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第9讲 匀变速直线运动中的追及相遇问题
【知识点】
讨论追及相遇的问题，实质就是分析讨论两物体能否同时到达同一位置的问题。
分析要点：
1．两个关系：时间关系和位移关系。
可通过画草图找出两物体的位移关系，也是解题的突破口。
2．一个条件：两者速度相等。
两者速度相等，往往是物体间能否追上，或两者距离最大、最小的临界条件，是分析判断的切入点。
一、追及、相遇问题
1、甲：初速度小的匀加速运动 乙：速度大的匀速运动
甲一定能追上乙，v甲=v乙时，甲、乙距离最大。
2、甲：速度大的匀速运动 乙：速度小的匀加速运动
（1）开始时，v甲＞v乙，甲乙间距越来越小。
（2）当v甲=v乙，甲乙间距达到最小值。
（3）在v甲＜v乙时，甲乙间距越来越大。
判断v甲=v乙时，甲乙的位置情况：
（1）若此时甲在乙后面，则甲追不上乙，此时刻是相距最近的时候。
（2）若甲、乙在同一处，则甲恰能追上乙。
（3）若甲在乙前，则追上，并相遇两次。
3．甲：初速度大的匀减速运动 乙：速度小的匀速运动
判断v甲=v乙的时刻甲乙的位置情况：
（1）若甲在乙后面，则甲追不上乙，此时刻是相距最近的时候。
（2）若甲、乙在同一处，则甲恰能追上乙。
（3）若甲在乙前，则追上，并相遇两次。
4、分析追及、相遇问题的几种方法
（1） 物理分析法：应用运动学公式，根据每个物体的运动情况，分别确定出各物体间的位移、时间和速度关系，并列出方程，进行求解.
寻找问题中隐含的临界条件，对临界状态分析求解。例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离；速度大者减速追赶速度小者，恰好能相遇意味着两者速度相等时相遇。
（2）极值法（函数法）：设相遇问题为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ＝0，说明刚好追上或相碰；若Δ＜0，说明追不上或不能相遇。
（3）图像法：将两者的v－t图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解。
①用位移图像求解，如果两个物体的位移图像相交，则说明两者相遇。
②用速度图像求解，则比较速度图线与时间轴包围的面积分析两者是否相遇。
（4）相对运动法
以其中一个物体为参考系，确定另一个物体的相对初速度和相对加速度，就把研究两个物体的运动问题，转化为研究一个物体的运动问题。
注意：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
例1、一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，此时一辆自行车以6m/s的速度匀速从后边驶来恰好经过汽车，求：
（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
（2）什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
分析：汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度是定值、只要汽车的速度小于自行车速度，两者的距离将越来越大，而一旦汽车的速度增加到超过自行车速度时，两车距离就将缩小，因此两车速度相等时它们之间的距离最大。
法一：物理分析法（临界分析）
解：（1）二者速度相等时距离最大，
由v汽= at = v自 ，得：t = == 2s
最远距离x =x自－x汽= v自t at2=6×2－×3×22 m=6 m
法二：极值法（函数法）
解：（1）此问可以用数学求极值的方法。设汽车在追上自行车之前t秒两车相距最远
由于x=x自 – x汽 = v自t – at2
代入数据得 x =6t - 1.5t2 = - 1.5t2 +6t
由二次函数求极值条件知 t = - = =2 (s)时 ，x最大
且 xm= 6t - 1.5t2 =6×2 - 1.5×22 = 6 (m)
法三：图像法
解：（1）
（2）汽车追上自行车时，二者位移相等，则：v自t' = at'2
即：6t' =×3×t'2
汽车追上自行车的时间t' = 4 (s)
此时汽车的速度v' =a t' =3×4 = 12 (m/s )
例2、在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。
法一：物理分析法（临界分析）
利用位移公式、速度公式求解
对A车：xA＝v0t＋×(－2a)×t2，vA＝v0＋(－2a)×t，
对B车：xB＝at2，vB＝at，
两车位移关系有x＝xA－xB，
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件：
v0<
法二：极值法（函数法）
