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2．4.2　圆的一般方程
【考点梳理】
考点　圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
【题型归纳】
题型一：求圆的一般方程
1．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面几何中，将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若，，，则的最小覆盖圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆C上有三个点，，，则圆C的面积为（ ）．
A． B． C． D．
题型二：由圆的一般方程确定圆心和半径
4．点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（ ）
A． B． C．3 D．9
5．方程所表示圆的圆心与半径分别为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型三： 判断点与圆的位置关系
7．已知圆C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．圆C关于直线对称
B．圆C的圆心在x轴上，且过原点
C．圆C关于直线对称
D．圆C的圆心在y轴上，且过原点
8．点与圆：的位置关系为（ ）
A．点在圆外 B．点在圆内且不是圆心
C．点在圆上 D．点是圆心
9．若直线与圆相交，则与圆的位置关系为（ ）
A．在圆外 B．在圆上
C．在圆内 D．以上都有可能
题型四：点与圆的位置关系求参数
10．若点在圆的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．点在圆的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
12．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
13．当方程所表示的圆的面积最大时，直线的倾斜角为（ ）．
A． B． C． D．
14．如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知曲线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．已知圆，则“且”是“圆C与轴相切于原点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线所得弦长为6，则实数m的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-4 D．-31
18．“”是“为圆方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
19．已知直线，若圆上存在两点，关于直线对称，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
20．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．
C．(1，＋∞)∪ D．R
21．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
22．若直线平分圆的周长，则
A．9 B．-9 C．1 D．-1
23．“”是“点在圆外”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
24．下面说法正确的是（ ）
A．
B．
C．集合表示曲线的长度为
D．若，，则
25．直线经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
27．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
28．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1)
B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．
29．若实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
30．两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
31．已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
33．方程（，不全为零），下列说法中正确的是（ ）
A．当时为圆
B．当时不可能为直线
C．当方程为圆时，，满足
D．当方程为直线时，直线方程
34．已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则（ ）
A．圆的方程为
B．直线的方程为
C．均与圆相切
D．四边形的面积为
35．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为
B．圆被轴截得的弦长为8
C．圆的半径为5
D．圆被轴截得的弦长为6
三、填空题
36．已知圆与圆关于直线对称，则直线方程___________.
37．抛物线过圆的圆心，为抛物线上一点，则A到抛物线焦点F的距离为__________.
38．已知圆，圆的圆心在轴上，且与的公共弦所在直线的方程为，则圆的方程为___________.
39．若点在圆：内，则实数的取值范围为______．
40．已知定点在圆的外部，则的取值范围为________．
四、解答题
41．已知圆经过点，，从下列3个条件选取一个_______
①过点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程.
42．已知曲线：．
（1）当取何值时，方程表示圆？
（2）求证：不论为何值，曲线必过两定点．
（3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值．
43．已知圆：经过点，.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线：与圆交于M，N两点，是否存在直线，使得.（为坐标原点） 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
44．已知，，.
（1）求点到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
45．已知方程表示圆，其圆心为C.
（1）求该圆半径r的取值范围；
（2）求圆心C的轨迹方程；
（3）若，线段的端点A的坐标为，端点B在圆C上运动，求线段中点M的轨迹方程.
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试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用待定系数法进行求解即可.
【详解】
设圆的一般方程为，
因为，，在这个圆上，
所以有，
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
根据新定义只需求锐角三角形外接圆的方程即可得解.
【详解】
，，，
为锐角三角形，
的外接圆就是它的最小覆盖圆，
设外接圆方程为，
则 解得
的最小覆盖圆方程为，即，
的最小覆盖圆的半径为.
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
设圆的一般方程为：，代入点坐标，待定系数可解得，将一般方程转化为标准方程，可得，利用圆的面积公式即得解
【详解】
由题意，设圆的一般方程为：
解得：
故圆的一般方程为：
故圆的半径，圆的面积
故选：A
4．C
【解析】
【分析】
根据题意可得：直线l：x－y＋1＝0经过圆心（－，－1），代入运算解得k＝4，再代入求圆的半径．
【详解】
圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，
则圆心坐标为（－，－1），半径为
因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，
所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，
所以－＋1＋1＝0，k＝4．
所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.
故选：C．
5．D
【解析】
【分析】
直接化成圆的标准方程，求圆心和半径即可.
