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第15讲 向心力速度和生活中的圆周运动
知识图谱
课堂引入
回想：什么是匀速圆周运动？
v 大小不变，ω、T、f 、n 不变，速度方向在变化。
说明：匀速圆周运动是变速运动；
变速运动-->运动状态发生改变-->一定存在加速度；
那么，匀速圆周运动的加速度有什么特点？大小如何计算？方向如何？这是本节要学习的内容。
另外，生活中的圆周运动有很多情景， 我们将利用向心力，向心加速度等概念描述物体在某时刻或某个状态下的圆周运动规律。
课程目标
理解向心加速度的概念；
知道向心加速度和线速度、角速度的关系；
能够用向心加速度公式求解有关问题；
能够根据圆周运动的规律，运用动力学的基本方法解决圆周运动问题；
理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和离心运动。
向心加速度
知识精讲
一．向心加速度
1.匀速圆周运动物体的受力和加速度
如图所示，地球绕太阳做（近似的）匀速圆周运动，地球受太阳的吸引力，这个力应该指向太阳，那么地球的加速度也应指向太阳。
如图所示，光滑的水平桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，小球受重力、支持力、拉力作用，重力与支持力平衡，它们的合力即为拉力，指向圆心，故小球的加速的也应指向圆心。
2.向心加速度
（1）定义：任何做匀速圆周运动物体的加速度都指向圆心，这个加速的叫做向心加速度。
（2）方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，与该点的线速度方向垂直，向心加速度的方向时刻在改变。
（3）大小：，根据，亦可得。
（4）作用效果：向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
（5）物理意义：向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量。
二．向心加速度的推导
1.速度的变化量
（1）速度的变化量是指运动的物体在一段时间内的末速度与初速度之差。
（2）速度是矢量，速度的变化量也是矢量，为矢量式，其变化关系满足平行四边形定则或三角形定则。
2.用矢量图表示速度变化量
（1）直线运动速度的变化
从同一点做出和，则是从箭头端指向箭头端的矢量，如图所示。
（2）曲线运动速度的变化
和不在同一直线上时，仍可以代表两矢量的箭头端作出。
例如：平抛运动中，以平抛，经时间t（物体未落地），则矢量关系如图所示。
做圆周运动物体的速度变化量，如图所示。
3．匀速圆周运动的加速度的推导：
如图所示，质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，线速度的大小为v，设经时间，质点由A点沿圆周运动到B点，线速度的变化量的大小为，由速度矢量三角形与相似可求得：（l指弦长）
当很小时，AB弦长与AB弧长近似相等，由线速度的定义式得，从而得，又因，故。
方向：在时间内，设质点由A点运动到B点转过的圆心角为，由速度矢量三角形可知，当时，，速度的变化量的方向与线速度v的方向垂直，即加速度a的方向与线速度v的方向垂直且指向圆心。
4.非匀速圆周运动的加速度
非匀速圆周运动物体的加速度并不指向圆心，而是与半径有一个夹角，我们可以把加速度a分解为沿半径方向的和沿切线方向的，如图所示，则描述速度方向改变的快慢，描述速度大小改变的快慢，其中就是向心加速度，仍满足。
向心加速度的理解
例题1、 关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是（ ）
A.与线速度方向始终相同 B.与线速度方向始终相反
C.始终指向圆心 D.始终保持不变
例题2、[多选题] 做匀速圆周运动的物体，下列物理量保持不变的是（ ）
A.线速度 B.向心加速度 C.周期 D.动能