利用判别式求解
由解法一可知：xA＝x＋xB，
即v0t＋×(－2a)×t2＝x＋at2，
整理得3at2－2v0t＋2x＝0。
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式：
Δ＝(－2v0)2－4·3a·2x<0时，t无实数解
即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<
法三：图像法
利用v－t图像求解
先作A、B两车的v－t图像，如图所示
设经过t时间两车刚好不相撞，则
对A车：vA＝v＝v0－2at
对B车：vB＝v＝at
以上两式联立解得t＝
经t时间两车发生的位移之差为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知
x＝v0·t＝v0·＝
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足
v0<
【针对训练】
一、单选题
1．如图所示，A、B两物体相距s＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时正以vB＝10 m/s的初速度向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，则A追上B所经历的时间是( )
A．7 s B．8 s C．9 s D．10 s
2．汽车正以10m/s的速度在平直的公路上前进，在它的正前方s处有一辆自行车以4m/s的速度做同方向的匀速直线运动，若汽车立即关闭油门做a=-6m/s2的匀减速运动，若汽车恰好不碰上自行车，则s的大小为（　　）
A．2m B．3m C．4.5m D．4m
3．甲、乙两车在一条平直的公路上同向行驶，t=0时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图象如图（a）所示，以t=0时刻甲车所在位置为坐标原点O，以甲车速度方向为正方向建立x轴，乙车的位置坐标随时间变化的图象如图（b）所示。下列说法正确的是（图中数据为已知）（　　）
A．甲车做匀变速直线运动加速度大小为2m/s2
B．乙车做匀速直线运动，速度大小为8m/s
C．t=6s时甲车追上乙车
D．甲、乙两车相距最近为2m
4．甲、乙两辆汽车在同一平直公路上同向行驶，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。从某时刻开始计时，经过时间t，位移为x，其图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．甲车的加速度大小是
B．甲车的加速度大小是
C．当时，甲、乙两车共速
D．当时，甲、乙两车共速
5．甲、乙两车在同一水平路面上，甲车在前，乙车在后，开始相距6m，两车由静止沿相同方向同时做直线运动，其运动的图像如图所示。对甲、乙两车运动情况的分析，下列结论中正确的是（　　）
A．甲、乙两车加速时的加速度大小之比为2∶1，甲、乙两车减速时的加速度大小之比为1∶1
B．在时刻，甲、乙两车相距最近
C．在之前，乙车始终追不上甲车
D．在之前，乙车可以追上甲车
6．A、B两辆汽车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度，B车在后，其速度，因大雾能见度低，B车在距A车m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180m才能停止，B车刹车时A车仍按原速度行驶，下列说法正确的是（　　）
A．B车的刹车时间为6s
B．两车速度相等的时刻是4s
C．两车会相撞，相撞之前会有最远的距离
D．两车不会相撞，两车最近距离是5m
7．甲、乙两汽车在水平高速公路上同一条直道上行驶，乙在前、甲在后同向行驶。某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的笛声提示并同时开始刹车。两辆车刹车时的v-t图像如图，则（　　）
A．若两车刚好发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距为150m
B．若两车刚好发生碰撞，开始刹车时两辆车的间距为200m
C．若两车发生碰撞，碰撞时
D．若两车发生碰撞，碰撞时
8．某出租车正在靠近右侧人行道的道路上以10m/s的速度匀速向前行驶，车后方5m远处有一乘客示意司机停车，同时乘客以5m/s的速度匀速同向追赶，司机看到信号经1.5s反应时间后，立即刹车，加速度大小为2。则（　　）
A．从司机看到信号到出租车速度减到零所用时间为5s
B．从司机看到信号到出租车速度减到零出租车的总位移为40m
C．出租车停止前，乘客已追上
D．乘客追上出租车的总时间为8s
二、多选题
