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第62届IM0(2021)预选题
代数部分
A1.设n是正整数，A是{0.1.·，5m}的一个4n+2元子集.求证：存在A中
的元素a3b.
A2.求所有的正整数n,使得
n2(n-1)
4
=1j=
n+1
A3.给定正整数n.设a1.2n是1,2n的一个排列，求∑[]的
k=1
最小值
A5.设整数n≥2，a1,a2.··an是和为1的正实数.求证：
∑aa+a2++ak-2<3
A7.设n是正整数，x0x1,·,xn+1是非负实数，满足x,x+1-x子_1≥1对任
意i=1.2.…,n成立.求证：
2n
32
x0十x1+·+xn+xn+1>
3
A8.求所有的函数f:R→R,使得对任意实数a.b.c,均有
(f(a)-f(b)(f(b)-f(c)(f(c)-f(a)
=f(ab2 +bc2+ca2)-f(a26+b2c+c2a).第62届IM0(2021)预选题
几何部分
G1.如图，在平行四边形ABCD中，AC=BC.P是AB延长线上的一
点，△ACD的外接圆与线段PD交于点Q,△APQ的外接圆与线段PC交于
点R.求证：直线CD,AQ.BR交于一点.
G3.考虑一个100×100的单位点阵L.设F是一个多边形集合，使得F中每个
多边形的顶点都属于L,且L中的每个点都恰是F中一个多边形的顶点.求下中
所有多边形面积之和的最大可能值.
G4.如图，四边形ABCD内接于圆2.设2在D处的切线与射线BA.BC分
别交于点E,F.T是△ABC内一点，满足TECD.TF‖AD.K是线段DF上
不同于D的一点，使得TD=TK.求证：直线AC,DT,BK交于一点.
E
G5.如图，四边形ABCD内接于圆O,且各边长互不相同.∠ABC∠ADC的
平分线与AC分别交于点B1,D1·设OB是过B且与AC相切于D1的圆的圆
心，OD是过D且与AC相切于B1的圆的圆心.如果BD1‖DB1,求证：O在
直线OBOD上.
0
0·
D
B
G6.求所有整数n≥3，使得任何边长为1的等边凸n边形都包含一个边长
为1的正三角形.（这里多边形含边界）
G8.如图，在△ABC中，外接圆w与A-旁切圆24交于X.Y两点
设P.Q分别是A在2A在X,Y处的切线上的投影.△APX的外接圆在P处
的切线与△AQY的外接圆在Q处的切线交于点R.求证：AR⊥BC
2第62届IM0(2021)预选题
数论部分
N1.求所有的正整数n,使得存在正整数a.b,满足a2+b+3不能被任何质数
的立方整除，且
ab+36+8
n.=
a2+b+3
3.求所有的正整数n,满足如下条件：n的全体k个正因数可以排列
为d1,d2.·,dk,使得对任意t=1,2.·k,d1+d2+·…+d都是完全平方
数.
N4.设有理数r>1.A在一条直线上玩跳棋游戏.初始时，0处有一枚红
棋子、1处有一枚蓝棋子.在一次操作中，A选择一枚棋子和一个整数k,如
果选择的棋子在x处、另一枚棋子在y处，则将x处的棋子移至x'处，满
足x一y=πk(x-y).求所有的T,使得A在2021次操作内可以将红棋子移
至1处
N5.求证：n!=an-1+bn-1+cn-1只有有限多组正整数解.
N6.求所有的整数n≥2，使得对任意n个和不被n整除且互不相同的正整
数，总能将它们按某种顺序排列为a1,a2,·,an,满足
n1·a1+2·a2+…+nan
N7.设a1a2.a3,·是无穷正整数数列，满足对任意正整数m.n,都有an+2n
an+an+m·求证：数列{an}是最终周期的.
N8.求所有的正整数n,使得存在P(x)∈Z[x,满足对任意正整数m,Pn(1·
Pm(②)，Pmm)除以n恰有=个不同的余数，这里Pm是P的m次迭代第62届IM0(2021)预选题
组合部分
C1.设S是一个无穷正整数集合，已知存在两两不同的a.b.c,d∈S,使
得gcd(a,b)≠gcd(c.d).求证：存在两两不同的x,y.之∈S,使得gcd(x,y)=
gcd(y,z)≠gcd(z,x)
C2.给定整数n≥3.在一个环形项链上有m≥n+1颗珠子.我们想用n种颜
色对珠子染色，使得在任意连续n+1颗珠子中所有颜色都至少出现一次.求最大
的正整数m使得这无法实现，
C4.在某个国家中有n座城市，任意两座城市之间恰有一条单向道路.一条
从X到Y的路径是指一系列道路，使得可以从X沿着这些道路到达Y且不经过
重复的城市.称一个路径集合是多样的，如果任何道路不属于集合中多于一条路径
设A.B是两座不同的城市.用NAB表示在从A到B的多样的路径集合中路径
个数的最大值.类似定义NBA:求证：NAB=NBA当且仅当从A出发的道路数与
从B出发的道路数相同，
C5.设整数n>k≥1.有2n+1个同学围成一圈，每个同学都有2k个邻居，
即左右两边与他最近的各k个同学.已知共有n+1个女孩和n个男孩，求证：存
在一个女孩，在她的邻居中至少有k个女孩：
C6.一个猎人和一只隐身兔在一个无穷大的方格表中玩游戏.首先，猎人用有限
多种颜色对每个格染色，兔子秘密地选择一个出发格.在每一分钟，兔子告诉猎人
它当前所在格的颜色，然后移动到一个未到过的邻格（称有公共边的两格相邻）·
如果有限时间后，以下两者之一成立，则猎人获胜
·兔子无法移动：
·猎人能确定兔子的出发格
问：猎人是否有必胜策略？
C7.设整数m>1.有一个3m×3m的棋盘，一只青蛙在左下角的格S中，
它想到达右上角的格F,青蛙每次可以向右或向上跳一格.一些格是黏的，当青蛙
跳到其中时会被陷住.称一个格的集合X是阻碍的，如果当X中所有格都是黏的
时，青蛙无法从S到达F.称一个阻碍集合是最小的，如果它不包含一个更小的阻
碍集合.求证：
(1)存在一个最小的阻碍集合至少含3m2-3m个格：
(2)每个最小的阻碍集合都至多含3m2个格
C8.求最大的正整数N,使得存在一个N×100的数表T,满足：
()每行都是1.2.·，100的一个排列：
()对任意两个不同的行r.s,存在一列c,使得T(r,c)-T(s.c川≥2.（这
里T(r,c)表示位于第r行第c列的格中的数)

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