例题3、 关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是（　　）
A.它是描述角速度大小变化快慢的物理量 B.它是描述角速度方向变化快慢的物理量
C.它是描述线速度大小变化快慢的物理量 D.它是描述线速度方向变化快慢的物理量
例题4、 一球绕直径匀速转动如图所示，球面上有A、B两点，则（ ）
A.质点A、B的向心加速度都指向球心O B.由a＝ω2r知aA＜aB
C.由知aA＞aB D.vA＜vB是可能的，vA＞vB也有可能
随练1、 关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法中正确的是（ ）
A.由于，所以线速度大的物体向心加速度大
B.由于，所以半径大的物体向心加速度小
C.由于a＝rω2，所以角速度大的物体向心加速度大
D.由于a＝rω2，所以角速度大的物体向心加速度可能大
随练2、 关于向心加速度，以下说法正确的是（ ）
A.它描述了角速度变化的快慢 B.它描述了线速度大小变化的快慢
C.它描述了线速度方向变化的快慢 D.公式a=只适用于匀速圆周运动
向心加速度的计算
例题1、 如图两轮压紧，通过摩擦传动(无打滑)．已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度的大小关系正确的是(　　)
A.aC=aD=2aE B.aC=2aD=2aE
C.aC==aE D.aC==2aE
例题2、 甲、乙两物体以大小相等的线速度做匀速圆周运动，它们的质量之比为1︰3，轨道半径之比为3︰4，则甲、乙两物体的向心加速度及向心力之比分别为（ ）
A.3︰4 9︰4 B.3︰4 4︰9
C.4︰3 9︰4 D.4︰3 4︰9
例题3、 在人民空军成立68周年之际，中国空军正向全疆域作战的现代化战略性军种迈进，成为有效塑造态势、管控危机、遏制战争、打赢战争的重要力量！某次常规训练中，飞机做俯冲拉起时，在最低点P做半径R＝240m的圆周运动。已知飞行员的质量m＝60kg，经过点P时的速度v＝360km/h，求：（取g＝10m/s2）
（1）飞机向心加速度的大小；
（2）座椅对飞行员支持力的大小。
例题4、 如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，到悬点正下方时悬线碰钉子，则下列说法正确的是（　　）
A.小球的线速度突然增大 B.小球的角速度突然增大
C.小球的向心加速度突然减小 D.小球的悬线拉力突然减小
随练1、 (多选)对于做匀速圆周运动的物体，若已知下列表达式中的各量，可以直接求出它的向心加速度的表达式有（　　）
A.ω2R B.v2R C. D.ωv
随练2、 （多选）如图所示，靠摩擦传动做匀速转动的大小两轮接触面相互不打滑，大轮的半径是小轮半径的两倍．A、B分别为大小轮边缘上的点，C为大轮上一条半径的中点，则下列关系正确的是（　　）
A.vB∶vC=2∶1 B.aA∶aB=2∶1
C.aA∶aC=2∶1 D.aB∶aC=2∶1
随练3、 转笔是一项以手指来转动笔的休闲活动，深受广大中学生的喜爱，其中也包含了许多的物理知识，如图所示，假设某转笔高手能让笔绕其手上的某一点O做匀速圆周运动，下列有关该同学转笔中涉及到的物理知识的叙述正确的是（ ）
A.笔杆上的点离O点越近的，线速度越小 B.笔杆上的点离O点越近的，角速度越小
C.笔杆上的点离O点越近的，周期越小 D.笔杆上的点离O点越近的，向心加速度越小
生活中的圆周运动
知识精讲
一．火车转弯问题
1.如果转弯处内、外轨一样高，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外轨对轮缘的弹力F就是使火车转弯的向心力。设转弯半径为R，火车质量为m，转弯时速率为v，则，由于火车质量很大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力要很大，铁轨容易受到损坏。
