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第二章 机械振动
第2节 简谐运动的描述
知识点1振幅
【导入】很多物体的振动可以近似地看作简谐运动，做简谐运动的物体的振动图像，即位移一时间图像是正弦（或余弦）函数图像，即。那么简谐运动我们可以用哪些物理量来描述呢？
1、振幅
【重点1】（1）定义：我们把振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅。用字母A表示。
【注意】①振幅是标量，它没有负值，也无方向，振幅不等同于最大位移。
②在简谐运动中，振幅跟振动的周期（频率）、质点的位移无关。在一个稳定的振动中，振幅是不变的。
（2）单位：在国际单位制中，振幅的单位是米（m）。
（3）物理意义：振幅是表示物体振动强弱的物理量，振幅越大，说明物体振动越剧烈。它的大小反映了振动系统能量的大小。
2、全振动
【重点2】（1）定义：一个完整的振动过程，称为一次全振动。
（2）对一次全振动的认识和判断
对做简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断:
一是从物体经过某点时的特征物理量看:如果物体的位移和速度都回到原值（大小、方向两方面），即物体完成了次全振动，即物体从同一个方向回到出发点；
二是看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的四倍。
例题：
1、（多选）如图，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，B、C间距离是10cm，振子从B→C运动时间是1s，则（　　）
A．振动周期是1s，振幅是10cm
B．从B→O→C振子做了一次全振动
C．经过两次全振动，振子通过的路程是40cm
D．从B开始运动经过3s，振子通过的路程是30cm
2、如图所示，弹簧振子以O为平衡位置在B、C间做简谐运动，则（　　）
A．从B→O→C为一次全振动
B．从O→B→O→C为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．从D→C→O→B→O为一次全振动
知识点2周期和频率
物体做简谐运动是往复运动，完成次全振动所用时间相等，我们把这个相等的时间定义为周期，
1、周期
【重点3】（1）定义:做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示。
（2）单位:在国际单位制中，周期的单位是秒（s）。
（3）物理意义:周期是表示物体振动快慢的物理量，周期越长表示物体振动得越慢，周期越短表示物体振动得越快。
2、频率
【重点4】（1）定义:物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率。用表示。
（2）单位:在国际单位制中，频率的单位是赫兹（Hz）。
（3）物理意义:频率也是表示物体振动快慢的物理量，频率越大表示物体振动得越快，频率越小表示物体振动得越慢。
（4）频率和周期的关系:
3、圆频率（）
【重点5】（1）圆频率（）是表示简谐运动快慢的物理量。
（2）圆频率与周期、频率的关系。
例题：
如图所示是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题：
（1）求振动的振幅；
（2）求振动的频率；
（3）在t=0.1s、0.3s、0.5s、0.7s时质点的振动方向分别为什么方向？
（4）求质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
（5）求质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置；
（6）求从0.6s到0.8s，质点的运动情况；
（7）质点振动的圆频率是多少？
知识点3相位、相位差、简谐运动的描述
在物理学中，周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的相位来描述。
1、简谐运动的表达式：
（1）式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；表示振动的时间。
（2）A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅。
（3）是简谐运动的圆频率，它也表示做简谐运动物体振动的快慢，与周期T及频率的关系为。所以表达式也可写成或
2、相位、初相位
表示t＝0时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相。（）代表了做简谐运动的质点在t时刻，处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位。
【注意】（1）相位（）是随时间变化的一个量。
（2）相位每增加就意味着完成了一次全振动。
3、相位差
它是指两个相位的差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异。
设两简谐运动A和B的振动方程分别为
它们的相位差为
可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。
若，则称B的相位比A的相位超前或A的相位比B的相位落后；
若，则称B的相位比A的相位落后或A的相位比B的相位超前。
①同相：相位差为零，一般表示为
②反相：相位差为，一般表示为
例题：
1、（多选）物体A做简谐运动的振动位移，m，物体B做简谐运动的振动位移，m．比较A、B的运动（　　）
A．振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10m
B．周期是标量，A、B周期相等为100s
C．A振动的频率等于B振动的频率
D．A的相位始终超前B的相位
2、有甲、乙两个简谐运动，甲的振幅为2cm，乙的振幅为3cm，周期都是4s。当t=0时，甲的位移为2cm，乙的相位比甲落后，试写出二者的函数表达式，并在同一坐标系中作出它们的位移—时间图像。
能力拓展 求振动物体路程的方法
1、求振动物体在一段时间内通过路程的规律
（1）振动物体在任意一个周期T内，通过的路程等于4倍振幅，在任意的半个周期内的路程等于A的2倍。则：
①当△t＝nT（n＝1，2，3，…）时，质点振动通过的总路程s＝n·4A。
②当（n＝1，2，3，…）时，质点振动通过的总路程s＝n·2A。
（2）振动物体在内通过的路程可能等于一个振幅，还可能大于或小于一个振幅。只有当初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于一个振幅。
2、计算路程的公式：
（1）此式中s为时间t内振动物体通过的路程，T和A分别表示振动的周期和振幅。
（2）注意此式只适用于t为的整数倍或初始位置在平衡位置或最大位移处的的整数倍。
例题：
一质点做简谐运动，振幅为A、周期为T，O为平衡位置，B、C为两侧最大位移处。从质点经过位置P（P与O、B、C三点均不重合）时开始计时，以下说法正确的是（　　）
A．经过T，质点的平均速度必小于
B．经过T，质点的路程不可能大于A，但可能小于A
C．经过T时，质点的瞬时速度不可能与经过P点时的速度大小相等
D．经过T时，质点的瞬时速度与经过P点时的速度方向可能相同也可能相反
易错防范：
（多选）一质点在平衡位置O点附近做简谐运动．若从O点开始计时，经3s质点第一次经过M 点；再继续运动，又经过2s它第二次经点M点；则该质点第三次经过M点还需的时间是（　　）
A．8s B．4s C．14s D．
高考真题：
如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2s内经过的路程为0.4m。该弹簧振子的周期为 s，振幅为 m。
课后训练
1、如图所示，弹簧振子以O为平衡位置在B、C间做简谐运动，则（　　）
A．从B→O→C为一次全振动
B．从O→B→O→C为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．从D→C→O→B→O为一次全振动
2、三个简谐振动的振动方程分别是cm，cm，cm，下列说法正确的是（　　）
A．A、B两物体属同相振动 B．A、C两物体属同相振动
C．B、C两物体属同相振动 D．B、C两物体属反相振动
3、有一个弹簧振子，振幅为0.8cm，周期为0.5s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是（　　）
A． B．
C． D．
4、物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过2s后物体第一次以相同的速度通过B点，再经过2s后物体紧接着又通过B点，已知物体在4s内经过的路程为6cm．则物体运动的周期和振幅分别为（　　）
A．4s，6cm B．8s，12cm C．2s，3cm D．8s，3cm
5、（多选）下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法中正确的是（　　）
A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增加，周期必然增加而频率减小
D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
6、（多选）如图所示，为质点的振动图象，下列判断中正确的是（　　）
A．质点振动周期是8s
B．振幅是±2cm
C．4s末质点的速度为负，加速度为零
D．10s末质点的加速度为正，速度为零
7、（多选）如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y=0.1sin（）m。t=0时刻，一小球从距物块h高处自由落下，t=0.6s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g=10m/s2。以下判断正确的是（　　）
A．h=1.7m
B．简谐运动的周期是0.8s
C．0.6s内物块运动的路程是0.3m
D．t=0.4s时，物块与小球运动方向相反
8、如图所示，A、B为两弹簧振子的振动图象，求它们的相位差。

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