【详解】
由得，故圆心，半径.
故选：D.
6．C
【解析】
【分析】
代入法即可求得圆心坐标.
【详解】
圆的圆心为
则圆的圆心坐标是
故选：C
7．C
【解析】
【分析】
将圆C的一般方程转化为标准方程，求出圆心及半径，对各选项逐一判断即可求解.
【详解】
解：因为圆C的方程为，即，
所以圆心坐标为，半径，
对A：圆C的圆心不在直线上，所以圆C不关于直线对称，故选项A错误；
对B：圆C的圆心不在x轴上，但圆C过原点，故选项B错误；
对C：圆C的圆心在直线上，所以圆C关于直线对称，故选项C正确；
对D：圆C的圆心不在y轴上，但圆C过原点，故选项D错误；
故选：C.
8．B
【解析】
【分析】
把点的坐标代入圆的方程左边得到点在圆内，再求出圆心判断得解.
【详解】
由题得，
所以点在圆内.
又，
所以圆心为.
所以点在圆内且不是圆心.
故选：B
9．A
【解析】
【分析】
根据直线与圆的距离关系得出，再由点与圆的位置关系判断得选项.
【详解】
解：∵直线与圆相交，∴圆心到直线的距离，
∴，则与圆心的距离，点P在圆外.
故选：A.
10．A
【解析】
【分析】
点 在圆的内部，则把点代入圆的方程后，
【详解】
因为点在圆的内部，所以，解得：
故选：A
11．A
【解析】
【分析】
点在圆内，则把点的坐标代入圆中，满足，解出结果.
【详解】
∵点在圆的内部
∴
解得：
故选：A
12．C
【解析】
【分析】
由于点在圆的外部，所以，从而可求出的取值范围
【详解】
解：由题意得，解得，
故选：C．
13．B
【解析】
【分析】
先配方得圆的标准方程，再根据圆半径最大值时取法得的值，最后求直线倾斜角.
【详解】
方程可化为，
设圆的半径为，则，
∴当时，取得最大值，从而圆的面积最大．
此时，直线方程为，斜率，倾斜角为，
故选：B
【点睛】
本题考查圆的标准方程、直线倾斜角、圆面积最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．C
【解析】
【分析】
由已知可得．再由由点在圆内部或圆上可得．由此可解得点在以和为端点的线段上运动．由表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项．
【详解】
函数恒过定点．将点代入直线可得，即．
由点在圆内部或圆上可得，
即．或．所以点在以和为端点的线段上运动．
表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以，．所以．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：解决本题类型的问题，关键在于由已知条件得出所满足的可行域，以及明确所表示的几何意义.
15．D
【解析】
【分析】
将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆的圆心坐标及半径，将有三个公共点转化为两条直线与圆的交点问题，即可求出结果.
【详解】
，
，或，
圆心（2,3）到的距离，所以与相切于点（2,4），
与交于不同的三点，即要求与有2个交点，且不交于（2,4），
记为圆心（2,3）到的距离
又因为不经过（2,4）
故选：D
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是转化，将其转化为直线与圆的位置关系，即可得到结果，需要注意特殊点的考虑.
16．A
【解析】
【分析】
根据圆的方程，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由圆C与y轴相切于原点，可得圆C的圆心在轴上，设圆心坐标为（a，0），且半径，所以当且时，可得圆心为，半径为，
此时圆C与轴相切于原点，所以充分性成立；
例如：圆与y轴相切于原点，但，所以必要性不成立
所以“且”是“圆C与轴相切于原点”的充分不必要条件.
故选：A.
17．C
【解析】
【分析】
求得圆心坐标，判断圆心在直线上，从而根据弦长求得的值.
【详解】
圆的方程可化为，
所以圆心，圆心在直线上，
所以.
故选：C
18．A
【解析】
【分析】
根据圆的一般方程表示圆的条件和充分必要条件的判断可得选项.
【详解】
方程表示圆需满足或，
所以“”是“为圆方程”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的一般方程和充分条件与必要条件的判断，属于基础题.
19．D
【解析】
【分析】
根据圆上存在两点，关于直线对称，可得直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可得出答案.
【详解】
解：因为圆，
所以圆C的圆心坐标为，
又因为圆上存在两点，关于直线对称，
所以直线过圆心，
则，解得.
故选：D.
