合函数.
根据复合函数的求导法则，有
.
求复合函数导数的步骤：
（1）分解：选定适当的中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系
（2）求导：分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，要特别注意中间变量对自变量求导），即先求
（3）回代：把中间变量代回原自变量（一般是）的函数.
例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的关系为
.求函数时的导数，并解释它的实际意义.
解：函数 可以看作函数的复合函数，根据复合函数的求导法则，有

＝×
＝.
当＝0.
它表示当s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 mm/s.
随堂小测
1.已知函数f（x）＝（2x-1）2+，且f ′（x0）＝12，则x0的值为 （ ）
A. B.2 C. D.
B
2.已知函数 ，则等于　　　　.
1
3.已知函数，则　　 　　.
4.已知直线与曲线相切，则＝　　　　.
3
课堂小结
简单复合函数的导数
一般地，对于两个函数，如果通过中间变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数的复合函数，记作
.
谢 谢！

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