资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2．5.1　直线与圆的位置关系
【考点梳理】
考点一　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ dr
代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
思考　几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
答案　“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”， 判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．
考点二　解决实际问题的一般程序
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．
考点三　用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题．
第二步：通过代数运算，解决代数问题．
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
【题型归纳】
题型一：判断直线与圆的位置关系
1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
2．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（　　）
A． B．
C． D．
3．圆与直线的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
题型二：由直线与圆的位置关系求参数
4．“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．直线与圆相切，则（ ）
A．3 B． C．或1 D．3或
题型三：圆的切线方程
7．过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．或
8．已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型四：圆的弦长问题
10．直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
11．已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（ ）
A． B． C． D．
12．已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【双基达标】
13．设为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则（ ）
A．3 B．-1 C．3或-1 D．-3或1
14．与圆相切，且在x、y轴上截距相等的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
15．若直线：被圆所截得的弦长为2，则点与直线上任意一点的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
16．已知圆，则过圆上一点的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为
A． B． C． D．
18．过圆内的点作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是（ ）
A． B． C． D．
19．已知直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．已知为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A． B． C． D．
21．若直线与圆没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－4，4） B．（－2，2）
C．（－∞，－4）U（4，＋∞） D．
22．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（ ）
A．9 B．4 C． D．
23．直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是（ ）
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
24．已知直线与圆相交于A，B两点，P为圆C上的动点，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
25．已知直线，若圆上存在两点，关于直线对称，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
26．已知圆，直线，点为上一动点，过点作圆的切线，（切点为，），当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
27．已知直线被圆所截得的弦长为4，则k为（ ）
A． B． C．0 D．2
28．与直线相切于点且半径为1的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．或
29．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
30．直线与圆相交于不同的，两点其中，是实数，且是坐标原点，则点与点距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定
32．过点作圆的最短弦，延长该弦与轴、轴分别交于两点，则的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
33．若直线与曲线有公共点，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
34．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
35．已知圆：上恰有两个点到直线：的距离为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
36．已知圆的方程为，过点的直线与圆相交于，两点，当最小时，则直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
37．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为
B．圆截轴所得的弦长为
C．圆上的点到直线的最小距离为
D．圆与圆相离
38．设圆的圆心为， 为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为 ，则（ ）
A． B．四点共圆 C． D．直线的方程为：
39．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D．在直线上存在异于，的两点，，使得
三、填空题
40．过点与圆相切的直线方程为_____________.
41．设，圆，若动直线与圆交于点A、C，动直线与圆交于点B、D，则的最大值是________．
42．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是______．
43．经过，两点，并且在x轴上截得的弦长等于6，则这个圆的方程是______．
44．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为________．
45．直线和的位置关系是______．
四、解答题
46．如图，公路和公路在点P处交汇，且，点A处有一所学校，，一辆拖拉机从P沿公路前行，假设拖拉机行驶时周围100米以内会收到噪声影响．
（1）该所学校是否会受到噪声影响？请说明理由；
（2）已知拖拉机的速度为每小时18千米，如果受影响，影响学校的时间为多少？
47．已知圆．求满足下列条件的切线方程．
(1)过点；
(2)过点．
48．最近国际局势波云诡谲，我国在某岛（如图（1））上进行军事演练，如图（2），是三个军事基地，为一个军事要塞.已知km，到的距离分别为km，km.
（1）求两个军事基地的长；
（2）若要塞正北方向距离要塞20km处有一城中心正在进行爆破试验，爆炸波生成th时的半径为(为大于零的常数)，爆炸波开始生成时，一军事卡车以km/h的速度自基地开往基地，问实数在什么范围取值时，爆炸波不会波及到卡车的行驶.
49．已知圆，直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．
50．已知圆：经过点，.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线：与圆交于M，N两点，是否存在直线，使得.（为坐标原点） 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
中小学教育资源及组卷应用平台
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系即可.
【详解】
圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径
圆心到直线2x+y+1＝0的距离
由，可得圆与直线的位置关系为相交.
