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第一讲 整式
【知识点一】单项式
用含有字母的式子填空，看看列出的式子有什么特点。
（1）若正方形的边长为a，则正方形的面积是 ；
（2）若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为 ；
（3）若m表示一个有理数，则它的相反数是 ；
（4）小明从每月的零花钱中贮存x元钱给希望工程，一年下来小明工捐款 元。
像上面这些列出的式子4a，ah，－m，12x，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式。
例如， 、、abc、－b都是单项式．
特别地，单独一个数或一个字母也是单项式．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数(coefficient)．例如，的系数是，的系数是，abc的系数是1，－m的系数是－1．
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(degree)．
例如，abc的次数是3，的次数是4．
注意
（1） 圆周率是常数；
（2）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如，－abc；
（3） 单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．如写成．
(4).单独一个数或一个字母也叫单项式! 比如 -3，0，m, 等都是单项式。
(5).单独一个非零数的次数是0。比如-3的次数是0..
(6).单项式的系数包含符号，当系数为1或—1时，这个“1”应省略不写。
(7).单项式的次数等于它所有字母的指数的总和.
【典例精析】
例1 判断下列各代数式是否是单项式．如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它的系数与次数：
（1）x＋1；　　　　 （2）；
（3）；　　　　 （4）．
解 （1）不是．因为原代数式中出现了加法运算．
（2）不是．因为原代数式是1与x的商．
（3）是．它的系数是，次数是2．
（4）是．它的系数是，次数是3．
例2 判断下列代数式是否是单项式：
（1）a； （2） ；　 （3）；
（4）；　 （5）xy；　　 （6） ．
例3 说出下列单项式的系数与次数：
（1） ；　　 （2）mn； （3）； 　　　（4）．
【举一反三】
1、下列结论中，正确的是（ ）
A、单项式ab的系数是2，次数是2 B、单项式a既没有系数，也没有指数
C、单项式—abc的系数是—1，次数是4 D、没有加减运算的代数式是单项式
2、 单项式―xyz的系数、次数分别是（ ）
A．0，2 B.0，4 C. ―1，5 D. 1，4
3、如果单项式3ab的次数与单项式xyz的次数相同，试求m的值。
【知识点二】多项式
先填空，再看看列出的式子有什么特点：
（1）长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是_________；
（2）某班有男生x人，女生21人，则这个班的学生一共有_________人；
（3）一个数比数x的2倍小3，则这个数为_________。
上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的．像这样，几个单项式的和叫做多项式(polynomial)．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项(term)．其中，不含字母的项，叫做常数项(constant term)．
例如，多项式有三项，它们是，－2x，5．其中5是常数项．
一个多项式含有几项，就叫几项式．多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数．
例如，多项式是一个二次三项式．
注意
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和；
（2）多项式的每一项都包括它前面的符号．
【典例精析】
例1 指出下列多项式的项和次数：
（1）；
（2）．
例2．指出下列多项式是几次几项式:
（1）；
（2）．
例3. 指出下列多项式的次数与项：
（1） ； （2）3y 4－6x 3y－4y 4+2yx 3 （3）．
【举一反三】
指出下列多项式是几次几项式：
（1）； （2）；
2. 4.3nxy－2×10nxyn－65是关于x、y的五次多项式，则二次项的系数是________________，最高次项的系数是_______________。
例2.多项式的常数项是________,一次项是_________, 二次项的系数是_______.
【知识点三】整式
单项式与多项式统称整式。
【典例精析】
例1.判断下列各代数式是否是整式：
1 r
例2.用整式填空指出单项式的次数及多项式的次数和项
（1）1千克大米售价1.2元，x千克大米售价 元。
（2）体重由x千克增加2千克后是 千克。
（3）每件a元的上衣，降价20%后的售价是 元
例3.填表：
整式
系数
次数
项数
【举一反三】
1. 在代数式中有 （ ）
A、5个整式 B、4个单项，3个多项式
C、6个整式，4个单项式 D、6个整式，单项式与多项式个数相同
2. 如果一个整式具备以下两个条件：（1）它是一个关于字母x的二次三项式;（2）各项系数的和等于10;
那这个整式是 。
3. 买一个篮球需要x元，买一个排球需要y 元买一 个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球
共需要 元。
【快乐小练】
什么叫做单项式、多项式、整式？
试判断代数式：，，0，，，,―x，（a+b）c，3xy，0，，―5a+a， a(1+b)哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？
2、 什么叫做单项式的次数、系数？什么叫做多项式的次数、项？单项式 的系数： ，次数 ；
多项式―ab―7ab―6ab+1是 次 项式，它最高项的系数是 .
3、单项式是关于x、y、z的五次单项式，则n ；
4、关于x的多项式是二次三项式，则a= ，b= ；
5、当x=2时，多项式的值为7，则当x=-2时，这个多项式的值为 ；
6、温度由10℃上升了t℃后是 ℃.
7、在y+1，+1，―xy， ―1，―8z，0中，整式的个数是（ ）
A. 6 B.3 C.4 D.5
8、下列说法正确的是（ ）
A.8―是多项式 B. ―xyz是三次单项式，系数为0
C. x―3xy+2 xy―1是五次多项式 D. 是单项式
9、下列说法正确的是（ ）
A、没有加、减运算的式子叫单项式 B、πab的系数是，次数是3
C、单项式―1的次数是0 D、2ab―2ab+3是二次三项式
10、如果一个多项式的次数是5，那么这个多项式的任何一项的次数（ ）
A．都小于5 B. 都等于5 C.都不小于5 D.都不大于5
11．下列多项式各有几项，每项的系数和次数分别是什么？
（1）5―xy+xy； （2）xy―7x+6y-.
12． 如果多项式3x―（n―1）x+1是关于x的二次二项式，试求m，n的值。
13．如果是五次多项式，那么k= ；
14.已知：是关于a、b的五次单项式，求下列各式的值，并比较（1）、（2）两题结果：
（1）， （2）
15．多项式是 次 项式，各项分别是 ，二次项系数是 常数项是 。
16． 根据题意列出整式
（1）钢笔每支a元，圆珠笔每支b元，买2支圆珠笔，3支钢笔共用多少元？用一张100面值的人民币购买，
应找回多少元？
（2）三个植树队，第一小队种树x棵，第二小队种的树比第一小队种的树的3倍多8棵，第三小队种的树比
第一小队的一半多6棵，三个队一共种了多少棵？
。
17.如图7是一所住宅区的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是 ㎡
【提高题】
1.观察下列各式
12+1=1×2；22+2=2×3；32+3=3×4；……
请把你猜想的结果用正整数n表示出来 .
2火车站和机场都为旅客提供打包服务,如果长、宽、高分别为x、y、z的箱子按如图的方式打包,则打包带的长至少为( ).
A.4x+4y+10z B.x+2y+3z
C.2x+4y+6z D.6x+8y+6z
3.同时都含有字母a、b、c,且系数为1的7次单项式共有( ). (北京市竞赛题)
A.4个 B.12个 C.15个 D.25个
4.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示: 则代数式│a│-│a+b│+│c-a│+│b-c│化简后的结果是( )
A.2-a B.2a-2b C.2c-a D.a
5. 已知代数式当x=1时,值为1,那么该代数式当x=-1时的值是( ).
A.1 B.-1 C.0 D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)
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