20．A
【解析】
【分析】
根据表示圆的条件D2＋E2―4F＞0，解不等式即可.
【详解】
因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．
故选：A.
21．D
【解析】
【分析】
根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果.
【详解】
解：由题意得：
由得
圆心为，半径为，
当且仅当时，半径最小，则面积也最小；
圆心为，半径为，
圆心到坐标原点的距离为，
即原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.
故选：D.
22．B
【解析】
【分析】
直线平分圆周长，说明直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程可得.
【详解】
因为直线平分圆的周长，所以直线经过该圆的圆心，则，即.选B.
【点睛】
本题考查圆的一般方程，解题关键是把圆的一般方程化为标准方程，属于基础题.
23．B
【解析】
【分析】
根据点在圆外得求解集，应用等价法，由集合的包含关系即可判断条件间的充分、必要关系.
【详解】
将化为标准方程，得
当点在圆外时，有，解得
∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件.
故选：B.
24．C
【解析】
选项A. 易知可判断；选项B. 集合可判断；选项C. 集合中，所表示的曲线方程为可判断；选项D. 由可判断.
【详解】
选项A. 易知，故A不正确.
选项B. 集合，故B不正确.
选项C. 集合中，所表示的曲线方程为
表示以为圆心，以2为半径的圆的右半部分，则曲线长度为，故C正确.
选项D. ，故D不正确.
故选：C
25．A
【解析】
【分析】
将圆的方程整理为标准方程可得圆心坐标，由倾斜角和斜率关系求得直线斜率，由直线点斜式方程整理得到结果.
【详解】
整理圆的方程可得：，圆心，
倾斜角为，其斜率，
方程为：，即.
故选：A.
26．C
【解析】
【分析】
求出线段的垂直平分线的方程，与直线联立，即可求出圆心，再求出半径即可得出圆的方程.
【详解】
线段的中点坐标为，直线的斜率，
则线段的垂直平分线的方程为，即.
由，解得.
所以圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，即.
故选：C.
27．A
【解析】
利用一般方程表示圆得的不等式求解
【详解】
由题，则解得
故选：A
【点睛】
本题考查圆的一般方程，是基础题
28．A
【解析】
【分析】
把圆的方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0化为标准型，利用，解出k的取值范围.
【详解】
方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．
故选：A.
29．A
【解析】
【分析】
先化简曲线方程，判断曲线的形状，明确的几何意义，结合图像解答.
【详解】
，表示以为圆心，3为半径的圆.
表示以圆上的任意一点到两点间距离，的最大值即为
故选：A
30．D
【解析】
【分析】
本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.
【详解】
将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，
故选：D.
31．B
【解析】
由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数的不等式，解出即可.
【详解】
由于方程表示的曲线为圆，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.
32．A
【解析】
【分析】
根据二元二次方程表示圆的条件求解．
【详解】
由，得．
故选：A．
33．ACD
【解析】
【分析】
对于A、B、D可直接代值确定，对于C，展开化简，根据圆的方程的特点判断.
【详解】
对于A，由题可得 或，代入得或，都是圆，故A对；对于B，当时，化简得是直线，故B错；对于C，原式可化为，要表示圆，则必有，故C对；对于D，只有时，方程表示直线，故D对.
故选：ACD.
34．AC
【解析】
【分析】
A．将圆的方程化为标准方程，求解出圆心的坐标，则圆的标准方程可求，最后化为一般方程并判断；
B．联立两个圆的一般方程，通过相减消去得到直线的方程并判断；
C．根据切线的定义进行判断；
D．根据结合线段长度求解出结果并判断.
【详解】
解：由圆，得，
则圆心，线段的中点坐标为，
则以为直径的圆的方程为，
整理得：，
即圆的方程为，故A正确；
联立，两式作差可得：，
即直线的方程为，故B错误；
∵在以为直径的圆上，∴，
由圆心与切点的连线与切线垂直，可得均与圆相切，故C正确；
∵，且，∴，
∴四边形的面积为，故D错误．
故选：AC．
35．ABCD
【解析】
【分析】
将圆一般方程化为标准方程，可求得圆心和半径，即可判断AC是否正确，再令和，算出弦长可判断BD是否正确.
【详解】
由圆的一般方程为，则圆，
故圆心为，半径为，则AC正确；
令，得或，弦长为6，故D正确；
令，得或，弦长为8，故B正确.