故选：C
2．B
【解析】
【分析】
判断所给的圆是否与直线 始终相交的依据是
直线所过的定点（-4，1）是否在该圆内或圆上.
【详解】
， ，∴直线恒过点P（—4，1） ，
对于A，圆心为（2，-1），半径为5，P到圆心的距离为： ，
即P点不在该圆内；
对于B，圆心为（-1，-2），半径为5，P到圆心的距离为 ，
故点P在该圆内；
对于C，圆心为（3，-4），半径为5，P点到圆心的距离为 ，
故点P不在该圆内；
对于D，圆心为（-1，-3），半径为5，点P到圆心的距离为 ，
点P该在圆上，可能相切也可能相交；
故选：B.
3．C
【解析】
【分析】
先计算出直线恒过定点，而点在圆内，所以圆与直线相交.
【详解】
直线可化为，所以恒过定点.
把代入，有：，
所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交.
故选：C
4．A
【解析】
【分析】
先由直线与圆相切求出参数的值，从而判断出是充分不必要条件.
【详解】
若直线与圆相切，则，解得或，
所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．
故选：A．
5．A
【解析】
【分析】
分析可知直线过圆心，则，且有且，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
圆的圆心为，由题意可知，直线过圆心，则，
因为，则且，
因此，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：A.
6．D
【解析】
【分析】
利用题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值.
【详解】
圆的圆心坐标为，半径为
又直线与圆相切，
则，解之得或，
故选：D．
7．C
【解析】
【分析】
确定点在圆上，即可求得圆心和该点连线的斜率，即得过该点的切线的斜率，由直线的点斜式方程可得答案.
【详解】
将点代入中，成立，
即点在圆上，
圆心和连线的斜率为 ，
故过圆上点的切线的斜率为 ，
则切线方程为，即，
故选：C
8．B
【解析】
【分析】
利用面积相等求出.设，得到.利用几何法分析出，即可求出的最小值.
【详解】
圆：化为标准方程：，其圆心,半径.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有，即，变形可得：.
设，则.
所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.
而的最小值为点C到直线的距离，即，
所以.
故选：B
9．A
【解析】
【分析】
直线经过点，且与圆相切可知，再使用点斜式即可.
【详解】
直线经过点，且与圆相切，则,
故直线的方程为，即.
故选：A.
10．C
【解析】
【分析】
首先求出直线过定点坐标，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可．
【详解】
解：圆的圆心为，半径，
又直线，直线恒过定点，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，
此时弦心距为．
所截得的最短弦长：．
故选：C．
11．B
【解析】
【分析】
圆心到直线的距离为，则,而，所以，解方程即可求出答案.
【详解】
圆的圆心，
所以圆心到直线的距离为，则，
而，所以，解得：.
故选：B.
12．B
【解析】
【分析】
根据垂径定理可得参数的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.
【详解】
由，即，
故圆心，半径，
所以点到直线的距离，
故，即，
解得：；
所以，；
又，圆心，，
所以，
且，
即圆与圆相交，
故选：B.
13．C
【解析】
【分析】
化出圆的标准方程，求出圆心和半径，利用垂径定理列方程求解即可.
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
直线的一般方程为
则由已知得，
解得或
故选：C.
14．D
【解析】
【分析】
分别设出过原点与不过原点的直线方程，再由点到直线的距离公式求解得答案．
【详解】
解：圆的标准方程为，则圆心为，半径为，
当直线经过原点时，设直线方程为，
由直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
则直线方程为；
当直线不经过原点时，设直线方程为，
由，解得或，
则直线方程为或．
与圆相切，且在，轴上的截距相等的直线共有4条．
故选：D．
15．B
【解析】
【分析】
设圆心到直线的距离为，进而根据弦长得与关系解得，进而将问题转化为与直线的距离问题求解即可.
【详解】
根据题意，圆的圆心为，半径为2，
设圆心到直线的距离为，则，
若直线被圆所截得的弦长为2，则，
所以，又，解得，
所以，解得，
点与直线上任意一点的最小值为点到直线的距离，
故选:B．
16．A
【解析】
由于直线与切线垂直，得求得切线斜率故可求切线方程.
