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4.1.1
实数指数幂
及其运算
第四章
1.通过对有理指数幂、实数指数幂含义的认识,了解指数幂的拓展过程.
2.理解根式运算与指数运算的内在联系.
3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行有理数指数幂的运算.
核心素养：数学抽象、数学运算
学习目标
新知学习
情景引入
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一,它侵害田地的面积S(单位:hm2)与年数t(年)满足关系式S=S0·1.057t,其中S0(单位:hm2)为侵害面积的初始值.
如果求10年后侵害的面积,则S=S0·1.05710;如果求15.5年后侵害的面积,就需要计算S=S0·1.05715.5,这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢
1.次方根
(1)定义:给定大于1的正整数和实数,如果存在实数,使得=,则称为的次方根.
(2)表示:
(3)实质:求的次方根是开方运算,与乘方运算互为逆运算.
0
【思考】
对于式子 中一定是非负数吗 如不是,其范围是什么
提示:不一定是非负数,其范围由的奇偶决定;当为奇数时,∈R;当为偶数时,≥0.
2.根式
(1)当 有意义时, 称为根式,称为根指数,称为被开方数.
(2)性质:
① =_ _;
②
3.分数指数幂的意义
1.有了分数指数幂的定义,就把指数幂拓展到了有理指数幂.分类指数幂不可理解为个相乘,它是根式的一种写法.
2.正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
3.0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义.
4.这里的是既约分数,即互素,否则式子可能会有歧义.例如(-8与(-8意义就不同,前者是一个正数,后者是一个负数.
即时巩固
1.用根式表示下列各式:
(1)已知2 020,则　 ; (2)已知,则　 .
2.已知,用指数幂的形式表示　　　　　.
名师点析
()与的含义一样吗 其化简结果是什么
思考
()表示对于实数先求次方根,再对其进行次方运算,当为任意正整数时,都有().
表示对实数先求的次方,再对其进行次方根运算,
对于任意正数a,b和实数s,t,指数幂均满足下面的运算性质:
as·at=as+t,
(as)t=ast,
(a·b)s=as·bs.
4、指数幂的运算性质
1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个常用:, .
2.在幂和根式的化简运算中,一般将根式化为分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质进行计算.
名师点析
下列运算中正确的是(　　)
A.a2·a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-1)0=1 D.(-2)5=
即时巩固
D
解析 ;;当时,(;,所以正确选项为D.
一、利用分数指数幂的定义求值
例1　如果(,则(　　)
A. B. C. D.
典例剖析
解析 由,则,,得().
答案 D
反思感悟 解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与根式的对应关系,转化求解.
跟踪训练　已知,,则等于(　　)
A. B.8 C. D.2
解析　由,得,∴,,().
A
二、根式的化简(求值)
例2　求下列各式的值:
(1)()5+()6();(2)(-33).
解 (1)原式.
(2)原式=.
,当时,原式;
当时,原式.
原式
分析 (1)首先利用根式的性质直接化简两个根式,然后进行运算;(2)首先将被开方数化为完全平方式,然后开方化为绝对值的形式,根据x的取值范围去掉根号即可.
反思感悟
(1)化简时,首先明确根指数是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简()时,关键是明确是否有意义,只要有意义,则().
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定
中的正负,再结合的奇偶性给出正确结果.
跟踪训练　(1)该例中的(2),若呢
(2)该例中的(2),若呢
解 由例题解析可知原式可化为.
(1)若,则,
故该式;
(2)若,则,
故该式.
三、指数幂的化简与求值
例3　计算下列各式的值:
(1)+2-2×0.010.5;(2)+0.1-2+-3π0+;
(3)0.06+(23+16-0.75+|-0.01;(4)- 81-0.25+-10×0.02.
解 (1)原式=1+=1+.
(2)原式=-3++100+-3+=100.
(3)原式=0.4-1-1+2-4+2-3+0.1=-1+.
(4)原式=-(3×1)-1--10×0.3=-1-3=-1.
跟踪训练　计算:-(0.008.
解 原式=5(2)
5255 =.
反思感悟
1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同
时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
四、条件求值
例4　已知(),求下列各式的值:(1)a+a-1;　(2)a2+a-2;　(3)a2-a-2.
解 (1)将的两边平方,得,即.
(2)由,两边平方,得,即.
(3)设,两边平方,得.
所以,即.
分析 解答本题可从整体上寻求各式与条件的联系,进而整体代入求值.
反思感悟
解决条件求值问题的一般方法——整体法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值未知或不易求出,这时可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体法”求值时常用的变形公式如下:
(1)()2;
(2)()();
(3)=()(-);
(4)=()().(其中)
跟踪训练　已知,且,求的值.
解 ,
.
,.
.
五、用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
例5　已知,且=1.求证:.
证明 令pa3=qb3=rc3=k,
则pa2=,qb2=,rc2=,p=,q=,r=.
所证等式左边= ,
所证等式右边==.
(.
分析 看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.
反思感悟
1.对于“连等式”,常用换元法处理.如本例,我们可令它等于一个常数,然后以为媒介化简,这样使问题容易解决.
2.换元过程中尤其要注意所代换的新变元的范围一定与被替换对象一致,关键时候还要检验.
跟踪训练　对于正整数和非零实数,若,,求的值.
解 w,.同理=7=7.
=7·7·7,即(=7.
又,. a,b,c为正整数,且ax=by=cz≠1,
a,b,c均不为1.1随堂小测
1.计算的值为(　　)
A.5 B.-1 C.2π-5 D.5-2π
B
2.下列各式正确的是(　　)
A.=7 B. C.=( D.
D
解析 .
解析 ,错;,B错;
=(x3+y3,C错;,D正确.
3.已知10α=3,10β=4,则102α+β=(　　)
A.36 B.12 C.24 D.48
A
4.已知,且,则的值为(　　)
A.2或-2 B.-2 C. D.2
解析 依题意102α+β=(10α)2×10β=32×4=36.
解析 (方法一).由,可得,
(-1).
(方法二)令-,①
,②
由①2-②2,得.,,,于是,即,故选D.
D
5.若+()0有意义,则实数的取值范围是　　 　　　.
解析 由,且,得,且.
[2,4)∪(4,)
6.计算:-()0.
解 原式=-1=-1=.
1.知识清单：
（1）分数指数幂、有理指数幂.
（2）指数幂的运算性质.
2.常见误区：
忽视算术平方根、偶次方根为正而致误.
课堂小结
谢 谢！

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