2.实际在修筑铁路时，要根据转弯处的半径R和规定的行驶速度，适当的选择内、外轨的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力和支持力提供，如图所示。
3.虽然内、外轨有一定的高度差，但火车仍在水平面内做圆周运动，因此向心力沿水平方向，而不是沿斜面。
设内、外轨间距L, 内、外轨高度差为h，转弯半径为R，规定速度为v0，向心力为，由牛顿第二定律，得火车转弯的规定速度。
（1）当火车以规定速度转弯时，合力F等于向心力，这时轮缘与内、外轨均无侧压力。
（2）当火车转弯速度时，合力F小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F共同充当向心力。
（3）当火车转弯速度 时，该合力F大于向心力，内轨向外侧挤压轮缘，产生的侧压力与该合力F共同充当内心力。
二．汽车过拱形桥问题
对于拱形桥问题，在此只研究在竖直平面内圆周运动的最高点和最低点的情形
1.向心力的来源
汽车过拱桥的最高点或最低点时，在竖直方向上受到重力G和桥的支持力 ，它们的合力提供汽车做圆周运动的向心力。
2.汽车过拱形桥压力的分析与讨论
汽车过桥问题可分过凸形桥和凹形桥两类问题。若汽车质量为m，桥面圆弧半径为R，汽车在最高点或最低点时的速率为v，则汽车位于桥面最高点或最低点时对桥面的压力大小情况可通过下表讨论。
三．航天器中的完全失重现象
1.失重原因
地球可以看做一个巨大的拱形桥（图5-7-4），桥面的半径就是地球半径R（约6400km）。地面上一辆汽车在行驶，质量是m，地面对它的支持力是
由知，汽车速度越大，地面对它的支持力就越小，当速度增大到一定程度时，地面对汽车的支持力为零，此时重力全部用来提供向心力，不对其他物体产生压力，达到完全失重状态。
2.航天器在近地轨道的运动特点
（1）对航天器，重力充当向心力，满足的关系为，航天器的速度。
（2）对航天员，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系式为。
由此可得,航天员处于失重状态，对座椅无压力。
（3）航天器内的任何物体之间均没有压力。
四.离心运动
1.定义
做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，做逐渐远离圆心的运动，叫做离心运动。
2.物体做离心运动的条件
提供向心力的外力突然消失，或者外力不能提供足够的向心力。
3.离心运动的轨迹
（1）当合外力突然消失时，物体就以这一时刻的线速度沿切线方向飞出，做匀速直线运动，轨迹为直线。
（2）当合外力不足以提供所需的向心力时，物体就沿切线和圆周之间的某条曲线做逐渐远离圆心的曲线运动，轨迹是曲线。
火车转弯问题
例题1、 中国已经成功拥有世界最先进的高铁集成技术、施工技术、装备制造技术和运营管理技术。中国高速列车保有量世界最多、种类最全。高速列车转弯时可认为是在水平面做圆周运动。为了让列车顺利转弯，同时避免车轮和铁轨受损，在修建铁路时会让外轨高于内轨，选择合适的内外轨高度差，以使列车以规定速度转弯时所需要的向心力完全由重力和支持力的合力来提供，如图所示，已知某段弯道内外轨道的倾角为，弯道的半径为R，重力加速度为g。
（1）若质量为m的一高速列车以规定速度通过上述弯道时，求该列车对轨道的压力大小。
（2）求上述弯道的规定速度v的大小。
（3）若列车在弯道上行驶的速度大于规定速度，将会出现什么现象或造成什么后果（请写出三条）？
例题2、 在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作是做半径为R的在水平面内的圆周运动。设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。已知重力加速度为g。要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于(　　)