【详解】
圆的圆心为，则直线的斜率，
故切线的斜率，所以切线方程为
化简得：
故选：A
17．D
【解析】
【分析】
由于两圆不在直线的同侧，先做出圆关于直线对称的圆，把转化为，若最大，必须最大，最小.
【详解】
如图：
依题意得点在直线上，
点关于直线对称的点,
点在圆关于直线对称的圆上，
则，设圆的圆心为，
因为，，
所以，当五点共线，在线段上，在线段上时“=”成立.
因此，的最大值为4.
【点睛】
本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，距离和差的最值问题对称变换是常采用的方法.
18．A
【解析】
【分析】
当圆心与的连线垂直于时，被圆截得的线段长最短，从而可求直线的方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，
当时，l被圆截得的线段最短，，∴，
故所求直线l的方程为，即.
故选：A.
19．D
【解析】
【分析】
曲线表示一个半圆，由题意画出图形，利用数形结合法即可求解．
【详解】
解：曲线可化为，，表示以为圆心，半径为2的圆的下半圆，作出直线与该半圆的图形如下：
由图可知直线从点处与圆相切时运动到过处时，直线与圆有两个公共点，
将代入得：；
由直线与圆相切，得，解得（舍或，
所以，的范围是．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是曲线将可化为，，表示以为圆心，半径为2的圆的下半圆，然后数形结合求解.
20．C
【解析】
【分析】
求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解.
【详解】
∵圆，∴圆心，半径，
∴圆心到直线的距离，
∴圆上的点到直线的距离最大值为，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查圆上的点到直线距离的最值问题，利用圆的几何性质是解题的关键.
21．D
【解析】
【分析】
由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径，应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.
【详解】
由题设，圆心为，半径为2，
因为直线与圆没有公共点，
所以，可得或.
故选：D
22．A
【解析】
【分析】
根据题意，结合直线被圆所截的弦长，求出和的关系，再根据均值不等式，即可求解.
【详解】
由题意得圆的标准方程为，且圆心为，半径为.
∵直线被圆截得的弦长为4，∴圆心在直线上，∴，即.
又，，∴，
当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值是9.
故选：A.
23．D
【解析】
【分析】
求出圆心到直线的距离，与半径比较，可得出结果.
【详解】
圆心(1，-1)到直线3x+4y+12=0的距离d=<3，所以直线与圆相交.
故选：D
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了运算能力，属于基础题目.
24．C
【解析】
【分析】
根据圆的弦长公式，结合点到直线距离公式、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】
由可知：圆心，半径为，
圆心C到直线距离，
∴，
∴.
故选：C
25．D
【解析】
【分析】
根据圆上存在两点，关于直线对称，可得直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程即可得出答案.
【详解】
解：因为圆，
所以圆C的圆心坐标为，
又因为圆上存在两点，关于直线对称，
所以直线过圆心，
则，解得.
故选：D.
26．C
【解析】
【分析】
设四边形的面积为，求出四边形的面积最小时，四边形是正方形，求出线段的中点坐标为，直线的斜率为即得解.
【详解】
设四边形的面积为，
，，
所以，当最小时，就最小，，
所以． 此时.
所以，四边形是正方形，
由题得直线的方程为，
联立得，
所以线段的中点坐标为，
由题得直线的斜率为
所以直线的方程为，
化简得直线的方程为.
故选：C
27．A
【解析】
【分析】
利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k.
【详解】
设圆心到直线的距离为d，则由点到直线的距离公式得，
由题意得：，解得．
故选：A
28．D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形求出圆的圆心，即可写出圆的方程．
【详解】
如图所示，
由图形知，与直线相切于点且半径为1的圆的圆心为或，
所以圆的方程为或．
故选：．
29．B
【解析】
的圆心，求出以为直径的圆的方程为，把圆与圆相减，得直线AB的方程．
【详解】
设坐标原点为，以为直径的圆的方程为，即，
把圆与圆相减，得：，
直线经过两圆的交点，即切点.