9．一步行者以6.0m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公交车，在跑到距汽车20m处时，绿灯亮了，汽车即刻以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则（ ）
A．人经6s时间能追上了公共汽车
B．人追不上公共汽车，人车之间的最近距离为2m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了36 m
D．人追不上公共汽车，且车开动后，人车之间的距离先减小，后增大
10．甲车以10m/s的速度在平直的公路上行驶，乙车以4m/s的速度与甲车平行同向作匀速运动，甲车经过乙车旁边时开始以1m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时（　　）
A．乙车追上甲车前，两车的最大距离为10m B．乙车追上甲车前，两车的最大距离为18m C．乙车经过12s追上甲车 D．乙车经过12.5s追上甲车
11．t=0时刻，公交车从静止开始以1m/s2的加速度做匀加速直线运动，车后20m处，某人骑自行车以6m/s的速度做匀速直线运动追赶。则（　　）
A．6s末，追上公交车
B．二者速度相等时，人前进了36m
C．人不能追上公交车，人与车最近距离为2m
D．人不能追上公交车，且车开动后，人与车距离越来越远
12．甲、乙两辆汽车沿同一平直路面行驶，其图像如图所示，下列对汽车运动状况的描述正确的是（　　）
A．第10s末，乙车改变运动方向
B．第20s末，甲、乙两车相遇
C．前10s内，甲车比乙车多运动150m
D．开始时乙车在前，则两车可能相遇两次
三、填空题
13．汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2。从此刻开始计时，A追上B前，经过时间________s，A、B间的距离最远；经过时间________s，A恰好追上B。
14．甲、乙两车在平直公路上同向行驶，两车的v-t图像如图所示。已知t=6s时两车恰好并排行驶，则t=0~6s时间内：两车两次并排行驶的位置之间的距离为_______m，两车相距最远的距离为______m。
四、解答题
15．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：
（1）汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
（2）汽车多长时间后能追及自行车？追上时汽车的速度是多大？
16．A、B两车在同一直线上运动，A在后，B在前。当它们相距x0=12m时，A正以vA=16m/s的速度向右做匀速运动，而物体B此时速度vB=20m/s向右，它以a=2m/s2做匀减速运动，求：
（1）A未追上B之前，两车的最远距离为多少？
（2）经过多长时间A追上B？
（3）若vA=10m/s，其他条件不变，求经过多长时间A追上B？
17．当一列火车以速度v火=20m/s开始制动（制动过程可看作匀减速直线运动）后，需t=40s才能停下来，对应的制动距离s=400m。当这列火车正以v火=20m/s的速度在水平直轨道上匀速行驶时，司机突然发现前方x=150m处，有一货车正以v货=8m/s的速度在同一轨道上同向匀速行驶，于是立即制动。
(1)求火车制动时的加速度大小a；
(2)求火车从制动到与货车速度相等所需的时间t火及这段时间内火车运动的位移大小x火；
(3)两车是否会发生撞车事故？如果发生撞车，计算撞车发生在何处？如不发生撞车，计算火车和货车间的最小距离 。
参考答案
1．B 2．B 3．D 4．C 5．D 6．D 7．C 8．B
9．BD 10．BD 11．BC 12．CD
13． 3 8
14． 80 15
15．（1）2s，；（2）4s，
【解析】
（1）当汽车和自行车速度相等时，两车相距最远，根据
解得
此时两车相距
（2）设经过时间汽车追上自行车，此时汽车速度为，可得
解得
此时汽车速度为
16．（1）16m；（2）；（3）
【解析】
（1）以时间t1两车速度相同，此时相距最远，则有vA=vB+at1
得t1=2s
两车最远距离为Δx=xB+x0-xA=vBt1+at12+x0-vAt1=16m
（2）A追上B时为t2 ，由
解得
（3）B匀减速到停止的时间为
在10s内A运动的位移为
在10s内A运动的位移为
因为即B停止时A还没有追上B，A追上B的时间为
17．(1)0.5m/s2；(2)24s，336m；(3) 不撞车，6m
【解析】
（1）由已知条件得
解得制动时的加速度大小
（2）根据变速直线运动规律
解得
根据
解得
（3）设从火车制动到两车速度相同的过程中，货车位移为，则有
解得
因为
所以两车没有相撞，火车和火车的最小距离为

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