A. B. C. D.
例题3、[多选题] 公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处，(　　)
A.路面外侧高内侧低
B.车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C.当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
D.车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
随练1、 一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列判断正确的是(　　)
A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B.汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4×104N
C.汽车转弯的速度为20m/s时汽车会发生侧滑
D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2
随练2、 如图所示为火车在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨。某转弯处规定行驶的速度为v，当火车通过此弯道时，下列判断正确的是(　　)
A.若速度大于v，则火车轮缘挤压内轨 B.若速度大于v，则火车轮缘挤压外轨
C.若速度等于v，则火车轮缘挤压内轨 D.若速度小于v，则火车轮缘挤压外轨
汽车过拱形桥问题
例题1、 如图所示，一些高大的桥梁需要建造很长的引桥，这样做的主要目的是(　　)
A.减小汽车的惯性 B.减小汽车对桥面的压力
C.减小汽车受到的摩擦力 D.减小汽车重力沿桥面方向的分力
例题2、 如图所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥，桥面半径R＝6400km，地面上行驶的汽车中驾驶员的重力G＝800N，在汽车的速度可以达到需要的任意值，且汽车不离开地面的前提下，下列分析中正确的是（ ）
A.汽车的速度越大，则汽车对地面的压力也越大
B.不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于800N
C.不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都小于他自身的重力
D.如果某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉
例题3、 如图所示，一辆质量为m＝1.0×103kg的汽车静止在一半径为R＝40m的凹形过水路面的最低点，将汽车视为质点，取g＝10m／s2，求：
（1）此时汽车对凹形过水路面最低点的压力是多大？
（2）如果汽车以v＝20m／s的速度经过过水路面的最低点，则汽车对其压力是多大？
例题4、 一辆质量m＝1.5×103kg的轿车，驶过半径R＝90m的一段凸形桥面，g＝10m/s2，求：
（1）轿车以15m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
（2）若汽车在过最高点时不能脱离桥面，则汽车的速度不能超过多少？
随练1、 一质量为800kg的小汽车驶上半径为40m的拱桥。（g取10m/s2）
（1）汽车要安全通过拱桥而不离开桥面，汽车的速度最大是多少？
（2）汽车到达拱桥顶端的速度为10m/s，汽车对拱桥的压力是多大？
随练2、 一辆卡车在丘陵地带匀速率行驶，地形如图所示，由于轮胎太旧，途中容易爆胎，爆胎可能性最大的地段应是（ ）
A.a处 B.b处 C.c处 D.d处
随练3、 “太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落地上。现将太极球简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者手握平板让球在竖直面内始终不脱离平板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与板间无相对运动趋势。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高。设球的质量为m＝0.3kg，球达最高点时受平板的压力大小FA＝1N，太极球做圆周运动的半径R＝0.25m，重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）平板在C处时对太极球施加的弹力FC的大小？