所以直线即为圆与圆的公共弦所在的直线，
AB方程为:.
故选：B.
30．D
【解析】
【分析】
过点作，垂足为，由得，又，故，则点与点距离为区域内的点到点的距离，画图即可求解．
【详解】
如图，过点作，垂足为，
，，
，
又，，即．
则点与点距离为区域内的点到点的距离，
设，如图，，
因此点与点距离的取值范围为．
故选：D．
31．B
【解析】
【分析】
根据圆心到直线距离与圆半径之间的关系进行判定.
【详解】
因为，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.
故选：B.
32．B
【解析】
【分析】
先利用圆的性质确定最短弦所在直线的方程，再求得两点坐标，计算面积即得结果.
【详解】
依题意，点，由圆的性质可知，过点且垂直PM的直线l截得的弦长最短.
而，所以直线l的斜率为1，即方程为：，即.
所以直线l与轴、轴分别交于，
故底边，高，即面积为.
故选：B.
33．D
【解析】
【分析】
直线经过原点，画出曲线，通过图形临界位置的分析即可得出实数的范围.
【详解】
当时，直线为轴与曲线显然有公共点.
时，经过原点，斜率为，曲线为圆心（2，2）半径为2的上半圆.当直线经过半圆的右端点A恰好有公共点，逆时针旋转至轴满足题意，如下图.由于 故，解得，综上
故选：D.
34．D
【解析】
【分析】
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】
圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
35．B
【解析】
【分析】
根据圆心到直线的距离可求直线斜率的取值范围，从而可求倾斜角的取值范围.
【详解】
设圆心到直线的距离为.
因为圆：上恰有两个点到直线：的距离为，
故，所以，解得，
故倾斜角的范围为 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，注意根据圆上到直线的距离等于定值的点的个数确定圆心到直线的距离的范围，本题属于中档题.
36．D
【解析】
【分析】
由题意可知当最小时，则弦最小，此时，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程
【详解】
解：由题意可得圆心坐标为，由三角形的大边对大角可知，当最小时，则弦最小，
所以，，
所以直线方程为，
故选：D.
37．BC
【解析】
【分析】
将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A；利用几何法求出弦长可判断B；求出圆心到直线的距离再减去半径可判断C；求出圆的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：由可得，所以的半径为，故选项A不正确；
对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为
，故选项B正确；
对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，故选项C正确；
对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，故选项D不正确；
故选：BC.
38．ABCD
【解析】
【分析】
首先将圆的方程配成标准式，即可求出圆心坐标与半径，再利用勾股定理求出切线上，利用锐角三角函数的性质求出、的横坐标，即可判断CD；依题意可得到四点的距离相等，即可判断B；
【详解】
解：因为，即，则圆心，半径，所以，故A正确；在中，，，所以，即，所以，，所以点的横坐标为，所以直线的方程为，故C、D正确；
如图直线与圆相交于点，显然，故四点共圆，故B正确；
故选：ABCD
39．ABD
【解析】
根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.
【详解】
因为，，点满足，
设点，则 ，
化简得：，即 ，故A正确；
因为，所以，则 ，解得 ，故B正确；
易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误；
假设存在异于，的两点，，则，
化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或 （舍去），故存在 ，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解.
40．x=2或.
【解析】
【分析】
分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论：
斜率不存在时，直线l：x=2与圆相切；
斜率存在时，设其为k，则直线l：，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求出k，即可求出直线方程.
【详解】
圆化为标准方程：，
所以当过点的直线斜率不存在时，直线l：x=2与圆相切；
过点的直线斜率存在时，设其为k，则直线l：，
因为l与圆A相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，解得：，此时l：.
故答案为：x=2或.
41．
【解析】
【分析】
求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.
【详解】
，
圆心M(1，3)，半径r＝，
过定点E(2,1)，
过定点E(2,1)，
且⊥，
如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形，
设，，则，
则＝
，当且仅当即时取等号.