故选：ABCD.
【点睛】
本题考查了圆的一般方程与标准方程的互化，圆被轴，轴所截的弦长问题，属于基础题.
36．
【解析】
【分析】
由于两圆的半径相等，可得，求出两圆的圆心O(0，0)，，则求出OA的中点坐标，，从而可得直线的斜率为，从而可求出直线的方程
【详解】
由于半径相等，易求，由圆的圆心坐标为O(0，0)，
圆的标准方程为，可得圆心，
则OA的中点坐标为，且OA的斜率为，可得所求直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
37．5
【解析】
求得圆心的坐标，由此求得抛物线的方程，进而求得抛物线的准线方程，结合抛物线的定义，求得到抛物线焦点的距离.
【详解】
圆的圆心为，即，代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，其准线方程为，则A到抛物线焦点F的距离等于到抛物线准线的距离，即距离为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查圆的方程，考查抛物线的定义，属于基础题.
38．
【解析】
【分析】
本题可设圆的方程为，然后两圆的方程相减，得出公共弦所在直线的方程为，最后根据题意得出，通过计算即可得出结果.
【详解】
设圆的圆心为，半径为，
则圆的方程为，即，
因为圆，
所以与的公共弦所在直线的方程为，
即，
因为与的公共弦所在直线的方程为，
所以，解得，，
故圆的方程为，
故答案为：.
39．
【解析】
【分析】
利用点在圆内列出不等式求解即可．
【详解】
圆：，点在圆内，则，即，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，考查圆的方程，属于基础题．
40．
【解析】
【分析】
解不等式即得解.
【详解】
因为点在圆的外部，
所以．
所以．
所以的取值范围为．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查圆的方程，考查点和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
41．（1）；（2）.
【解析】
（1）选择①、②、③，分别用待定系数法求圆的方程；
（2）先分析出，M的轨迹落在圆上，根据交点判断范围即可.
【详解】
解：选①设圆的方程为，，
由题意可得，解得，
则圆E的方程为即；
选②，直线恒过（1,0）
而圆恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心为（1,0），可设圆的标准方程为
由圆经过点，得
则圆E的方程为；
选③，：圆E的方程为；
由题意可得，解得，
则圆E的方程为；
（2）因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理，得：，
所以点M落在以EP为直径的圆上，其方程为.
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧，
由解得，
所以M的轨迹方程为：
【点睛】
（1）待定系数法是求二次曲线的标准方程的最常用方法；
（2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
42．（1）；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）当时，可知方程表示直线；当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；
（2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得；
（3）根据（2）的结论，可知以为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果．
【详解】
解：（1）当时，方程为表示一条直线．
当时，，
整理得，
由于，
所以时方程表示圆．
（2）证明：方程变形为．
由于取任何值，上式都成立，则有．
解得或
所以曲线必过定点，，
即无论为何值，曲线必过两定点.
（3）由（2）知曲线过定点A，，在这些圆中，以为直径的圆的面积最小（其余不以为直径的圆的直径大于的长，圆的面积也大），
从而以为直径的圆的方程为，
所以，解得．
43．(1)；
(2)存在，或3.
【解析】
【分析】
（1）解方程组即得解；
（2）设，，联立直线和圆的方程得到韦达定理，再把韦达定理代入向量的数量积化简即得解.
(1)
（1）依题设得，解之得，.
∴圆的标准方程为.
(2)
（2）设，，
联立，消去并化简得，
∴，，
∴，
∴，∴或3.
∵直线过定点在圆内.
∴或3均满足.
44．（1）；（2）.
【解析】
（1）由，可求出直线方程，利用点到直线的距离求解；
（2）设外接圆的方程为，利用三点坐标求解.
【详解】
（1），
由得直线的方程为.
所以点到直线的距离
（2）设外接圆的方程为，
由题意，得
解得
即的外接圆的方程为.
45．（1）；（2），；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，即求；
（2）利用圆心，消去参数即得；
（3）利用相关点法即求.
【详解】
（1）方程可变为，
由方程表示圆，
所以，即得，
∴.
（2）由（1）知，令，
消去可得，，又，
所以，
故圆心C的轨迹方程，.
（3）当时，圆C方程为：，
设，又M为线段的中点，A的坐标为则，
由端点B在圆C上运动，
∴即
∴线段中点M的轨迹方程为.
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