（2）当球运动到B位置时，平板对太极球的作用力FB为多大？
离心运动
例题1、 下列关于离心现象的说法正确的是（ ）
A.当物体所受的离心力大于向心力时发生离心现象
B.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切外力都突然消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切外力都突然消失时，它将沿切线做直线运动
D.做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切外力都突然消失时，它将做曲线运动
例题2、 如图所示，旋转雨伞时，水珠会从伞的边缘沿切线方向飞出，这属于（ ）
A.扩散现象 B.超重现象 C.离心现象 D.蒸发现象
例题3、 用绳拴着一个物体，使它在无限大的光滑水平面上做匀速圆周运动，绳断以后物体将（ ）
A.沿半径方向接近圆心 B.沿切线方向做匀速直线运动
C.沿半径方向远离圆心 D.由于惯性，物体继续作圆周运动
例题4、 如图所示，光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是（ ）
A.F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B.F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C.F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D.F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
随练1、[多选题] 关于离心运动，下列说法正确的是（ ）
A.洗衣机脱水时利用了离心运动甩干衣服
B.直行的客车刹车时车内乘客会因离心运动而向前倾
C.砂轮转动速度过大，会因离心运动而破裂，酿成事故
D.在水平公路上转弯的汽车速度过大，会因做离心运动而造成事故
随练2、[多选题] 离心运动是惯性运动，利用离心运动的原理制成的机械，称为离心机械。当然离心运动也是有害的，应设法防止。下列为防止物体产生离心运动的设计是（ ）
A.汽车转弯时要限制速度
B.修筑铁路时，转弯处轨道的内轨要低于外轨
C.离心水泵工作时，将液体从叶轮中心甩向叶轮外缘
D.洗衣机用干桶工作时，将液体从甩干桶上的小孔甩出
课堂小结
一．向心加速度
1．定义：匀速圆周运动的加速度
2．意义：描述速度方向变化的快慢
3．大小：
4．方向：始终指向圆心（时刻改变），匀速圆周运动是变加速运动。
二．生活中的圆周运动
1．火车转弯
2．汽车过拱桥问题
凹形桥（超重）
拱形桥（失重）
3．航天器中的完全失重
4．离心运动
当时，物体做匀速圆周运动；
当时，物体沿切线方向飞出（惯性）；
当时，物体逐渐远离圆心；
当时，物体诼渐靠近圆心。
拓展
1、 一个运动员沿着半径为32m的圆弧跑道以8m/s的速度匀速率奔跑，则，运动员的加速度大小和方向正确的是（ ）
A.0.25m/s2，指向切线 B.0.25m/s2，指向圆心
C.2 m/s2，指向切线 D.2m/s2，指向圆心
2、 关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A.速度不变 B.处于平衡状态，没有加速度
C.有加速度，但加速度不变 D.速度和加速度的方向都时刻发生改变
3、[多选题] 一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4m/s，转动周期为2s，则下列说法正确的是（　　）
A.角速度为0.5rad/s B.转速为0.5r/s
C.轨迹半径为m D.加速度大小为4π m/s2
4、[多选题] 铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ（如图），弯道处的圆弧半径为R，质量为m的火车转弯时速度等于，则（ ）
A.内、外轨对车轮轮缘均无侧向挤压 B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C.这时铁轨对火车的支持力等于 D.这时铁轨对火车的支持力大于
5、 当汽车通过拱桥顶点的速度为10m／s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度为多大？