故答案为：.
42．##
【解析】
【分析】
由钝角的面积为，求得，得到，进而求得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
【详解】
解：由圆，即，
可得圆心坐标为，半径为，
因为钝角的面积为，可得，
解得，因为，所以，
可得，
设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得，
根据点到直线的距离公式，解得．
故答案为：．
43．或
【解析】
【分析】
求出线段的垂直平分线为，设圆心，求出半径的表达式，利用圆心到轴的距离为，由题意可得，解出，从而可求出圆的方程
【详解】
线段的中点为，，
所以线段的垂直平分线为，即，
所以设，
圆的半径为，
圆心到轴的距离为，
由题意得，
所以，
整理得，
解得或，
当时，圆心为，，
所以圆的方程为，
当时，圆心为，，
所以圆的方程为，
故答案为：或
44．
【解析】
【分析】
由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．
【详解】
直线被圆截得的弦长为，
所以，圆心到直线的距离，
即，解得．
设直线的倾斜角为，则，则．
因此，直线的倾斜角为．
故答案为：．
45．相切
【解析】
【分析】
首先得到圆的圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断；
【详解】
解：圆圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，则直线与圆相切；
故答案为：相切
46．（1）会受到影响，理由见解析；（2）24秒．
【解析】
【分析】
（1）过点作于，由，，根据直角三角形中对的直角边是斜边的一半，即可求得的长，即可知该所中学是否会受到噪声影响；
（2）以为圆心，为半径作圆，交于点与，由勾股定理，即可求得的长，继而可求得的长，则可求得学校受影响的时间．
【详解】
（1）过点作于，
，，
，
，
该所中学会受到噪声影响；
（2）以为圆心，为半径作圆，交于点与，
则，
在中，，
，，
，
，
，
学校受影响的时间为：（秒．
47．(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）由题知点在圆，且切线斜率存在，进而根据切线与直线垂直求得切线斜率，最后根据点斜式求解即可；
（2）根据题意，分斜率不存在和存在两种情况讨论求解即可.
(1)
解：因为圆的圆心为，半径为，点在圆上，
所以过点的切线斜率存在，且其与直线垂直，
因为，所以，所求切线的斜率为，
所以，所求切线方程为，即：.
(2)
解：因为圆的圆心为，半径为，
所以，当过点的切线斜率不存在时，其方程为，满足题意；
当切线斜率存在时，设斜率为，则其方程为，即，
所以，圆心到切线的距离为，解得，
所以，切线方程为，即：.
综上，所求切线方程为或
48．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由点到直线的距离，结合直线的方程，即可求出的长；
（2）爆炸波不会波及卡车通行即对恒成立，代入进行分类讨论，即可得出结论．
【详解】
解：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．
则由题设得：，直线的方程为，，
由，及 解得，．
直线的方程为，即，
由 得 即，
，
即基地的长为．
（2）设爆炸产生的爆炸波圆，
由题意可得，生成小时时，卡车在线段上的点处，则
，，．
爆炸波不会波及卡车的通行即对恒成立．
，即
当 时，上式恒成立，
当时即，，令，，当且仅当，即时等号成立，
所以，在时 恒成立，亦即爆炸波不会波及卡车的通行．
【点睛】
处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
49．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出直线过定点，证明定点在圆内，即可证明结论；
（2）当直线l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，根据弦长公式即可求出最短弦长，根据求出直线的斜率，即可求出m的值，即可得出答案.
(1)
直线化为，
则，解得，
所以直线 l 恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)
当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线 l 的斜率为2，
即，解得，
所以直线 l 的方程为.
50．(1)；
(2)存在，或3.
【解析】
【分析】
（1）解方程组即得解；
（2）设，，联立直线和圆的方程得到韦达定理，再把韦达定理代入向量的数量积化简即得解.
(1)
（1）依题设得，解之得，.
∴圆的标准方程为.
(2)
（2）设，，
联立，消去并化简得，
∴，，
∴，
∴，∴或3.
∵直线过定点在圆内.
∴或3均满足.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