6、[多选题] 如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服贴在桶壁上，随圆桶一起转动，相对桶壁未滑动，衣服上的水滴还没有做离心运动。则(　　)
A.圆桶转速增大，衣服对桶壁的水平压力大小增大
B.圆桶转速增大，衣服对桶壁的水平压力大小不变
C.圆桶转速增大，衣服所受摩擦力大小增大
D.圆桶转速增大，衣服所受摩擦力大小不变
答案解析
向心加速度
向心加速度的理解
例题1、
【答案】 C
【解析】 向心加速度的方向始终指向圆心，和线速度的方向垂直，不改变线速度的大小只是改变线速度的方向，由于加速度是矢量，因此向心加速度是时刻变化的，故ABD错误，C正确．
例题2、[多选题]
【答案】 C D
【解析】 A、匀速圆周运动线速度大小不变，方向时刻变化，故A错误，
B、匀速圆周运动的，向心加速度大小不变，方向时刻改变，所以向心加速度改变。故B错误；
C、匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动，周期是恒定的；故C正确；
D、匀速圆周运动速度大小不变，所以动能不变，故D正确；
例题3、
【答案】 D
【解析】 圆周运动的向心加速度只改变速度的方向，不改变速度大小，向心加速度描述的是线速度方向变化的快慢的物理量；
做圆周运动物体的切向加速度改变线速度的大小，描述线速度大小变化的快慢．
向心加速度不改变角速度的大小和方向．故ABC错误，D正确．
故选D．
例题4、
【答案】 B
【解析】 A、质点A、B的向心加速度方向都指向圆心，如题图，A、B的加速度都是垂直转轴直线转轴，它们都不是指向圆心。故A错误。
B、C、由于AB两点是同轴转动，故它们的角速度相同，由图可知rA＜rB，根据a＝ω2r知aA＜aB，故B正确、C错误。
D、由于AB两点是同轴转动，故它们的角速度相同，由图可知rA＜rB，根据v＝ωr知vA＜vB，故D错误。
随练1、
【答案】 D
【解析】 A、由于，半径r不确定，所以线速度大的物体向心加速度不一定大，故A错误；
B、由于，线速度v不确定，所以半径大的物体向心加速度不一定小，故B错误；
C、由于a＝rω2，半径r不确定，所以角速度大的物体向心加速度不一定大，故C错误；
D、由于a＝rω2，半径r不确定，当r一定时，角速度大的物体向心加速度大，所以角速度大的物体向心加速度可能大，故D正确。
随练2、
【答案】 C
【解析】 A．向心加速度只改变速度的方向，不改变速度大小．向心加速度描述的是线速度方向变化的快慢．故A、B错误，C正确．
D．公式既适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动．故D错误．
向心加速度的计算
例题1、
【答案】 D
【解析】 根据转盘转动特点可知：vC=vD，ωE=ωC①
向心加速度公式为：a=ω2r ②
由图知半径关系为：rC=2rE，rD=rE ③
由①②③联立可解得：vD=vE=2：1，aC：aE=2：1，aC：aD=4：1，故ABC错误，D正确．
例题2、
【答案】 D
【解析】 甲、乙的质量之比m甲︰m乙＝1︰3，轨道半径之比R甲︰R乙＝3︰4；
由向心加速度公式有：，且甲、乙两物体的线速度大小相等，可得：；
由向心力公式有：，得甲、乙两物体的向心力之比为：。
例题3、
【答案】 （1）飞机向心加速度的大小为42m/s2
（2）座椅对飞行员支持力的大小为3100N
【解析】 （1）v＝360km/h＝100m/s
根据；
（2）在最低点，根据牛顿第二定律可知，解得FN＝3100N。
故：（1）飞机向心加速度的大小为42m/s2；
（2）座椅对飞行员支持力的大小为3100N。
例题4、
【答案】 B
【解析】 A、碰到钉子的瞬间，根据惯性可知，小球的速度不能发生突变，即线速度不变，故A错误；
B、根据ω=可知，半径减小，线速度不变，所以角速度增大，故B正确；
C、小球的向心加速度a=，R＜L，故小球的向心加速度增大，故C错误；
D、设钉子到球的距离为R，则，故绳子的拉力F=mg+，因R小于L，故有钉子时，绳子上的拉力变大，故D错误．
故选：B．
随练1、
【答案】 A D
【解析】 D选项为最基本的向心加速度表达式，由此可根据线速度与角速度的关系得出a=ω2R与a=v2/R，故A对B错；C选项等于ω2，故也错．
随练2、
【答案】 A C
【解析】 AB线速度相同，角速度之比为1∶2，故vB∶vC=2∶1，A对；aA∶aB=1∶2，B错；aA∶aC=2∶1，C对；aB∶aC=4∶1，D错．
随练3、
【答案】 A D
【解析】 笔上各点同轴转动角速度相同
A、笔杆上的点离O点越近的，半径越小，根据v＝ωr可知，线速度越小，故A正确；
B、笔上各点同轴转动，角速度相同，故B错误；
C、根据可知，周期相同，故C错误；
D、根据a＝ω2r可知，笔杆上的点离O点越近的，半径越小，向心加速度越小，故D正确．
生活中的圆周运动
火车转弯问题
例题1、
【答案】 （1）
（2）
（3）若列车在弯道上行驶的速度大于规定速度，将会出现：
①铁轨对车轮有指向弯道内侧的摩擦力；
②可能造成车轮和铁轨受损变形；
③可能出现列车脱轨，造成人身财产损失。
【解析】 （1）如图所示：
FNcosθ＝mg。
解得，。
根据牛顿第三定律可知，列车对轨道压力大小为。
（2）由牛顿第二定律可知：mgtanθ＝，
解得：。
（3）①铁轨对车轮有指向弯道内侧的摩擦力。
②可能造成车轮和铁轨受损变形。
③可能出现列车脱轨，造成人身财产损失。
例题2、
【答案】 B
【解析】 设路面的斜角为θ，作出汽车的受力图，如图
根据牛顿第二定律，得
又由数学知识得到
联立解得
。
例题3、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供圆周运动向心力。故A正确。
B、车速低于vc，所需的向心力减小，此时摩擦力可以指向外侧，减小提供的力，车辆不会向内侧滑动。故B错误。
C、当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则vc的值不变。故C错误。
D、当速度为vc时，静摩擦力为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，速度高于vc时，摩擦力指向内侧，只有速度不超出最高限度，车辆不会侧滑。故D正确。
随练1、
【答案】 D
【解析】 A、汽车在水平面转弯时，做圆周运动，重力与支持力平衡，侧向静摩擦力提供向心力，故A错误；
B、如果车速达到＝20m/s，需要的向心力F＝m＝2.0×103×＝1.0×104N，故B错误；
C、最大静摩擦力f＝1.4×104N，则F＜f，所以汽车不会发生侧滑，故C错误；
D、最大加速度a＝＝＝7.0m/s2，故D正确。
随练2、
【答案】 B
【解析】 暂无解析
汽车过拱形桥问题
例题1、
【答案】 D
【解析】 对车受力分析，受重力、支持力和阻力
物体重力不变；
重力产生两个作用效果，使物体沿斜面下滑，使物体紧压斜面
设斜面倾角为θ，将重力按照作用效果正交分解，如图，
由几何关系可得
平行斜面分量为
G1＝mgsinθ，由于引桥越长，坡角θ越小，G1越小，
垂直斜面分量为
G2＝mgcosθ
压力等于重力垂直斜面分量：
N＝mgcosθ，故ABC错误，D正确；
例题2、
【答案】 C
【解析】 AB、汽车的重力和地面对汽车的支持力的合力提供向心力，则有，重力是一定的，v越大，则N越小，故AB错误；
C、因为驾驶员的一部分重力用于提供驾驶员做圆周运动所需的向心力，所以驾驶员对座椅压力小于他自身的重力，故C正确；
D、如果速度增大到使汽车对地面的压力为零，说明汽车和驾驶员的重力全部用于提供做圆周运动所需的向心力，处于完全失重状态，此时驾驶员会有失重的感觉，故D错误。
例题3、
【答案】 （1）1×104N
（2）2×104N
【解析】 （1）F1＝mg
F'1＝F1＝1×104N
（2）
F2＝2×104N
F'2＝F2＝2×104N
例题4、
【答案】 （1）11250N
（2）30m/s
【解析】 （1）设桥面对汽车的支持力为FN，有
代入数据解得FN＝11250N
由牛顿第三定律得
（2）若刚好脱离桥面，则只有重力提供向心力，设此时速度大小为v1，有
代入数据解得v1＝30m/s
所以不能超过30m/s．
随练1、
【答案】 （1）20m/s
（2）6000N
【解析】 （1）汽车对桥没有压力时，汽车只受重力，重力提供向心力，则有：
解得：v＝20m/s。
（2）汽车经过桥顶时，重力和支持力的合力提供向心力，则有：
代入相关数据解得：N＝6000N
由牛顿第三定律，汽车对桥的压力为：N′＝N＝6000N。
随练2、
【答案】 D
【解析】 在bd处，卡车做圆周运动，加速度方向竖直向上，根据牛顿运动定律得知，卡车处于超重状态，地面对卡车的作用力大于其重力；
在ac处，卡车做圆周运动，加速度方向竖直向下，根据牛顿运动定律得知，卡车处于失重状态，地面对卡车的作用力小于其重力；
在bd处，根据圆周运动可知可知，半径越小，FN越大，越容易爆胎，故在d处，故D正确．
随练3、
【答案】 （1）7N；
（2）5N
【解析】 （1）设球的速率为v，在A点由牛顿第二定律：，
在C处有：
联立解得：Fc＝7N；
（2）在B点，合力水平指向圆心提供向心力：
解得：FB＝5N；
离心运动
例题1、
【答案】 C
【解析】 A、离心力是不存在的，因为它没有施力物体．所以物体不会受到离心力，故A错误．
BCD中、惯性：当物体不受力或受到的合外力为零时，物体保持静止或匀速直线运动状态．所以做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，由于惯性，物体继续保持该速度做匀速直线运动．故BD错误，C正确．
例题2、
【答案】 C
【解析】 当旋转雨伞时，由向心力可知，所需要的向心力增加，由于提供向心力不足以所需要的向心力，从而远离圆心运动，故C正确，ABD错误；
例题3、
【答案】 B
【解析】 用绳子拴着小球在无限大光滑的水平面上做圆周运动，如果绳子突然断了，在水平方向小球将不受力的作用，所以将保持绳子断时的速度做匀速直线运动，B正确．
例题4、
【答案】 A
【解析】 A、F突然消失，小球将沿原来的速度方向做匀速运动，故小球将沿轨迹Pa做离心运动，故A正确；
BD、在水平面上，细绳的拉力提供m所需的向心力，当F突然变小时，拉力小于需要的向心力，将沿轨迹Pb做离心运动，故BD错误。
C、若F突然变大，拉力大于需要的向心力，物体沿着轨迹C做向心运动，故C错误。
随练1、[多选题]
【答案】 A C D
【解析】 A、脱水桶高速转动时，需要的向心力的大小大于了水和衣服之间的附着力，水做离心运动被从衣服上甩掉，属于离心现象，故A正确；
B、直行的客车刹车时车内乘客是因为惯性而向前倾，与向心力无关，故B错误；
C、转速很高的砂轮所需的向心力就大，转速很高，就会出现砂轮承受不了巨大的力而断裂，故C正确；
D、因为F向心，所以速度越快所需的向心力就越大，容易出现离心运动而造成事故，故D正确；
随练2、[多选题]
【答案】 A B
【解析】 A、因为，所以速度越快所需的向心力就越大，汽车转弯时要限制速度，来减小汽车所需的向心力，防止离心运动。故A正确。
B、在修筑铁路时，转弯处轨道的内轨要低于外轨，可以提供更多的向心力，防止火车产生离心运动。故B正确；
C、离心水泵工作时，将液体从叶轮中心甩向叶轮外缘，是应用了水的离心运动，故C错误；
D、洗衣机脱水工作就是应用了水的离心运动，故D错误。
拓展
1、
【答案】 D
【解析】 由于运动员做匀速圆周运动，则加速度的方向指向圆心．由公式：a==．
2、
【答案】 D
【解析】 A、匀速圆周运动的线速度沿着切线方向，时刻改变，是变速运动，故A错误；
B、C、匀速圆周运动是变速运动，有向心加速度，向心加速度的方向时刻改变，是变化的，故B错误，C错误；
D、匀速圆周运动的线速度、向心加速度方向均是时刻改变，故D正确；
3、[多选题]
【答案】 B C D
【解析】 由角速度与周期的关系得：，故A不正确；
由转速与周期的关系得：，故B正确；
根据，得圆周运动的半径为：，故C正确；
加速度为：，故D正确
4、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 A、火车的重力和轨道对火车的支持力的合力恰好等于需要的向心力时，此时火车的速度正好是，即铁轨对车轮无挤压，A正确，B错误；
C、如图，这时铁轨对火车的支持力，故C正确，D错误。
5、
【答案】 20m／s
【解析】 当汽车速度为10m／s时，有，，得R＝40m。
当摩擦力为0，则支持力为0，有，。
答：汽车通过桥顶的速度为20m／s。
6、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 AB、衣服受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力的作用做圆周运动，弹力提供向心力，则有：，可知随圆桶转速增大，衣服对桶壁的水平压力大小增大。故A正确，B错误；
CD、衣服受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力的作用，共3个力作用，由于衣服在圆筒内壁上不掉下来，竖直方向上没有加速度，重力与静摩擦力二力平衡，靠弹力提供向心力；随着圆桶转速的增加，弹力增加，但静摩擦力不变；故C错误，D正确。

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